1、三、最大值與最小值,二、極大值與極小值,2.4.1,函數(shù)單調(diào)性與,極值的判別,一、函數(shù)單調(diào)性,一、 函數(shù)單調(diào)性,若,定理 1. 設(shè)函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無(wú)妨設(shè),任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說(shuō)明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢,例1. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),說(shuō)明:,單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外,也可能是不可導(dǎo)點(diǎn).,例如,2) 如果函數(shù)在某導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,例2. 證明,時(shí), 成立不等式,二、極大值與極小值,定義:

2、,在其中當(dāng),時(shí),(1),則稱 為 的極大值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極大值 ;,(2),則稱 為 的極小值點(diǎn) ,稱 為函數(shù)的極小值 .,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .,注意:,為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn),不是極值點(diǎn),2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不可導(dǎo)點(diǎn).,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如,為極大點(diǎn) ,是極大值,是極小值,為極小點(diǎn) ,定理 2 (極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),回憶費(fèi)馬引理,導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)即 的實(shí)根叫做 的駐點(diǎn).,駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？,例1. 求函數(shù),的極值 .,解:,1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3) 列表判別,是極大點(diǎn)，,其極

3、大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,求極值的一般步驟：,(1)求,(2)求駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn),(3)檢查 在駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào), 判斷極值點(diǎn),(4)求極值,練習(xí). 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值,練習(xí). 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值,定理3(極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,注：,例2. 求函數(shù),的極值 .,解: 1) 求導(dǎo)數(shù),2) 求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3) 判別,因,故 為極小值 ;,又,故需用第一判別法判別.,駐點(diǎn),端點(diǎn),端點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),則其最值可能,在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得 .,三、最大值與最小值,求函數(shù)最值步驟:,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,

4、2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值,哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值.,特別:,當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),若在此點(diǎn)取極大 值 , 則也是最大 值 .,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .,(小),解,計(jì)算,例3.,實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意:,(1)建立目標(biāo)函數(shù);,(2)求最值;,例,某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？,解,設(shè)房租為每月 元，,租出去的房子有 套

5、，,每月總收入為,（唯一駐點(diǎn)）,故每月每套租金為350元時(shí)收入最高.,最大收入為,例,解,如圖,解得,( k 為某一常數(shù) ),練習(xí) . 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處,AC AB ,要在 AB 線上選定一點(diǎn) D 向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨,D 點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解: 設(shè),則,令,得,又,所以 為唯一的,極小點(diǎn) ,故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .,總運(yùn)費(fèi),物從B 運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn) ,問(wèn),20km,公路,內(nèi)容小結(jié),1. 連續(xù)函數(shù)的極值,(1) 極值可疑點(diǎn) :,駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn),(2) 第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),為極大值,過(guò),由負(fù)變正,為極小值,(3) 第二充分條件,為極大值,為極小值,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別 .