1、第九章 層次分析,The Analytic Hierarchy Process (AHP),第九章 層次分析,在管理中，人們常常需要對一些情況作出決策：例如企業(yè)的決策者要決定購置哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；經(jīng)理要從若干求職者中決定錄用哪些人員；地區(qū)、部門官員要對人口、交通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出決策。 在日常生活中也常會遇到，在多種類不同特征的商品中選購。報考學(xué)校選擇志愿。畢業(yè)時選擇工作崗位等。,這一系列的問題，單純靠構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型來求解的方法往往行不通，而用完全主觀的定奪也常常表現(xiàn)為舉棋不定，而最終選擇不理想，甚至不滿意的決策方案。 面對這樣的問題，運籌學(xué)者開始了對人們思維決策過程進(jìn)行

2、分析、研究。,第九章 層次分析,美國運籌學(xué)家，T.L.Saaty等人在九十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法，稱之為層次分析法（AHP法） T.L.Saaty等曾把它用于電力工業(yè)計劃，運輸業(yè)研究，美國高等教育事業(yè)1985-2000展望，1985年世界石油價格預(yù)測等方面。,第九章 層次分析,這種方法的特征：定性與定量相結(jié)合，把人們的思維過程層次化，數(shù)量化。 AHP法作為一種決策方法是在1982年11月召開的中美能源、資源、環(huán)境學(xué)術(shù)會議上，有Saaty學(xué)生H.Gholamnezhad首先向中國介紹的。以后層次分析法在中國得到很大的發(fā)展，很快應(yīng)用到能源系統(tǒng)分析，城市規(guī)劃，經(jīng)濟(jì)管理科研成果評價

3、的許多領(lǐng)域。,第九章 層次分析,9.1 層次分析法的基本步驟 運用AHP法進(jìn)行決策時，大體可以分為4個步驟進(jìn)行： （1） 分析系統(tǒng)中各個因素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)； （2） 對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；,第九章 層次分析,（3） 由判斷矩陣計算被比較元素對于該準(zhǔn)則的相對權(quán)重； （4） 計算各層元素對系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并進(jìn)行排序。,第九章 層次分析,一、建立層次分析的結(jié)構(gòu)模型： 用AHP分析問題，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造層次分析的結(jié)構(gòu)模型。這些層次大體上可分為3類： 1、最高層：在這一層次中只有一個元素，一般是分析問題的預(yù)

4、定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此又稱目標(biāo)層；,第九章 層次分析,2、中間層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可由若干個層次組成，包括所需要考慮的準(zhǔn)則，子準(zhǔn)則，因此又稱為準(zhǔn)則層； 3、最底層：表示為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策、方案等，因此又稱為措施層或方案層。 層次分析結(jié)構(gòu)中各項稱為此結(jié)構(gòu)模型中的元素。,第九章 層次分析,決策目標(biāo),準(zhǔn)則1,方案1,準(zhǔn)則m1,準(zhǔn)則2,子準(zhǔn)則1,方案2,子準(zhǔn)則2,方案mr,子準(zhǔn)則m2,方案層,準(zhǔn)則層,目標(biāo)層,第九章 層次分析,注：層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以有元素（非底層元素）并不支配下一層次的所有元素而只支配其中部分元素。這種自上而下的支配關(guān)系

5、所形成的層次結(jié)構(gòu)，我們稱之為遞階層次結(jié)構(gòu)。 遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及分析的詳盡程度有關(guān)，一般可不受限制。,第九章 層次分析,為了避免由于支配的元素過多而給兩兩比較判斷帶來困難，每層次中各元素所支配的元素一般地不要超過9個，若多于9個時，可將該層次再劃分為若干子層。 例1、某顧客選購電冰箱時，對市場上正在出售的四種電冰箱考慮6項準(zhǔn)則作為評價依據(jù)，得到如下層次分析模型：,第九章 層次分析,目標(biāo)層： 準(zhǔn)則層： 方案層：,第九章 層次分析,例2、選擇科研課題： 某研究單位現(xiàn)有3個科研課題，限于人力物力，只能承擔(dān)其中一個課題，如何選擇？ 考慮下列因素： 成果的貢獻(xiàn)大小，對人材培養(yǎng)的作用，

6、課題可行性。 在成果貢獻(xiàn)方面考察：應(yīng)用價值及科學(xué),第九章 層次分析,意義（理論價值，對某科技領(lǐng)域的推動作用）； 在課題可行性方面考慮：難易程度（難易程度與自身的科技力量的一致性），研究周期（預(yù)計需要花費的時間），財政支持（所需經(jīng)費，設(shè)備及經(jīng)費來源，有關(guān)單位支持情況等）。,第九章 層次分析,目標(biāo)層,第九章 層次分析,方案層,準(zhǔn)則層,例3、設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過河運輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有輪渡。 此問題中過河方式的確定取決于過河方式的效益與代價（即成本）。通常我們用費效比（效益/代價）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此構(gòu)造以下兩個層次分析的結(jié)構(gòu)模型。,第九章 層次分析,準(zhǔn)則層

7、,過河的效益A,經(jīng)濟(jì)效益B1,社會效益B2,環(huán)境效益B3,橋梁D1,隧道D2,渡船D3,收入,c2,岸間商業(yè),c3,節(jié)省時間,c1,當(dāng)?shù)厣虡I(yè),c4,建筑就業(yè),c5,安全可靠,c6,交往溝通,c7,自豪感,c8,舒 適,c9,進(jìn)出方便,c10,美 化,c11,第九章 層次分析,方案層,目標(biāo)層,第九章 層次分析,目標(biāo)層,準(zhǔn)則層,方案層,二、構(gòu)造判斷矩陣： 上、下層之間關(guān)系被確定之后，需確定與上層某元素Z（目標(biāo)A或某個準(zhǔn)則Z）相聯(lián)系的下層元素（x1，x2，xn)各在上層元素Z之中所占的比重。 方法：每次取2個元素，如xi，xj，以aij表示 xi 和 xj 對Z的影響之比。這里得到的A=(aij)n

8、n稱為兩兩比較的判斷矩陣。,第九章 層次分析,Saaty建議用19及其倒數(shù)做為標(biāo)度來確定aij的值，19比例標(biāo)度的含義： xi比xj強(qiáng)（重要）的程度 xi/ xj 相等 稍強(qiáng) 強(qiáng) 很強(qiáng) 絕對強(qiáng) aij 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19標(biāo)度的理由：兩兩比較的心理習(xí)慣， 顯然，判斷矩陣A的元素有如下特征：,第九章 層次分析,1 aij0 2aji=1/aij 3aii=1 我們稱判斷矩陣A為正互反矩陣。,第九章 層次分析,例如在例2中，準(zhǔn)則層B對目標(biāo)層作因素兩兩比較，并可建立下面判斷矩陣： B1：B2為3 B1：B3為1 認(rèn)為人才培養(yǎng)比另二項稍重要，另二項差不多相同重要。,第九章 層次分析

9、,判斷矩陣 B1 B2 B3 B1 1 3 1 A= B2 1/3 1 1/3 B3 1 3 1,第九章 層次分析,三、單一準(zhǔn)則下元素相對排序權(quán)重計算及判斷矩陣一致性檢驗： 1、單一準(zhǔn)則下元素排序： 求判斷矩陣A的最大特征值max及標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）的特征向量W。W的向量為同一層次中相應(yīng)元素對于上一層次中某個因素相對重要性的排序權(quán)重。有wi0，i， 。,第九章 層次分析,在構(gòu)造判斷矩陣時，各層元素間兩兩比較時，aij應(yīng)有某種傳遞性質(zhì)，即若甲比乙重要，乙比丙重要，合理地應(yīng)有甲比丙更重要，在數(shù)值上表示為aijajk=aik 即 若xi與xj相比aij=3，xj與xk相比ajk=2，那么有傳遞性的判斷

10、應(yīng)xj與xk相比，ajk=6 。,第九章 層次分析,2、判斷矩陣的一致性概念： 判斷矩陣是各元素均為正數(shù)的矩陣這種正矩陣有下列重要性質(zhì)。,第九章 層次分析,定理設(shè)n階方陣A為正矩陣， max為A的最大模特征值，u =（u1，u2，un)T為max的相應(yīng)特征向量。 、max 0，ui 0，i =1，2，n 、max是單特征根；（因此 u 除差一常數(shù)因子外是唯一的） 、A的任何其它特征值，有max| |。,第九章 層次分析,定義：若正互反矩陣A滿足aijajk=aik i ，j ，k =1，2，n 則稱A為一致陣。 一致陣的重要性質(zhì)：設(shè)A是一致陣， 1A的轉(zhuǎn)置亦是一致陣； aij=1/aji ，a

11、ij=1 ，i ，j=1，2，n； 由定義 aijajk=aik 則顯然,第九章 層次分析,2A的每一行均為任意指定的另一行的正數(shù)倍，從而A的秩為1。（即只有一個非零特征值，其余n-1個為0特征值）； 考慮第行元素ai1，ai2，ain 對于第k行元素ak1，ak2，akn j=1，2，n， aij=aikakj 即第行各元素分別為第k行各元素的aik倍。,第九章 層次分析,3A的最大特征根max= n，其余特征根皆為零； 4設(shè)u=(u1，u2，un)T是A對應(yīng)max的特征向量，則aij=ui /uj i ，j =1, 2, , n 容易驗證：對于n及向量u=(u1，u2，un)T 若aij=

12、ui /uj ij 則 Au=nu (i， )又由定理1及性質(zhì)2可知 max=n，u滿足4,第九章 層次分析,5若A為判斷矩陣，那么A對應(yīng)于max =n 的標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）特征向量 u=(u1， u2，un)T 就是一組排序權(quán)向量。 （歸一化 ）由性質(zhì)4即知。 1.2 進(jìn)一步地有如下定理 定理2、n階正互反矩陣A=（aij)nn是一致陣的充分必要條件為max=n,第九章 層次分析,Proof : “必要性”即是上面性質(zhì)3已證 “充分性”設(shè)A的最大特征值為max，相應(yīng)特征向量u=(u1，un)T Au= max u 分量形式：對 i =1，2，n 由定理1知ui0 ，于是max= 注意aij=1

13、，max-1= aij uj /ui,第九章 層次分析,求和（把i=1，n的各式相加）： nmax-n= aij uj /ui 注意 aji=1/aij 整理上式得： nmax-n= (aij uj /ui +1/ aij uj /ui )( ),第九章 層次分析,*,( )式末端=n2-n=n(n-1) 注意：當(dāng)x0時 x+(1/x)2當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立 。 于是：aij ( uj /ui )+ (1/ aij)( uj /ui) 2 ( )式右端 2 = 2(n-1)+(n-2)+2+1=n(n-1) =左端 當(dāng)且僅當(dāng) aij (uj /ui)=1時等號成立,第九章 層次分析,*,*

14、, aij ( uj /ui )即aijajk=(ui /uj) (uj /uk)= uj /uk=ajk故A是一致陣。 由于客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識的多樣性，我們得到的判斷矩陣常常不具有傳遞性和一致性，但應(yīng)該要求這些判斷大體是一致的。 當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時，它的可靠性值得懷疑，為此需對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗。,第九章 層次分析,一致性檢驗步驟： 、計算一致性指標(biāo)C.I.=(max-n)/(n-1) (ConsisTeney Index) 、查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.(Random Index) 115階正互反矩陣計算1000次得到的平均隨 機(jī)一致性指標(biāo)： 矩陣階數(shù) 1 2

15、3 4 5 6 7 8 R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41,第九章 層次分析,矩陣階數(shù) 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 計算：R.I.=(max-n)/(n-1)， max為m次判斷 矩陣max的平均值。 max產(chǎn)生方法：取定階數(shù)n，隨機(jī)構(gòu)造正互 反矩陣=（ij)nn ，ij在1, 2, , 9, 1/2, 1/3, , 1/9這17個數(shù)中隨機(jī)抽取，,第九章 層次分析,(只需取n(n-1)/2個，對角元為1，其余按正互反性得到）取充分大的子樣計算所有的最大特征值，然

16、后求平均即為max 。 、計算一致性比率C.R. (consistency ratio) C.R.= C.I./R.I. 當(dāng)C.R. 2 3 n 有n個線性無關(guān)的特征向量u1，u2，un x(0) Rn，則可表示為 x(0)= iui,第九章 層次分析,利用迭代公式 x(k+1)=Ax(k) k=0，1， 得到點列x(0)，x(1)，x(2)， 顯然，x(k+1)=A(k)x0 =Ak iui = iAkui = i ikui = ikiui+ i(i / 1)kui,第九章 層次分析,由于i/ 11，i=2，3，n 當(dāng)k充 分大時有Akx(0) 1k 1u1 于是(Ak+1x(0)i /(A

17、kx(0)i 1 i=1，2，n 特別地，當(dāng)(Akx(0)j=1時 (Ak+1x(0)j1 Ak+1x(0)即為特征向量。,第九章 層次分析,例： 1 3 1 A= 1/3 1 1/3 取初始向量x=(1，0，0)T 1 3 1 i x1 x2 x3 y1 y2 y3 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1/3 1 1 1/3 1 1 2 3 1 3 1 1/3 1 3 3 3 1 3 1 1/3 1 3,第九章 層次分析,第九章 層次分析,max =3，u=(3，1，3)T 歸一化：w=(3/7，1/7，3/7)T,、實用方法,第九章 層次分析,此法當(dāng)矩陣一致性較好時，收斂很快。 在實用

18、上常用下面的一些更為簡單的方 法（僅對近似一致性矩陣適應(yīng)）。 2、方根法： 步驟： 、求Mi=( aij)1/n i=1，2，n 、標(biāo)準(zhǔn)化（歸一化）：Wi=Mi / Mj 、max=（1/n） (AW)i /Wi,第九章 層次分析,EX. 1 3 1 M1= =1.4422 A= 1/3 1 1/3 M2= =0.4807 1 3 1 M3= =1.4422 w1=0.4286 歸一化： w2=0.1428 w3=0.4286 Aw=(1.2856，0.4285，1.2856)T max=2.9999,第九章 層次分析,3、和積法： 步驟： 、求（每列歸一化） bij=aij / akj i，

19、j=1，2n 、行求和Mi= bij i= 1，2，n 再歸一化：Wi=Mi / Mj i= 1，2，n 、max=(1/n) (AW)i/Wi,第九章 層次分析,例： 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M1=9/7 A= 1/3 1 1/3 B= 1/7 1/7 1/7 M2=3/7 1 3 1 3/7 3/7 3/7 M3=9/7 Mj=3 w2=1/7 Aw=(9/7，3/7，9/7)T w3=3/7 max=3 顯然，當(dāng)A是一致陣時， max=n，對歸一化的w aij=wi/wj,第九章 層次分析, w1=3/7,方根法：Mi=( aij)1/n=Wi/S S=( Wj)1/n i=

20、1，2，n 歸一化后w即為(w1，w2，wn)T max=(1/n) (Aw)i / wi (Aw=nw) =n2/n =n,第九章 層次分析,和積法： akj= wk/wj bij=aij/ akj=wi / wk Mi= bij=(nwi)/ wk 歸一化后w即為 (w1，w2，wn)T 同理max=n 當(dāng)A近似一致陣時，這些量是近似的。 例： 1 2 5 A= 1/2 1 3 1/5 1/3 1,第九章 層次分析,用冪法：取x(0)=(1，0，0)T k x1 x2 x3 y1 y2 y3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0.5 0.2 1 1 0.5 0.2 2 3 1.6 0

21、.5667 3 1 .5333 .1889 3 3.0111 1.6 0.5667 3.0111 1 .5314 .1882 4 3.0037 1.5959 0.5653 3.0037 1 .5313 .1882 5 3.0037 1.5959 0.5653 3.0037,第九章 層次分析,max=3.0037 C.I.= (max-3)/(3-1)=0.00185 C.R.=C.I./R.I.=0.00185/0.52=0.0036 滿足一致陣要求 。 u=(3.0037，1.5959，0.5653)T 歸一化得：w=(0.5816，0.3090，0.1094)T,第九章 層次分析,用方根法

22、： 、M1= = =2.1544 M2= =1.1447 M3= =0.4055 、歸一化：M1+ M2+ M3=3.7046 w1=2.1544/3.7046=0.5815 w2=1.1447/3.7046=0.3090 w3=0.4055/3.07046=0.1095 w=(0.5815，0.3090，0.1095)T,第九章 層次分析,3,3,3,3,、Aw=(1.7470，0.9283，0.3388)T 1 1.7470 0.9283 0.3288 3 0.5815 0.3090 0.1095 3.0037,第九章 層次分析,max=,+,+,=,用和積法： 、 1 2 5 0.588

23、2 0.6 0.5556 A= 1/2 1 3 B= 0.2941 0.3 0.3333 1/5 1/3 1 0.1177 0.1 0.1111 、行求和M=(1.7438，0.9274，0.3288)T M1+M2+M3=3 歸一化：w=(0.5813，0.3091，0.1096)T,第九章 層次分析,列歸 一化,、Aw=(1.7475，0.9286，0.3289)T 1 1.7475 0.9286 0.3289 3 0.5813 0.3091 0.1096 3.0038,第九章 層次分析,max=,+,+,=,二、殘缺判斷與群組決策： 1、殘缺判斷及處理方法： 應(yīng)用AHP進(jìn)行決策時，每個準(zhǔn)

24、則應(yīng)有一個判斷矩陣，需進(jìn)行 n(n-1)/2 次兩兩比較 (判斷矩陣的上或下三角)。 當(dāng)層次很多，因素復(fù)雜時，判斷量很大，可能出現(xiàn)某個參與決策的專家對某些判斷缺少把握，或不想發(fā)表意見，使判斷矩陣殘缺。,第九章 層次分析, 可接受的殘缺判斷矩陣 若任一殘缺元素都可通過已給出的元 素間接獲得的殘缺判斷矩陣。 根據(jù)一致性的條件：間接獲得的元素 指，若aij缺少可由aij=aikakj或更一般地 aij=aik ak k ak k ak j得到。,第九章 層次分析,1,1,2,3,2,s,可接受的殘缺矩陣的排序向量計算 常用的有特征根方法，對數(shù)最小二 乘法及最小偏差法等。 特征根法：設(shè)A對應(yīng)max的特

25、征向量 w =(w1，w2，wn)T 由一致性條件知 aij = wi /wj，特征根法即把缺少的的元素用wi /wj來替代。,第九章 層次分析,設(shè)原判斷矩陣A=(aij)nn構(gòu)造輔助矩陣 C = (cij)nn 使 cij= aij , aij0 wi /wj , aij=0 例：設(shè) 1 2 0 A= 12 1 2 是可接受的殘缺矩陣 0 12 1,第九章 層次分析,輔助矩陣 1 2 w1w3 C= 1/2 1 2 w1w3 1/2 1 解特征根問題：cw =maxw 展開：左=（2w1+2w2，1/2w1+w2+2w3，1/2w2+2w3)T = max(w1, w2, w3)T 解得：m

26、ax=3 w =(0.5714，0.2857，,0.1429）T,第九章 層次分析,可以看出:C 的特征值問題等價于 2 2 0 = 1/2 1 2 0 1/2 2 的特征值問題（Aw= maxw與Cw= maxw相同）,第九章 層次分析,故只需求下列矩陣的特征值及特征向量 = (aij )nn aij 當(dāng)aij0，ij aij = 0 當(dāng)aij=0 mi+1 當(dāng)ij時，mi為第i行中殘缺元素的個數(shù) 求解 w = maxw 可得不完整信息下的排列向量,第九章 層次分析,(3)一致性檢驗： max-n C.I.= (n-1)-（ ） 當(dāng)C.R.=C.I./R.I.0.1時 認(rèn)為有滿意的 一致性。

27、,第九章 層次分析,2.群組決策： 為使決策科學(xué)化、民主化，一個復(fù)雜系統(tǒng)通常是由多個決策者（專家）或決策部門參與決策的。群組決策問題是指采取一定的方法以使決策者的決策綜合成一個較合理的結(jié)果的過程。,第九章 層次分析,應(yīng)做好如下工作： 重視并做好專家咨詢工作； 、合理選擇咨詢對象；（專長及熟悉的領(lǐng)域） 、創(chuàng)造適合于咨詢工作的良好環(huán)境；（介紹AHP方法，提供信息，獨立思考） 、正確的咨詢方法；（通過咨詢確定遞階層次結(jié)構(gòu)，設(shè)計好表格）,第九章 層次分析,、及時分析專家咨詢信息，必要時要進(jìn)行反饋及多輪次咨詢 群組決策綜合分析方法：兩類方法： 、將各專家的判斷矩陣綜合，得到綜合判斷矩陣，再計算排序。,第

28、九章 層次分析,、先求各專家判斷矩陣的排序向量，再綜合成群組排序向量。 設(shè)S個專家的判斷矩陣： Ak=(aij (k) k=1,2, S 分別求出它們各自的排序向量 wk=(w1(k) ，w2(k) wn(k)T,實用中傾向第類方法！,(k),第九章 層次分析,再記平均綜合向量為w =(w1,w2, ,wn)T 方法1.加權(quán)幾何平均綜合排序向量法： 計算 wj= wj / （歸一化） 其中，k 0且 k為第k個決策者的權(quán)重.,j=1,2.n,第九章 層次分析,對可采用性的考察： 計算wj的標(biāo)準(zhǔn)差： j= 其相應(yīng)于新的總體判斷矩陣A=(aij) (aij=wi /wj)的總體標(biāo)準(zhǔn)差：,第九章 層

29、次分析,(K),2,ij= 個體標(biāo)準(zhǔn)差： （k)=,當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差滿足要求時，這組群組判斷可采用，當(dāng)個體標(biāo)準(zhǔn)差(k)滿足要求時，認(rèn)為第k個決策者的決策可通過，否則將信息反饋給有關(guān)專家，供修改時參考。,第九章 層次分析,(K),2,方法2.加權(quán)算術(shù)平均綜合向量法： 計算 W=1Wj(1)+ 2Wj(2)+sWj(s) k0， 可類似地根據(jù)，式判斷可采用性。,第九章 層次分析,9.3應(yīng)用舉例 一、某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要決 定如何使用。 供選擇方案： 作獎金，集體福利設(shè) 施，引入設(shè)備技術(shù) 建立如下層次分析模型：,第九章 層次分析,目標(biāo)層： 準(zhǔn)則層C： 方案層P：,第九章 層次分析,A-C判斷矩陣

30、: A C1 C2 C3 w(2) C1 1 1/5 1/3 0.105 C2 5 1 3 0.637 C3 3 1/3 1 0.258 max=3.038 歸一化特征向量w(2) C.I.=0.019 C.R.=0.032760.1 滿意的一致性,第九章 層次分析,C1-P: C1 P1 P2 U1(3) P1 1 1/3 0.75 P2 3 1 0.75 max=2 C.I.=0,第九章 層次分析,C2-P: C2 P2 P3 U2(3) P2 1 1/5 0.167 P3 5 1 0.833 max=2 C.I.=0,第九章 層次分析,C3-P: C3 P1 P3 U3(3) P1 1

31、2 0.667 P2 1/2 1 0.333 max=2 C.I.=0,第九章 層次分析,0.25 0 0.667 U(3)= 0.75 0.167 0.333 0 0.833 0 w(3)=U(3)w(2)=(0.198，0.27，0.531)T 得到P3優(yōu)于P1又優(yōu)于P2，從分配上可以 用53.1%來引進(jìn)新設(shè)備，新技術(shù)； 用19.8%來發(fā)獎金； 用29.1%來改善福利。,第九章 層次分析,二、層次分析法對于下面幾種情況的優(yōu)化問題特別適用： 問題中除可計量的量外，還存在不可計量的量時，可用AHP通過對不可計量的量與可計量的量的相對比較，而獲得相對的量測； 當(dāng)優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)難以事先確定，而在很

32、大程度上取決于決策者的經(jīng)驗時；,第九章 層次分析,各變量不獨立，有內(nèi)部相關(guān)性時； 目標(biāo)與約束，約束與約束之間緊密聯(lián)系時； 多目標(biāo)問題；,第九章 層次分析,在用AHP法解決優(yōu)化問題時，常用的有兩種方式： 當(dāng)模型中涉及不可計量的量時，用AHP法的比例標(biāo)度來確定目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)的權(quán)重（系數(shù)） 直接采用AHP模型 AHP法有廣泛的應(yīng)用前景，可以用來決定其它方面的一些問題。下面舉一個解決優(yōu)化問題的例子。,第九章 層次分析,例：最佳食品搭配問題！ 假設(shè)某人有3種食品可供選擇：肉，面包，蔬菜它們所含營養(yǎng)成分及單價如下表： 食品 維生素A 維生素B2 熱量 單價 搭配量 （國際 （毫克/克） （千卡/克）

33、（元/克） 單價/克） 肉 0.3527 0.0021 2.86 0.0055 X1 面包 0 0.0006 2.76 0.0012 X2 蔬菜 25.0 0.002 0.25 0.0014 X3,第九章 層次分析,該人體重55公斤，每天對各種營養(yǎng)的最小需求為： 維生素A：7500 國際單位 維生素B2：1.6338 毫克 熱量：2050 千卡 問題：應(yīng)如何搭配食品？（自然的想法 是：使在保證營養(yǎng)的情況下支出最小）,第九章 層次分析,容易建立如下線性規(guī)劃模型： min Z=0.0055 x1+0.0012 x2+0.0014 x3 s.t. 0.3527 x1+25.0 x37500 0.00

34、21 x1+0.0006 x2+0.002x31.6338 2.86 x1+2.76 x2+0.25 x32050 x1，x2，x30 利用單純形法可得解 x*=(0, 689.44, 610.67)T z*1.67,第九章 層次分析,即，不吃肉，面包689.44克，蔬菜610.67克，每日支出1.67元。顯然這個最優(yōu)方案是行不通的，它沒有考慮本人對食品的偏好。我們可根據(jù)偏好加約束: x1140, x2450, x3不限 得到線性規(guī)劃解： x*=(245.44, 450.00 424.19)T Z*=2.48元,第九章 層次分析,其次，在這里各營養(yǎng)成分被看成同樣重 要，起決定因素的是支出。但實

35、際上， 營養(yǎng)價值與支出都需考慮，只是地位 （權(quán)重）不同。這樣無法建立目標(biāo)函數(shù)。 下面用層次分析法來處理問題： 層次結(jié)構(gòu)：,第九章 層次分析,每日需求 R,支出 C,營養(yǎng) N,維生素 A,維生素 B2,維生素 Q,肉 me,面包 br,蔬菜 ve,第九章 層次分析,對于一個中等收入的人，滿足營養(yǎng)要求 比支出更重要。 于是： R N C w(2) N 1 3 0.75 C 1/3 1 0.25,max=2 C.I.=0,第九章 層次分析,N A B2 Q w1(3) A 1 1 2 0.4 B2 1 1 2 0.4 Q 1/2 1/2 1 0.2 max=3 C.I.=0,第九章 層次分析,0.4 0 w(3) = 0.4 0 0.25 0.2 0 0.25 =(0.3, 0.3, 0.15, 0.25)T 0 1 最底層（方案層）對準(zhǔn)則層的單排列權(quán) 重，只需對題目給的數(shù)據(jù)歸一化即可。 由于要支出最小價格倒數(shù)，價格倒數(shù)歸一：( 181.818，833.333，714.286 )T 于是得到,第九章 層次分析,A B2 Q C(價格) me 0.0139 0.4468 0.4872 0.1057 U(4) br 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 ve 0.9861 0.4255