1、數(shù)學建模方法插值與擬合,插值與擬合的關(guān)系,在工程中，常有這樣的問題：給定一批數(shù)據(jù)點（它可以是設(shè)計師給定，也可能是從測量與采樣中得到），需確定滿足特定要求的曲線或曲面。對這個問題有兩種方法。 一種是插值法。要求所求曲線（面）通過所給的所有數(shù)據(jù)點。 另一種方法是數(shù)據(jù)擬合（曲線擬合與曲面擬合）。人們設(shè)法找出某條光滑曲線，它最佳地擬合數(shù)據(jù)，但不必要經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點。,內(nèi)容提綱,1、插值問題 2、數(shù)據(jù)擬合,1、插值問題,1.1、一維插值 插值問題的一般提法：已知y = f(x)（該函數(shù)未知） 在互異的n+1個點x0,x1,x2,xn處的函數(shù)值y0, y1,y2, yn,構(gòu)造一個過n+1個點（xk,yk）

2、k=0,1,2,n的次數(shù) 不超過n的多項式 y = Ln(x)，（稱為插值多項式） 使其滿足Ln(xk) = yk ，（稱為插值條件） 然后用y = Ln(x)作為準確函數(shù)y = f(x)的近似值。此方 法稱為插值法。 Theorem：滿足插值條件的次數(shù)不超過n的多項式 是唯一存在的。,兩點一次(線性)插值多項式:,三點二次(拋物)插值多項式:,1.1.1 Lagrange插值法,就是滿足插值條件的n次多項式 Lagrange插值多項式,上式稱為Lagrange插值基函數(shù),例1、已知數(shù)據(jù)表,解：,基函數(shù)為,寫出 f(x) 的線性插值函數(shù) , 并求 f(1.5) 的近似值。,線性插值函數(shù)為,且

3、f(1.5) L1(1.5) = 0.885。,Lagrange插值法的缺點,多數(shù)情況下，Lagrange插值法效果是不錯的，但隨著節(jié)點數(shù)n的增大，Lagrange多項式的次數(shù)也會升高，可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性變差。如龍格（Runge）現(xiàn)象。 例：在-5,5上用n+1個等距節(jié)點作插值多項式Ln(x),使得它在節(jié)點處的值與函數(shù)y = 1/(1+25x2)在對應節(jié)點的值相等，當n增大時，插值多項式在區(qū)間的中間部分趨于y(x)，但對于滿足條件0.728|x|1的x， Ln(x)并不趨于y(x)在對應點的值，而是發(fā)生突變，產(chǎn)生劇烈震蕩，即Runge現(xiàn)象。,1.1.2 分段插值法,圖中看到，隨著

4、節(jié)點的增加，Lagrange插值函數(shù)次數(shù)越高，插值函數(shù)在兩端容易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，為了改進高次插值的缺陷，就產(chǎn)生了分段插值。 分段插值基本思想：將被插函數(shù)逐段多項式化。 處理過程：將區(qū)間a,b 劃分： 在每個子段 上構(gòu)造低次多項式，然后將其拼接在一起作為整個區(qū)間a,b 上的插值函數(shù)，這樣構(gòu)造出的插值函數(shù)稱為分段多項式，改進了多項式插值整體性太強的缺點，可以進行局部調(diào)整而不會影響整體。,分段線性插值,設(shè)插值節(jié)點 若 ：,分段線性插值,1.1.3 三次樣條插值,分段線性插值函數(shù)在結(jié)點的一階導數(shù)一般不存在，光滑性不高，這就導致了樣條插值的提出。 在機械制造、航海、航空工業(yè)中，經(jīng)常要解決下列問題：已知一些

5、數(shù)據(jù)點，如何通過這些數(shù)據(jù)點做一條比較光滑（如二階導數(shù)連續(xù)）的曲線呢？,繪圖員解決這一問題是首先把數(shù)據(jù)點描繪在平面上，再把一根富有彈性的細直條（稱為樣條）彎曲，使其一邊通過這些數(shù)據(jù)點，用壓鐵固定細直條的形狀，沿樣條邊沿繪出一條光滑的曲線，往往要用幾根樣條，分段完成上述工作，這時，應當讓連接點也保持光滑。對繪圖員用樣條畫出的曲線，進行數(shù)學模擬，這樣就導出了樣條函數(shù)的概念。,三次樣條插值問題提出,設(shè)在區(qū)間a,b上，已給n+1個互不相同的節(jié)點 a=x0x1xn=b以及函數(shù)y = f(x)在這些節(jié)點的值f(xi)=yi,i=0,1,n.如果分段函數(shù)S(x)滿足下列條件： （1） S(x)在子區(qū)間xi,x

6、i+1的表達式Si(x)都是次數(shù)為3的多項式； （2）S(xi) = yi; （3） S(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的二階導數(shù)。 就稱S(x)為f(x)在點x0，x1，xn的三次樣條插值函數(shù).,即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,n xix xi+1 （4n個變量） 需要4n個方程 S(xi) = yi i=0,1,n (n+1個方程） S(xi-0)= S(xi+0) i=1,n-1 在xi連續(xù) (n-1個方程） S/(xi-0)= S/(xi+0) i=1,n-1 在xi連續(xù)(n-1個方程） S/(xi-0)= S/(xi+0) i=1,n-1 在xi連續(xù)(n-1個

7、方程） 再加兩個條件:可在邊界點x0與xn處給出導數(shù)的約束條件，稱為邊界條件。 （1）S/(x0)= f0/ ,S /(xn)= fn/ (2) S/(x0)= f0/ ,S /(xn)= fn/ (3) S/(x0)= S /(xn)= 0 自然邊界條件 （2個方程） 可以證明：滿足上述4n個線性方程組有唯一解。,三次樣條插值問題分析,總結(jié),拉格朗日插值：其插值函數(shù)在整個區(qū)間上是一個解析表達式；曲線光滑；收斂性不能保證，用于理論分析，實際意義不大。 分段線性插值和三次樣條插值：曲線不光滑（三次樣條已有很大改進）；收斂性有保證；簡單實用，應用廣泛。,1.2 二維插值,二維插值是基于一維插值同樣

8、的思想，但是它是對兩個變量的函數(shù)Z=f(x,y)進行插值。 求解二維插值的基本思路：構(gòu)造一個二元函數(shù)Z=f(x,y)，通過全部已知結(jié)點，即f(xi,yi)=zi,(i=0,1,n),再利用f(x,y)插值，即Z*=f(x*,y*)。,二維插值常見可分為兩種：網(wǎng)格結(jié)點插值和散亂數(shù)據(jù)插值。 網(wǎng)格結(jié)點插值適用于數(shù)據(jù)點比較規(guī)范，即在所給數(shù)據(jù)點范圍內(nèi)，數(shù)據(jù)點要落在由一些平行的直線組成的矩形網(wǎng)格的每個頂點上，散亂數(shù)據(jù)插值適用于一般的數(shù)據(jù)點，多用于數(shù)據(jù)點不太規(guī)范的情況。,第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：,已知 mn個節(jié)點,注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。,二維或高維情形的最鄰近插值，

9、與被插值點最鄰近的 節(jié)點的函數(shù)值即為所求。,1.2.1網(wǎng)格節(jié)點插值法最鄰近插值,將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)值依次簡記為：,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,1.2.1網(wǎng)格節(jié)點插值法分片線性插值,插值函數(shù)為：,第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足,插值函數(shù)為：,注意：(x, y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；,分兩片的函數(shù)表達式如下：,第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足,雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。 雙線性插值函數(shù)的形式如下：

10、,其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。,1.2.1網(wǎng)格節(jié)點插值法雙線性插值,第二種（散亂節(jié)點）：,1.2.2 散亂數(shù)據(jù)插值法,在T=a,b c,d上散亂分布n個點。一般采用反距離加權(quán)平均法。 基本思想：在非給定數(shù)據(jù)的點處，定義其函數(shù)值由已知數(shù)據(jù)按與該點距離的遠近作加權(quán)平均決定，記 則二元函數(shù)（曲面）定義為：,如此定義的曲面是全局相關(guān)的，對曲面的任一點作數(shù)據(jù)計算都要涉及到全體數(shù)據(jù)，這在大量數(shù)據(jù)中是很慢的，但因為這種做法思想簡單，人們對它進行了種種改進。,2.1 一維插值函數(shù),yi=interp1(x，y，xi，method),n

11、earest ：最鄰近插值linear ： 線性插值； spline ： 三次樣條插值； cubic ： 立方插值。 缺省時： 分段線性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。,2、用MATLAB解插值計算,解 在命令窗口輸入:,例 1 在一天24h內(nèi), 從零點開始每間隔2h測得的環(huán)境溫度為,12, 9, 9, 10, 18, 24, 28, 27, 25, 20, 18, 15, 13,(單位: ),推測在每1s時的溫度. 并描繪溫度曲線.,t=0:2:24 T=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13 plot(t,T,*)

12、,ti=0:1/3600:24 T1i=interp1(t,T,ti) plot(t,T,*,ti,T1i,r-),T2i=interp1(t,T,ti,spline) plot(t,T,*,ti,T1i,r-,ti,T2i,g-),例 2 在飛機的機翼加工時, 由于機翼尺寸很大, 通常在圖紙上只能標出部分關(guān)鍵點的數(shù)據(jù). 某型號飛機的機翼上緣輪廓線的部分數(shù)據(jù)如下:,x 0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133,y 0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 6.69,x 152 171 190,y 7.03 3.99

13、0,x=0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 y=0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0 xi=0:0.001:190 yi=interp1(x,y,xi,spline) plot(xi,yi),要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),nearest 最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 缺省時, 雙線

14、性插值,2.2 用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值,插值函數(shù)griddata格式為:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,要求cx取行向量，cy取為列向量。,nearest 最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 缺省時, 雙線性插值,2.3 用MATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算,例 海底曲面圖,例：在某海域測得一些點（x,y)處的水深z由下表給出，在矩形區(qū)域(75,200) (-50,150)內(nèi)畫出海底曲面的圖形.,海底曲面圖 程序,x=129 140 103.5 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162

15、162 117.5; y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; z= 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9; plot3(x,y,z,o), hold on %原始數(shù)據(jù)點 % 插值 cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);% 三次插值 meshz(cx,cy,cz),海底曲面圖 結(jié)果,曲線擬合的一般提法：已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x)

16、, 使 f(x) 在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。常采用的方法是最小二乘擬合法。,y=f(x),i 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離,3、數(shù)據(jù)擬合,用Matlab解最小二乘擬合（多項式擬合）方法,在線性最小二乘擬合中，用的較多的是多項式擬合。則Matlab中有現(xiàn)成的函數(shù) a=polyfit(x0,y0,m) 其中輸入?yún)?shù)x0,y0為要擬合的數(shù)據(jù)，m為擬合多項式的次數(shù)，輸出參數(shù)a為擬合多項式 系數(shù) 多項式在x處的值y可用下面的函數(shù)計算 y=polyval(a,x),例 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)1990-1996年的生產(chǎn)利潤如下表： 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 利潤（萬元） 70 122 144 152 174 196 202 試預測1997年和1998年的利潤。 解 作已知數(shù)據(jù)的的散點圖， x0=1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996; y0=70 122 144 152 174 196