1、第三節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性,1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與性質(zhì),f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),y軸,原點(diǎn),相反,相同,0,原點(diǎn),(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性_ (2)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0. (3)設(shè)f(x)，g(x)有：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇,2奇、偶函數(shù)的性質(zhì),相同,相反,3.周期性 (1)周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個周期，則需滿足的條件： T0; _對定義域內(nèi)的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個 _，那么這個_就叫做它的最小正周期 (3)

2、周期不唯一：若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個周期，則 nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期.,f(x+T)=f(x),最小的正數(shù),最小的正數(shù),4對稱性,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”). (1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).( ) (2)函數(shù)f(x)=0,x(0,+)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).( ) (3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對 稱.( ) (4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心 對稱.( ),【解析】(1)錯誤.當(dāng)奇函數(shù)的定義域不含0時，則圖象不過原 點(diǎn). (2)錯誤.函數(shù)f(

3、x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱. (3)正確.函數(shù)y=f(x+a)關(guān)于直線x=0對稱，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于 直線x=a對稱. (4)正確.函數(shù)y=f(x+b)關(guān)于點(diǎn)(0，0)中心對稱，則函數(shù)y=f(x) 關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱. 答案：(1) (2) (3) (4),1.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對 稱中心是( ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 【解析】選B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱，函數(shù) y=f(x+1)的圖象可由y=f(x)的圖象向左平移1個單位得到， 故函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對稱中心為

4、(-1，0).,2.函數(shù) 的圖象關(guān)于( ) (A)y軸對稱 (B)直線y=-x對稱 (C)坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 (D)直線y=x對稱 【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域為(-,0)(0,+)，且 函數(shù)f(x)是奇函數(shù).故選C.,3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+4)=f(x),則f(8) 的值為( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 【解析】選B.f(x+4)=f(x),f(x)是以4為周期的周期 函數(shù)，f(8)=f(0). 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， f(8)=f(0)=0,故選B.,4.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(-,0)上 是減函數(shù)，若f(a

5、)f(2),則實數(shù)a的取值范圍是( ) (A)a2 (B)a-2或a2 (C)a-2 (D)-2a2 【解析】選B.由題意知函數(shù)y=f(x)在(0,+)上是增函數(shù)， 且f(-2)=f(2),故由f(a)f(2),得f(|a|)f(2),|a|2， 解得a2或a-2.,考向 1 函數(shù)奇偶性的判斷 【典例1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性. (1) (2) (3),【規(guī)范解答】(1)由 得-1x1,因此函數(shù)的定義域 為(-1，1，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)由 得-1x0或0x1. 函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)(0,1). 此時x-20,|x-2|-2=-x, 又 函數(shù)f(x)

6、為奇函數(shù).,(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為：(-，0)(0,+)，關(guān)于原 點(diǎn)對稱，當(dāng)x0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 當(dāng)x0時,-x0，則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(-x)=-f(x)成立， 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)奇偶性的兩個方法 (1)定義法：,(2)圖象法：,【變式訓(xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義 域均為R，則( ) (A)f(x)與g(x)均為偶函數(shù) (B)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù) (C)f(x)與g(x)均為奇函數(shù) (D)

7、f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù) 【解析】選B.f(-x)=3-x+3x=f(x)，g(-x)=3-x-3x=-g(x)， f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)，故選B.,(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性： ,【解析】由 得-2x2且x0, 函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x+30, 又 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).,f(x)的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x0時， -x0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 當(dāng)x0時，-x0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 當(dāng)x=0時，f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x). 故該函數(shù)為奇函數(shù).,考向 2 函數(shù)奇

8、偶性的應(yīng)用 【典例2】(1)(2013杭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是定義在 (-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)0,則不等 式的解集為 . (2)(2013蘇州模擬)“a=1”是“函數(shù) 在其定 義域上為_函數(shù),【規(guī)范解答】(1)因為f(x)是奇函數(shù), 所以不等式f(x-3)+f(x2-3)0等價于f(x2-3)-f(x-3)=f(3-x), 又f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù), 所以 解得2x ,即不等式的解集為(2, ). 答案:(2, ),(2)當(dāng)a=1時， 此時 =-f(x), f(x)是其定義域上的奇函數(shù). 當(dāng) 是其定義域上的奇函數(shù)時，f(-x)=-f

9、(x), 即 從而“a=1”是“函數(shù) 在其定義域上為奇函數(shù)”的 充分不必要條件. 答案：充分不必要,【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=2x2-x，則f(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 【解析】選A.由奇函數(shù)的定義有f(-x)=-f(x)， 所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.,(2)已知函數(shù) 為奇函數(shù)，則a+b=_. 【解析】設(shè)x0,則-x0, f(-x)=(-x)2-x=x2-x. 又f(-x)=-f(x), x0時，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx, a=-1,b=1,a+b=0. 答案：0,考

10、向 3 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 【典例3】(1)(2012山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足 f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x-1時，f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x3時， f(x)=x,則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( ) (A)335 (B)338 (C)1 678 (D)2 012 (2)(2012江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間-1，1上， 其中a,bR,若 則a+3b的值為_.,【規(guī)范解答】(1)選B.f(x+6)=f(x),T=6. 當(dāng)-3x-1時,f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1x3時，f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f

11、(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(6)=1, f(1)+f(2)+f(6)=f(7)+f(8)+f(12) =f(2 005)+f(2 006)+f(2 010)=1, f(1)+f(2)+f(2 010)=1 =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, f(1)+f(2)+f(2 012)=335+3=338.,(2)因為f(x)的周期為2,所以 即 又因為 所以 3a+2b=-2 , 又因為f(-1)=f(1),所以 即b=-2a , 將代入，得a=2,b=-4,

12、 a+3b=2+3(-4)=-10. 答案：-10,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論 若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x都有： (1)f(x+a)=-f(x)(a0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它 的一個周期. (2) 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是 它的一個周期. (3) 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的 一個周期. 【提醒】應(yīng)用函數(shù)的周期性時，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi).,【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x， 恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x0,2時，f(x)=2x-x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù). (2)當(dāng)x2,

13、4時，求f(x)的解析式. (3)計算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).,【解析】(1)f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， f(x)是周期為4的周期函數(shù). (2)當(dāng)x-2,0時，-x0,2，由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)=-2x-x2, f(x)=x2+2x. 又當(dāng)x2,4時，x-4-2,0, f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).,又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 從而求得x2,4時，f(x)=x2

14、-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0， f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,【創(chuàng)新體驗2】創(chuàng)新運(yùn)用函數(shù)奇偶性問題 【典例】(2013遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=ln( -3x)+1, 則f(lg 2)+f(lg )=( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,【解析】選D.令g(x)=ln( -3x)， 則因為

15、3x，所以函數(shù)定義域為R, 又g(-x)=ln( +3x)= =-ln( -3x)=-g(x)， 所以g(x)為奇函數(shù),所以g(-x)+g(x)=0， 所以g(lg 2)+g(lg )=g(lg 2)+g(-lg 2)=0， 所以f(lg 2)+f(lg )=g(lg 2)+1+g(lg )+1= g(lg 2)+g(-lg 2)+2=0+2=2.,【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.命題形式:常以給出函數(shù)f(x)=g(x)+c(其中c為非零常數(shù),而g(x)為奇函數(shù)), 求f(x)最大值與最小值的和, 或求f(-a)+f(a)=2c形式出現(xiàn).,【新題快遞】 1.(2013南京模擬)已知函數(shù)f(x)= a=f(l

16、n2 014),b=f( ),則a+b= .,【解析】由已知f(x)= 令g(x)= 則g(x)為奇函數(shù), 且f(x)=g(x)+1， a=f(ln2 014)=g(ln 2 014)+1, b=f(ln )=g(-ln 2 014)+1, 則a+b=g(ln 2 014)-g(ln 2 014)+2=2. 答案：2,2.(2013寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+ )，g(x)= f(x)+2 015，下列命題: f(x)的定義域為(-,+); f(x)是奇函數(shù); f(x)在(-,+)單調(diào)遞增; 若實數(shù)a,b滿足f(a)+f(b-1)=0，則a+b=1; 設(shè)函數(shù)g(x)在-2 015,2

17、 015的最大值為M,最小值為m，則M+m=2 015. 其中真命題的序號是 .(寫出所有真命題的序號),【解析】因為 x,所以正確. 對于,f(-x)=ln(-x+ ) =ln( )=-ln(x+ )=-f(x)， 所以正確. 對于,令h(x)=x+ ,則h(x)為增函數(shù), 又y=ln x為增函數(shù), 所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,所以正確.,對于，因為f(x)為奇函數(shù), 所以f(x)+f(-x)=0,所以a=1-b, 所以a+b=1，所以正確. 對于,f(x)=g(x)-2 015為奇函數(shù), f(x)max=M-2 015, f(x)min=m-2 015， 所以(M-2 015)+(m-2 015)=0, 所以M+m=4 030，所以錯誤. 答案：,2.(2013寧波模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意xR，都有 且當(dāng)x-3,-2時，f(x)=4x,則f(107.5)=( ) (A)10 (B) (C)-10 (D),【解析】選B. 因此f(x)是周期為6的函數(shù). 又f(x)是偶函數(shù)， ,3.(2013湖州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函 數(shù)，當(dāng)x0,1時，f(x)=x+1,則f( )=_. 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)周期性縮小自變量，再根據(jù)奇