1、第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征,第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第二節(jié)：方差第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第四節(jié)：矩、協(xié)方差矩陣,在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,例：在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度；考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度；,因此，在對隨機(jī)變

2、量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.而所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點。,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),第一節(jié)數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)小結(jié),引例：某7人的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)?以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是:PX=xk=pk,k=1,2,請注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。,若級數(shù),絕對收斂，,則稱級數(shù),即,的和

3、為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例1、（0-1）分布的數(shù)學(xué)期望,X服從0-1分布，其概率分布為,若X服從參數(shù)為p的0-1分布，則E(X)=p,例2,試比較甲、乙兩人的技術(shù)那個好,一旅客8:20到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望.,例3按規(guī)定,某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：,例4,定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分,絕對收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即,請注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分.,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,例4,例5,若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)

4、,求整機(jī),壽命(以小時計)N的數(shù)學(xué)期望.,的分布函數(shù)為,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1.問題的提出：,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？,一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.,(1)當(dāng)X為離散型時,它的分布率為P(X=x

5、k)=pk;,(2)當(dāng)X為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為f(x).若,定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)),該公式的重要性在于:當(dāng)我們求Eg(X)時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.,上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。,例6,例7,解：,設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸，y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;,4.設(shè)X、Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);,2.若k是常數(shù)，則E(kX)=k

6、E(X);,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);,（諸Xi相互獨立時）,請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立,五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用,例8求二項分布的數(shù)學(xué)期望,若XB(n,p)，,則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).,現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望.,可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.,XB(n,p),若設(shè),則X=X1+X2+Xn,=np,i=1,2，n,因為P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,所以E(X)=,則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù).,本題是將X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和,然后利用隨,機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

7、的和來求,數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.,六、小結(jié),這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.,接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個重要的數(shù)字特征：,方差,第二節(jié)方差,方差的定義方差的計算方差的性質(zhì)切比雪夫不等式小結(jié),上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.,但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.,由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到,這個數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的,方差,能度量隨機(jī)變量與其均

8、值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對值,運算不方便,通常用量,來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.,一、方差的定義,記為D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.,方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.,若X的取值比較集中，則方差D(X)較??；,因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度。,X為離散型，分布率PX=xk=pk,由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學(xué)期望.,二、方差的計算,X為連續(xù)型，X概率密度f(x),計算方差的一個簡化公式,D(

9、X)=E(X2)-E(X)2,展開,證：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望性質(zhì),例1,設(shè)隨機(jī)變量X具有(01）分布，其分布率為,求D(X).,解,由公式,因此,0-1分布,例2,解,X的分布率為,上節(jié)已算得,因此,泊松分布,例3,解,因此,均勻分布,例4,設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為,解,由此可知,指數(shù)分布,三、方差的性質(zhì),1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;,2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X);,3.設(shè)X與Y是兩個隨機(jī)變量，則D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)

10、Y-E(Y),4.D(X)=0PX=C=1,這里C=E(X),下面我們證明性質(zhì)3,證明,若X,Y相互獨立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得,此性質(zhì)可以推廣到有限多個相互獨立的隨機(jī)變量之和的情況.,例6設(shè)XB(n,p)，求E(X)和D(X).,則是n次試驗中“成功”的次數(shù),下面我們舉例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用.,解,XB(n,p),“成功”次數(shù).,則X表示n重努里試驗中的,于是,i=1,2，n,由于X1,X2,Xn相互獨立,=np(1-p),E(Xi)=p,D(Xi)=,p(1-p),例7,解,于是,例如,例8,解,由于,故有,四、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件|X-E(X)|的概率

11、越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.,證,我們只就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.,當(dāng)方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.vX與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.,如取,可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3的概率小于0.111.,例9已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率.,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求為P(5200X9400),P(5200X9400),=P(-2100X-E(X)2100),=P|X-

12、E(X)|2100,由切比雪夫不等式,P|X-E(X)|2100,即估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9.,六、小結(jié),這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.,它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個數(shù)字特征.,下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征：,協(xié)方差、相關(guān)系數(shù),第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),協(xié)方差相關(guān)系數(shù),小結(jié),前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),量EX-E(X)Y-E(Y)稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)

13、方差,記為Cov(X,Y)，即,Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),Cov(X,Y)=Cov(Y,X),一、協(xié)方差,2.簡單性質(zhì),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù),Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),1.定義,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.,3、計算協(xié)方差的一個簡單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得,Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,特別地,D(X+Y)=

14、D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,二、相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).,在不致引起混淆時，記為.,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有,0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y),D(Y-bX)=,2.X和Y獨立時，=0，但其逆不真.,由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.,故,=0,請看下例.,事實上，X的密度函數(shù),例1設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,不難求得,存在常數(shù)a,b(b0），,使PY=a+bX=1，,即X和Y以概率1線性相關(guān).,因而=0，,即X和Y不相關(guān)

15、.,但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，,即X和Y不獨立.,相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.,但對下述情形，獨立與不相關(guān)等價,前面，我們已經(jīng)看到：,若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，,但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.,4、二維正態(tài)分布獨立與相關(guān)的關(guān)系,三、小結(jié),這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、,相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征.,注意獨立與不相關(guān)并不是等價的.,當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時，有,第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣,原點矩中心矩協(xié)方差矩陣n元正態(tài)分布的概率密度小結(jié),一、原點矩中心矩,定義設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若,存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩,存在，稱它

16、為X的k階中心矩,可見，均值E（X）是X一階原點矩，方差D（X）,是X的二階中心矩。,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.,稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.,可見，,二、協(xié)方差矩陣,將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.,類似定義n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣.,為(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣,三、n元正態(tài)分布的概率密度,f(x1,x2,xn),則稱X服從n元正態(tài)分布.,其中C是(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣.,|C|是它的行列式，表示C的逆矩陣，,X和是n維列向量，表示X的轉(zhuǎn)置.,設(shè)=(X1,X2,Xn)是一個n維隨機(jī)向量,若它的概率密度為,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì),1.X=(X1,X2,Xn)服從n元正態(tài)分布,若X=(X1,X2,Xn)服從n元正態(tài)分布，,Y1,Y2,，Yk是Xj（j=1,2,n）的線性函數(shù)，,則(Y1,Y2,，Yk)也服從多元正態(tài)分布.,2.正態(tài)變量的線性變換不變性.,3.設(shè)(X1,X2,Xn)服從n元正態(tài)分布，則,“X1,X2,Xn相互獨立”,等價于,“X1,X2,Xn兩兩不相關(guān)”,例