1、二次函數(shù)在給定區(qū)間上求值域,建平縣高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)組 林寶文,課程 導(dǎo)航,二次函數(shù)在R上的值域和圖像,求下列函數(shù)的值域、最值.,畫(huà)板演示,定軸定區(qū)間上的值域,畫(huà)板演示,動(dòng)軸定區(qū)間上的值域,已知函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的最大值.,解：,（畫(huà)板演示）,綜上可知：,已知函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)的最小值.,會(huì)嗎？,（畫(huà)板演示）,定軸動(dòng)區(qū)間上的值域,已知函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的最大值與最小值？,（畫(huà)板演示）,例題講解：,例1 設(shè)函數(shù) f(x) =x2-2x-3.3在區(qū)間t，t+1上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式。,分析,解：f(x)=(x-1)2-4.3，對(duì)稱(chēng)軸為x=1,(2)當(dāng)0t 1時(shí)，則g(t)=f(

2、1)=-4.3;,(1)當(dāng)t1時(shí)，則g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;,(3)當(dāng)t+11，即t0時(shí)，則g(t)=f(t+1)=t2-4.3;,22.若 1x3, a 為何值時(shí), x2-5x+3+a=0 有兩解, 一解, 無(wú)解?,解: 原方程即為 a=-x2+5x-3 (1),作出函數(shù) y=-x2+5x-3(10 恒成立問(wèn)題,1. ax2+bx+c0在R上恒成立. ,ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立. , f(x)min0(xm, n),3一元二次方程實(shí)根的分布 一般地，方程f(x)=ax2+bx+c(a0)的根x1，x2的分布所滿足的充要條件如下表：,f(x)=ax2+

3、bx+c0) 在 m, n 上恒成立. ,1.方程 f(x)=0 有兩正根 ,六、二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的實(shí)根分布問(wèn)題,記 f(x)=ax2+bx+c(a0),2.方程 f(x)=0 有兩負(fù)根 ,4.方程 f(x)=0 的兩實(shí)根都小于 k ,3.方程 f(x)=0 有一正根一負(fù)根 ,c0.,5.方程 f(x)=0 的兩實(shí)根一個(gè)大于 k, 另一個(gè)小于 k ,f(k)0.,6.方程 f(x)=0 的兩實(shí)根都大于 k,7.方程 f(x)=0 的兩實(shí)根都在區(qū)間(m, n)內(nèi),8.方程 f(x)=0 的兩實(shí)根中, 有且只有一個(gè)在區(qū)間(m, n)內(nèi)., f(m)f(n)1, a=5.,(

4、2)當(dāng) 3-2aa, 即 00, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.,解: f(x) 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線, 其對(duì)稱(chēng)軸為直線 x=a-1.,(1)問(wèn)題等價(jià)于“對(duì)于 x-1, 1, 有 f(x)max0.”,討論如下:,當(dāng) a-10 即 a1 時(shí), f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.,由 -a2-2a+150 得: -5a1 時(shí), f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.,由 -a2+6a+70 得: -1a1, 1a7.,綜上所述, -5a0.”,討論如下:,當(dāng) a-1-1 即 a0 得: -1a7., a0, -1a0 恒成立., 0a2.,注: 亦可用補(bǔ)集法求解.,綜上所述,

5、-12 時(shí), f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.,由 -a2-2a+150 得: -5a2, 20, 從而 f(x)x.,又 x1-f(x)=x1-x+F(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)1+a(x-x2)., x1-f(x)0, 從而 x1f(x).,故當(dāng) x(0, x1) 時(shí), 有 xf(x)x1;,由于 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0 的兩根,ax21, 即ax2-10 在0, 上恒成立, 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.,解: (1)令 t=sinx, 則方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在0, 上有兩個(gè)

6、 不同的解等價(jià)于:,方程 2t2-4at+1-a=0 有一根為 0, 另一根不在 (0, 1) 內(nèi);,或方程 2t2-4at+1-a=0 在 (0, 1) 內(nèi)有兩等根;,或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在 (0, 1) 內(nèi), 另一解在0, 1外.,當(dāng) t=0 時(shí), a=1, 方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根為 2 且 2(0, 1),a=1 適合題意;,方程 2t2-4at+1-a=0 有兩等根時(shí), 由 =16a2-8(1-a)=0 得:,a=-1時(shí), 方程 2t2-4at+1-a=0 的兩等根為-1 但 - 1(0, 1),a=-1 不合題意, 舍去;,設(shè) f(t)=2t

7、2-4at+1-a, 則方程 2t2-4at+1-a=0有一解在(0, 1)內(nèi), 另一解在0, 1外等價(jià)于: f(0)f(1)0 在0, 1上恒成立.,此即為所求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.,解法二: 分離參數(shù): a=(0sinx0, 當(dāng)x(-, -3)(2, +) 時(shí), f(x)0. (1)求 f(x) 在0, 1上的值域; (2) c 為何值時(shí), ax2+bx+c0 的解集為 R.,11.已知函數(shù) f(x)=ax2+4x+b(a0, a, bR). 設(shè)關(guān)于 x 的方程f(x)=0 的兩根分別為 x1, x2, f(x)=x 的兩根分別為, . (1)若|-|=1, 求 a, b 滿足的關(guān)系式; (2