1、a,1,第五章 留數(shù),1 留數(shù)的概念與計(jì)算 2 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分 3 輻角原理與儒歇定理,a,2,1留數(shù)的概念與計(jì)算,1、留數(shù)的定義與留數(shù)定理,a,3,a,4,定義5.1 設(shè) 以 為孤立奇點(diǎn)，即 在 的去心鄰域 內(nèi)解析，則稱積分 為 在點(diǎn) 的留數(shù)（Residue）記為：,a,5,定理6.1 （柯西留數(shù)定理） 在圍線或復(fù)圍線 所范圍的區(qū)域 內(nèi)，除 外解析，在閉域 上除 外連續(xù)，則,a,6,a,7,證：作圓周 使全含于 內(nèi)且兩兩不相交，則由柯西積分定理,注：留數(shù)定理：求積分轉(zhuǎn)化為求留數(shù)；將積分 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，即求洛朗展式的負(fù)一次 冪的系數(shù)問(wèn)題,a,8,2、留數(shù)的求法 求函數(shù)在奇點(diǎn)a處的留

2、數(shù)即求它在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)中c-1(z-a)-1項(xiàng)的系數(shù)即可. 如果a是f(z)的可去奇點(diǎn), 則Resf(z),a=0, 如果a是本性奇點(diǎn), 則沒(méi)有太好的辦法, 只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。 如果a是極點(diǎn), 則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.,a,9,留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 規(guī)則1 如果a為f(z)的一級(jí)極點(diǎn), 則,規(guī)則2 如果a為f(z)的m級(jí)極點(diǎn), 則,a,10,事實(shí)上, 由于 f(z)=c-m(z-a)-m+.+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+., (z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+. +c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+.,令

3、兩端za, 右端的極限是(m-1)!c-1, 兩端除以(m-1)!就是Resf(z),a, 因此即得(5.2), 當(dāng)m=1時(shí)就是(5.1),a,11,a,12,a,13,由規(guī)則1, 得,a,14,我們也可以用規(guī)則III來(lái)求留數(shù):,這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.,a,15,a,16,a,17,a,18,a,19,例4 計(jì)算,解： 在圓周 的內(nèi)部只有一級(jí)極點(diǎn) 及二級(jí)極點(diǎn),a,20,而 由殘數(shù)定理，得,a,21,例5 計(jì)算,解： 只以 為一級(jí)極點(diǎn)，而,a,22,由留數(shù)定理得,a,23,3、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)(略）,定義5.2 設(shè) 為 的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則稱 為 在 的留數(shù)。記為：,a,24,定理5.2 若 在擴(kuò)充

4、 平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，設(shè)為 則留數(shù)總和為0,a,25,計(jì)算 的殘數(shù)的方法：,a,26,例6.5 計(jì)算,a,27,解：共有七個(gè)奇點(diǎn)： 前6個(gè)根均在 內(nèi)部，故,a,28,而 故 。從而,a,29,2 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分,a,30,利用留數(shù)計(jì)算定積分是復(fù)變函數(shù)一個(gè)重要應(yīng)用。 1、被積函數(shù)-與某解析函數(shù)相關(guān) 2、積分區(qū)域-化為某閉合路徑 考慮如下幾種形式的定積分 一、計(jì)算 其中R為 cos , sin有理函數(shù)，并且在0, 2上連續(xù)。,a,31,若 R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù). 可令 z=eiq, 則dz=ieiqdq,a,32,f(z)是z的有理函數(shù), 且在單位圓周

5、|z|=1上分母不為零(沒(méi)有奇點(diǎn)）, 根據(jù)留數(shù)定理有,其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇 點(diǎn).,a,33,例1 計(jì)算,解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,a,34,在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級(jí)極點(diǎn), z=p為一級(jí)極點(diǎn).,a,35,a,36,a,37,a,38,a,39,若R(cos,sin)為的偶函數(shù)，還可以求如下形式的積分,a,40,例3：計(jì)算積分 解：因?yàn)榉e分號(hào)下的函數(shù)是x的偶函數(shù)

6、 則,命,a,41,設(shè) ，則,a,42,a,43,a,44,取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi).,CR,a,45,此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.,a,46,a,47,a,48,a,49,3. 形如 的積分,當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí), 積分是存在的。 像2中處理的一樣, 由于m-n1, 故對(duì)充分大的|z|有,z1,z2,z3,y,-R,R,O,x,CR,a,50,因此, 在半徑R充分大的CR上, 有,a

7、,51,a,52,a,53,a,54,課堂練習(xí)：,a,55,a,56,4、雜例,a,57,-R,R,r,-r,Cr,CR,C,a,58,a,59,a,60,CR,a,61,a,62,作業(yè)：P164 1,2，15（1）（5）,a,63,3 輻角原理與儒歇定理,許多的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題都可以歸結(jié)為其特征方程的根的分布，或者特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布問(wèn)題（線性系統(tǒng)），如二次方程的分類（微分方程、代數(shù)方程），工程控制中的微分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)數(shù)留數(shù)給我們提供了一個(gè)好方法。 一、對(duì)數(shù)留數(shù) 稱積分 為f(z)的對(duì)數(shù)留數(shù) ，這種稱呼，并不嚴(yán)格，其中 C為一圍線。,a,64,計(jì)算（1）自然用到留數(shù)定理，首先，分析被積函

8、數(shù)的奇點(diǎn)，顯然，f(z)的零點(diǎn)和奇點(diǎn)都可能是 的奇點(diǎn)。 引理6.4 （1）設(shè) 為 的 級(jí)零點(diǎn)，則 必 為函數(shù) 的一級(jí)極點(diǎn)，且,a,65,（2）設(shè) 為 的 級(jí)極點(diǎn)， 則 必為函數(shù) 的一級(jí)極點(diǎn)。且,a,66,a,67,證：（1）若 為 的 級(jí)零點(diǎn)，則有 其中 解析，且 于是,a,68,因右端第二式解析，故 為 的 一級(jí)極點(diǎn)，且（1）式成立。,a,69,定理6.9 設(shè) 是一條圍線， 滿足： （1） 在 的內(nèi)部除可能有極點(diǎn)外是解析的。 （2） 在 上解析且不為零。 則有,a,70,輻角原理 在定理6.9的條件下，有,a,71,定理6.10（儒歇定理） 設(shè) 是一條圍線，函數(shù) 及 滿足： （1） 它們?cè)趦?nèi)部均解析，且連續(xù)到 （2） 在 上， 則,a,72,例6.13 設(shè) 次多項(xiàng)式 合條件 則 在單位圓 內(nèi)有 個(gè)零點(diǎn)。,a,73,證： 取 易驗(yàn)證在單位圓周上，有,a,74,依儒歇定理知 在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)，與 在單位圓一樣多，即 個(gè)。,a,75,例6.14 試證：當(dāng) 時(shí)，方