1、高考數(shù)學離散型隨機變量的期望與方差解答題考點預測和題型解析在高考中，離散型隨機變量的期望與方差試題的出題背景大多數(shù)源于課本上，有時也依賴于歷年的高考真題、資料中的典型題例為背景，涉及主要問題有：產(chǎn)品檢驗問題、射擊、投籃問題選題、選課，做題，考試問題、試驗，游戲，競賽，研究性問題、旅游，交通問題、摸球球問題、取卡片，數(shù)字和入座問題、信息，投資，路線等問題。屬于基礎題或中檔題的層面。高考中一定要盡量拿滿分。l 考題預測離散型隨機變量的期望與方差涉及到的試題背景有：產(chǎn)品檢驗問題、射擊、投籃問題選題、選課，做題，考試問題、試驗，游戲，競賽，研究性問題、旅游，交通問題、摸球球問題、取卡片，數(shù)字和入座問題

2、、信息，投資，路線等問題。從近幾年高考試題看，離散型隨機變量的期望與方差問題還綜合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、導數(shù)、線性規(guī)劃等知識主要考查能力。l 復習建議1學習概率與統(tǒng)計的關鍵是弄清分布列,期望和方差在統(tǒng)計中的作用.離散型隨機變量的分布列的作用是：（1）可以了解隨機變量的所有可能取值；（2）可以了解隨機變量的所有取值的概率；（3）可以計算隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率。2離散型隨機變量的分布列從整體上全面描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。3離散型隨機變量的數(shù)學期望刻畫的是離散型隨機變量所取的平均值，是描述隨機變量集中趨勢的一個特征數(shù)。4離散型隨機變量的方差表示了離散型隨機變量所取的值相對于期望的集中與

3、分散程度。l 知識點回顧 1離散型隨機變量的期望：（1）若離散型隨機變量的概率分布為 - - - -則稱為的數(shù)學期望（平均值、均值） 簡稱為期望。 期望反映了離散型隨機變量的平均水平。 是一個實數(shù)，由的分布列唯一確定。 隨機變量是可變的，可取不同值。 是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)。（2）期望的性質： 若，則 若，則 2離散型隨機變量的方差（1）離散型隨機變量的方差：設離散型隨機變量可能取的值為 且這些值的概率分別為則稱 ；為 的方差。 反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動。 反映隨機變量取值的集中與離散的程度。 是一個實數(shù)，由的分布列唯一確定。 越小，取值越集中，越大，取值越分散。 的算術平均數(shù)叫做

4、隨機變量的標準差，記作。注：在實際中經(jīng)常用期望來比較兩個類似事件的水平，當水平相近時，再用方差比較兩個類似事件的穩(wěn)定程度。（2）方差的性質： 若，則 若，則 l 考點預測根據(jù)離散型隨機變量的試題背景進行考題類型預測：考點1：產(chǎn)品檢驗問題【例1】已知：甲盒子內(nèi)有3個正品元件和4個次品元件，乙盒子內(nèi)有5個正品元件和4個次品元件，現(xiàn)從兩個盒子內(nèi)各取出2個元件，試求（）取得的4個元件均為正品的概率；（）取得正品元件個數(shù)的數(shù)學期望.【分析及解】（I）從甲盒中取兩個正品的概率為P（A）=從乙盒中取兩個正品的概率為P（B）=4分A與B是獨立事件 P（AB）=P（A）P（B）=（II）的分布列為01234P1

5、2分【例2】某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天，第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當天的產(chǎn)品不能通過.（I）求第一天通過檢查的概率；（II）求前兩天全部通過檢查的概率；（III）若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分.求該車間在這兩天內(nèi)得分的數(shù)學期望.【分析及解】（I）隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品，第一天通過檢查的概率為 （II）同（I），第二天通過檢查的概率為 因第一天，第二天是否通過檢查相互獨立。 所以，兩天全部通過檢查的概率為：（I

6、I）記得分為，則的值分別為0，1，2，因此，考點2：比賽問題【例3】A、B兩隊進行籃球決賽，共五局比賽，先勝三局者奪冠，且比賽結束。根據(jù)以往成績，每場中A隊勝的概率為，設各場比賽的勝負相互獨立. （1）求A隊奪冠的概率； （2）設隨機變量表示比賽結束時的場數(shù)，求E.【分析及解】（1）A隊連勝3場的概率為，打4場勝3場的概率為，打5場勝3場的概率為又以上事件是互斥的，A隊獲勝的概率為P=P1+P2+P3= （2），（A隊連勝3場或B隊連勝3場），；.【例4】兩個排球隊進行比賽采用五局三勝的規(guī)則，即先勝三局的隊獲勝，比賽到此也就結束，假設按原定隊員組合，較強隊每局取勝的概率為0.6，若前四局出現(xiàn)2

7、比2的平局情況，較強隊就換人重新組合隊員，則其在決賽局中獲勝的概率為0.7，設比賽結束時的局數(shù)為. （）求的概率分布； （）求E.【分析及解】（）=3，4，5. 的概率分布為345P0.28000.37440.3456 （）E=30.2800+40.3744+50.3456=4.0656. 考點3：射擊，投籃問題【例5】甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標的概率分別是和，假設兩人射擊是否擊中標，相互之間沒有影響. 每人各次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響. （1）甲射擊4次，至少有一次未擊中目標的概率； （2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率； （3）假設某人連續(xù)2次

8、未擊中目標，則中止其射擊，問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？【分析及解】（1）甲至少一次未擊中目標的概率P1是 （2）甲射擊4次恰擊中2次概率為乙射擊4次恰擊中3次概率為 由乘法公式得 （3）乙恰好5次停止射擊，則最后兩次未擊中，前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中，第三次必擊中，故所求概率為：【例6】甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結束游戲，已知甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為求： （1）乙投籃次數(shù)不超過1次的概率；1.3.5 （2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學期望.【分析及解】記“甲投籃投中”為

9、事件A，“乙投籃投中”為事件B。 解法一“乙投籃次數(shù)不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中，所求的概率是P = P（A+ = 答：乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 解法二：“乙投籃次數(shù)不超過1次”的對立事件是“乙投籃2次”，所以，所求的概率是 = 答：乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 （2）甲、乙投籃總次數(shù)的取值1，2，3，4，1.3.5甲、乙投籃次數(shù)總和的分布列為 1 2 3 4P 甲、乙投籃總次數(shù)的數(shù)學期望為答：甲、乙投籃次數(shù)總和的數(shù)學期望為考點4：選題，選課，做題，考試問題【例7】甲乙兩人

10、獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92。求： （1）求該題被乙獨立解出的概率。 （2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望和方差?！痉治黾敖狻浚?）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設甲獨立解出此題的概率為P1，乙獨立解出此題的概率為P2.則P（A）=P1=0.6，P（B）=P2P（A+B）=1P（）=1(1P1)(1P2)=P1+P2P1+P2=0.920.6+P20.6P2=0.92則 0.4P2=0.32即P2=0.8. （2）P（=0）=P（）P（）=0.40.2=0.08P(=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.60.2+0.40.8=0

11、.44P(=2)=P(A)P(B)=0.60.8=0.48的概率分布為：012P0.080.440.48E=00.08+10.44+20.48=0.44+0.96=1.4D=(01.4)20.08+(11.4)20.44+(21.4)20.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4解出該題的人數(shù)的數(shù)學期望為1.4，方差為0.4?！纠?】某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響. 已知某學生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學生選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積. （）記“函數(shù)為R上的偶函數(shù)”為事件

12、A，求事件A的概率； （）求的分布列和數(shù)學期望.【分析及解】設該學生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z依題意得（I） 若函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則=0當=0時，表示該學生選修三門功課或三門功課都沒選=0.40.50.6+（10.4）（10.5）（10.6）=0.24事件A的概率為0.24 （II）依題意知=0.2則的分布列為02P0.240.76的數(shù)學期望為E=00.24+20.76=1.52考點5：試驗，游戲，競賽，研究性問題【例9】某家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費滿1000元，便可以獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金1000元，某顧客購買一張價格為3

13、400元的餐桌，得到3張獎券，設該顧客購買餐桌的實際支出為元. （I）求的所有可能取值； （II）求的分布列； （III）求的期望E.【分析及解】解法一（I）的所有可能取值為3400，2400，1400，400 （II） 的分布列為 3400 2400 1400 400 P （III） 解法二 設該顧客中獎獎券張，則 （II） （III）所以的數(shù)學期望E=0P（=0）+6P（=3）+9（=9）=2.5由于按先A后B或先B后A的次序答題，獲得獎金期望值的大小相等，故獲得獎金期望值的大小與答題順序無關.【例10】某小組有7個同學，其中4個同學從來沒有參加過天文研究性學習活動，3個同學曾經(jīng)參加過天文

14、研究性學習活動. （1）現(xiàn)從該小組中隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過天文研究性學習活動的同學的概率； （2）若從該小組隨機選2個同學參加天文研究性學習活動，則活動結束后，該小組沒有參加過天文研究性學習活動的同學個數(shù)是一個隨機變量，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望E.【分析及解】（）記“恰好選到12個曾經(jīng)參加過數(shù)學研究性學習活動的同學”為事件A，則其概率為 （）隨機變量=2，3，4P（=2）=P（=3）= P（=4）=隨機變量的分布列為234PE=2+3+4=考點6：旅游，交通問題【例11】春節(jié)期間，小王用私家車送4位朋友到三個旅游景點去游玩，每位朋友在每一個景點下車的

15、概率均為，用表示4位朋友在第三個景點下車的人數(shù)，求： （）隨機變量的分布列； （）隨機變量的期望.【分析及解】解法一：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4，由等可能性事件的概率公式得從而的分布列為01234P （II）由（I）得的期望為解法二：（I）考察一位朋友是否在第三個景點下車為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.解法三：（II）由對稱性與等可能性，在三個景點任意一個景點下車的人數(shù)同分布，故期望值相等?！纠?2】 旅游公司為3個旅游團提供4條旅游線路，每個旅游團任選其中一條. （1）求3個旅游團選擇3條不同的線路的概率 （2）求恰有2條線路沒有被選擇的概率. （3）求選擇甲線路旅游團數(shù)的期望

16、.【分析及解】（1）3個旅游團選擇3條不同線路的概率為：P1=（2）恰有兩條線路沒有被選擇的概率為：P2=（3）設選擇甲線路旅游團數(shù)為，則=0，1，2，3P（=0）= P（=1）=P（=2）= P（=3）= 0123P 的分布列為 期望E=0+1+2+3=考點7：摸球問題1,3,5【例13】甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球；乙盒有標號分別為1、2、n（n2）的n個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽取的標號恰好分別為1和n的概率為 （1）求n的值； （2）現(xiàn)從甲、乙兩盒各隨機抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標號數(shù)；抽得黑球，若標號數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標號數(shù)為偶數(shù)，則得分為零，設被抽取

17、的2個小球得分之和為，求的數(shù)學期望E.【分析及解】（1）由得n=41 2 3 41 2 3 （2） 甲盒 乙盒是被抽取的2個小球得分之和則有P（=1）= P（=2）=P（=3）=P（=4）=1234P概率分布表：E=【例14】一個口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球。 （1）采取放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率； （2）采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的期望和方差.【分析及解】解法一 “有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，“兩球恰好顏色不同”共24+42=16種可能，解法二 “有放回摸

18、取”可看作獨立重復實驗每次摸出一球得白球的概率為“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為（2）設摸得白球的個數(shù)為，依題意得考點8：摸卡片，數(shù)字問題【例15】在一個盒子里放有6張卡片，上面標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，現(xiàn)在從盒子里每次任意取出一張卡片，取兩片. （I）若每次取出后不再放回，求取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的概率； （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回這兩種取法中，得到的兩張卡片上的最大數(shù)字的期望值是否相等？請說明理由.【分析及解】（I）取到的兩張卡片上數(shù)字之積大于12的事件為3，4，5，6四個數(shù)中取出兩個，且應除去3，4兩個數(shù)字。 故所求事件概率. （II）若每次取出后不

19、再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字隨機變量，=2，3，4，5，6. 若每次取出后再放回，則得到的兩張卡片上的數(shù)字中最大數(shù)字是隨機變量，=1，2，3，4，5，6. 在每次取出后再放回和每次取出后不再取回這兩種取法中，得到的兩張卡上的數(shù)字中最大數(shù)字的期望值不相等.【例16】袋中裝著標有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求： （）取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率； （）隨機變量的概率分布和數(shù)學期望；【分析及解】()“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則PA=. （）由題意得，有可能的取值

20、為：2，3，4，5.，20070212，所以隨機變量的概率分布為2345因此的數(shù)學期望為 考點9：入座問題【例17】編號1，2，3的三位學生隨意入坐編號為1，2，3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的個數(shù)是.（1）求隨機變量的概率分布；（2）求隨機變量的數(shù)學期望和方差.【分析及解】0123P0（） 概率分布列為： （）（9分）注：可以不列出“P（”.【例18】20070515有編號為1，2，3，n的n個學生，入座編號為1，2，3，n的n個座位，每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為，已知=2時，共有6種做法， （1）求n的值； （2）求隨機變

21、量的概率分布列和數(shù)學期望.【分析及解】（）當時，有種坐法， ，即，或（舍去） （）的可能取值是，又， ， ， 的概率分布列為：P 則 考點10：信息問題【例19】如圖，A、B兩點由5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2，3，4，3，2，現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為. （）寫出最大信息總量的分布列； （）求最大信息總量的數(shù)學期望.【分析及解】（1）由已知，的取值為7，8，9，10.的概率分布列為8910PP（2）【例20】如圖，A、B兩點之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1，1，2，2，3，4.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息

22、量. （I）設選取的三條網(wǎng)線由A到B可通過的信息總量為x，當x6時，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率； （II）求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學期望.【分析及解】（I） （II） 線路通過信息量的數(shù)學期望 答：（I）線路信息暢通的概率是. （II）線路通過信息量的數(shù)學期望是6.5.考點11：路線問題【例21】如圖所示，質點P在正方形ABCD的四個頂點上按逆時針方向前進. 現(xiàn)在投擲一個質地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字. 質點P從A點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質點P前進一步（如由A到B）；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質點P前兩步（如由A到C），當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質點P前進三步（如由A到D）. 在質點P轉一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止. （I）求點P恰好返回到A點的概率；CDAB （II）在點P