1、主要內(nèi)容,線性變換、基與基的像,第三節(jié) 線性變換的矩陣,線性變換的矩陣,向量像的計算公式,線性變換在不同基下矩陣的關(guān)系,相似矩陣,一、線性變換、基與基的像,設(shè) V 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間，1 , 2 , , n,是 V 的一組基，這一節(jié)我們來建立線性變換與矩,陣的關(guān)系.,首先來討論線性變換、基與基的像之間,的關(guān)系.,空間 V 中任一向量 可以被基 1 , 2 , , n 線,性表出，即有, = x11 + x22 + + xnn (1), = x11 + x22 + + xnn (1),其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的,坐標(biāo).,由于線性變換保持線性關(guān)系不變，因而在 ,的像

2、A 與基的像 A 1 , A 2 , , A n 之間也必然,有相同的關(guān)系：,A = A (x11 + x22 + + xnn ),= x1 A (1 ) + x2 A (2 ) + + xn A (n ) (2),上式表明，如果我們知道了基 1 , 2 , , n 的像，,那么線性空間中任意一個向量 的像也就知道了，,或者說,1. 設(shè) 1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一組基.,如,果線性變換 A 與 B 在這組基上的作用相同，即,A i = B i , i = 1, 2, , n ,那么 A = B .,結(jié)論 1 的意義就是，一個線性變換完全被它在,一組基上的作用所決定.,下面我們

3、進一步指出，基,向量的像卻完全可以是任意的，也就是說,2. 設(shè) 1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一組基.,對,于任意一組向量 1 , 2 , , n 一定有一個線性變,換 A 使,A i = i , i = 1, 2, , n . (3),綜合以上兩點，得,定理 1 設(shè) 1 , 2 , , n 是線性空間 V 的一,組基， 1 , 2 , , n 是 V 中任意 n 個向量.,存,在唯一的線性變換 A 使,A i = i , i = 1, 2, , n .,有了以上的討論，我們就可以來建立線性變換,與矩陣的聯(lián)系.,二、線性變換的矩陣,1. 定義,定義 7 設(shè) 1 , 2 , , n

4、是數(shù)域 P 上 n 維線性,空間 V 的一組基， A 是 V 中的一個線性變換.,基,向量的像可以被基線性表出：,用矩陣來表示就是,A (1 , 2 , , n ) = (A 1 , A 2 , , A n ),= (1 , 2 , , n ) A ，,其中,矩陣 A 稱為 A 在基 1 , 2 , , n 下的矩陣.,(5),例 1 設(shè) 1 , 2 , , m 是 n ( n m ) 維線性空,間 V 的子空間 W 的一組基，把它擴充為 V 的一組,基 1 , 2 , , n .,指定線性變換 A 如下：,如此確定的線性變換 A 稱為對子空間 W 的一個,投影.,不難證明投影 A 在基 1

5、, 2 , , n 下的矩,陣是,這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù),域 P 上的 n 維線性空間 V 的線性變換到數(shù)域 P 上,的 n n 矩陣的一個映射.,前面的,說明這,個映射是單射，,說明這個映射是滿射.,換,句話說，我們在這二者之間建立了一個雙射.,這個,對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它保持運算，即有,2. 性質(zhì),定理 2 設(shè) 1 ,2 , ,n 是數(shù)域 P 上 n 維線性,空間 V 的一組基，在這組基下，每個線性變換按,對應(yīng)一個 n n 矩陣.,這個對應(yīng)具有以,下的性質(zhì)：,1) 線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；,2) 線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；,3) 線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量

6、乘,積；,4) 可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變,換對應(yīng)于逆矩陣.,證明,設(shè) A ，B 是兩個線性變換，它們在,基 1 , 2 , , n 下的矩陣分別是 A，B，即,A (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )A ，,B(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )B .,1) 由,(A + B ) (1 , 2 , , n ),= A (1 , 2 , , n ) + B(1 , 2 , , n ),= (1 , 2 , , n ) A + (1 , 2 , , n ) B,= (1 , 2 , , n )( A + B ) .,可知，在 1 ,

7、2 , , n 基下，線性變換 A + B 的,矩陣是A + B.,2) 相仿地，,(A B ) (1 , 2 , , n ),=A ( B (1 , 2 , , n ) ),=(A (1 , 2 , , n ) B ),=(A (1 , 2 , , n ) ) B,= (1 , 2 , , n )AB .,因此，在 1 , 2 , , n 基下，線性變換 A B 的矩,是 AB .,3) 因為,( k 1 , k 2 , , k n ) = (1 , 2 , , n )kE .,所以數(shù)乘變換 K 在任何一組基下都對應(yīng)于數(shù)量矩,陣kE .,由此可知，數(shù)量乘積 kA 對應(yīng)于矩陣的數(shù),量乘積 kA

8、 .,4) 單位變換 E 對應(yīng)于單位矩陣，因之等式,A B = BA = E,與等式,AB = BA = E,相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，而且,逆變換與逆矩陣相應(yīng).,證畢,定理 2 說明數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的全部,線性變換組成的集合 L( V ) 對于線性變換的加法與,數(shù)量乘法構(gòu)成 P 上一個線性空間，與數(shù)域 P 上 n,級方陣構(gòu)成的線性空間 P n n 同構(gòu) .,利用線性變換的矩陣可以直接計算一個向量的,像.,三、向量像的計算公式,定理 3 設(shè)線性變換 A 在 基1 , 2 , , n下,的矩陣是 A，,(x1 , x2 , , xn )，,標(biāo) (y1 , y2 ,

9、 , yn ) 可以按公式,計算.,向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo)是,則 A 在基 1 , 2 , , n 下的坐,證明,由假設(shè),于是,另一方面，由假設(shè),由于1 , 2 , , n 線性無關(guān)，所以,證畢,線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起,一般來說，隨著基的改變，同一個線性變換就,有不同的矩陣.,為了利用矩陣來研究線性變換，我,們有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改,變而改變的.,的，,四、線性變換,定理 4 設(shè)線性空間 V 中線性變換 A 在兩組,基,1 , 2 , , n ， (6),1 , 2 , , n (7),下的矩陣分別為 A 和 B，從基 (6) 到 (

10、7) 的過渡矩,陣是 X，于是 B = X-1AX .,在不同基下的矩陣的關(guān)系,證明,已知,(A 1 , A 2 , , A n ) = (1 , 2 , , n )A，,(A 1 , A 2 , , A n ) =(1 , 2 , , n )B，,(1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )X .,于是,(A 1 , A 2 , , A n ) = A (1 , 2 , , n ),= A (1 , 2 , , n )X ,= A (1 , 2 , , n )X,= (A 1 , A 2 , , A n )X,= (1 , 2 , , n )AX,= (1 , 2 , ,

11、n )X-1AX .,= (1 , 2 , , n )X-1AX .,由此即得,B = X-1AX .,證畢,定理 4 告訴我們，同一個線性變換 A 在不同,基下的矩陣之間的關(guān)系.,這個基本關(guān)系在以后的討,論中是重要的.,現(xiàn)在，我們對于矩陣引進相應(yīng)的定,義.,五、相似矩陣,1. 定義,定義 8 設(shè) A，B 為數(shù)域 P 上兩個 n 級矩陣，,如果可以找到數(shù)域 P 上的 n 級可逆矩陣 X，使得,B = X-1AX ,就說 A 相似于 B，記作 A B .,2. 性質(zhì),相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下,面三個性質(zhì)：,1) 反身性：A A .,這是因為 A = E-1AE .,2) 對稱性：

12、如果 A B，那么 B A .,如果 A B，那么有 X 使 B = X-1AX .,令 Y=X-1,就有 A = XBX-1 = Y-1BY，所以 B A .,3) 傳遞性：如果 A B，B C，那么 A C .,已知有 X，Y 使 B = X-1AX ， C = Y-1BY .,令,Z = XY，就有 C = Y-1X-1AXY = Z-1AZ，,因此 A C .,矩陣的相似對于運算有下面的性質(zhì).,4) 若 B1 = X-1A1X， B2 = X-1A2X，則,B1 + B2 = X-1( A1 + A2)X ；,B1B2 = X-1( A1 A2)X .,5) 若矩陣 A 與 矩陣 B 相似, 且矩陣 A 可逆,則矩陣 B 也可逆, 且 A-1 與 B-1 相似.,g(A) 與 g(B) 相似.,6) 若矩陣 A 與 B 相似, k 是常數(shù), m 是正整,數(shù), g(x) = a0 xm + a1xm-1 + + am , 則,kA 與 kB 相似,Am 與 Bm 相似,有了矩陣相似的概念之后，,可以補充,成：,定理 5 線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣是,相似的；,反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可,以看作同一個線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.,例 2