1、信息與計算科學系,1,PPT學習交流,隨著科學技術(shù)的發(fā)展和計算機的廣泛應(yīng)用，科學計算已經(jīng)成為平行于理論分析和科學實驗的第三種科學手段。 數(shù)值計算已經(jīng)成為數(shù)學工作者、計算機工作者、工程技術(shù)人員必須掌握的知識和工具。而計算方法是數(shù)學與計算機技術(shù)相結(jié)合的一門學科。,學習必要性,2,PPT學習交流,1956年在華羅庚教授主持下，首先設(shè)立計算數(shù)學研究組。伴隨著我國獨立研制成功的103計算機、104計算機、119計算機、109乙機和109丙機相繼投入運行，及國民經(jīng)濟和國防建設(shè)對于科學和工程計算的強烈需求，這支隊伍發(fā)展壯大極為迅速， 高級研究人員中有馮康、徐鐘濟教授?！拔母铩笔?，仍在周總理的支持下，不斷發(fā)

2、展。 二十世紀五、六十年代是我國計算技術(shù)、計算數(shù)學與科學工程計算蓬勃發(fā)展的年代。研究領(lǐng)域幾乎覆蓋了計算數(shù)學的所有分支。,計算數(shù)學在中國的發(fā)展,3,PPT學習交流,面向結(jié)構(gòu)工程和固體力學計算的邊值問題數(shù)值方法； 面向流體力學計算的初值與初邊值問題數(shù)值方法 ； 面向復雜系統(tǒng)控制的常微分方程數(shù)值解法； 面向交通運輸?shù)鹊淖顑?yōu)化計算， 面向經(jīng)濟、人口和社會 發(fā)展的概率統(tǒng)計計算 ； 面向計算機圖形與顯示技術(shù)的計算幾何學等。,數(shù)值逼近，有限元法，邊界元法，并行計算，多重網(wǎng)格計算，最優(yōu)化計算方法，計算幾何等。,研究內(nèi)容與方向,4,PPT學習交流,雅可比,笛卡兒,馮 康,歐拉,03 世紀,泰勒,拉格朗日,柯西,

3、牛頓,萊布尼茲,伯努利,高斯,狄利克雷,維爾斯特拉斯,劉徽,16 世紀,17 世紀,18 世紀,19 世紀,20 世紀,華羅庚,數(shù)學家,5,PPT學習交流,劉徽(約225 295年),劉徽是我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學家.,他撰寫的重,差對九章算術(shù)中的方法和公式作了全面的評,注,指出并糾正了其中的錯誤 ,在數(shù)學方法和數(shù)學,理論上作出了杰出的貢獻 .,他的 “ 割圓術(shù) ” 求圓周率,“ 割之彌細 , 所失彌小,割之又割 , 以至于不可割 ,則與圓合體而無所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精確”的重要,極限思想 ., 的方法 :,6,PPT學習交流,高斯(1777 1855),德國

4、數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領(lǐng)域 ,在數(shù)論、,級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng),性的貢獻,他還十分重視數(shù)學的應(yīng)用,地測量學和磁學的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、,曲面論和位勢論等.,他在學術(shù)上十分謹慎,原則:,代數(shù)、非歐幾何、 微分幾何、 超幾何,在對天文學、大,恪守這樣的,“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.,7,PPT學習交流,華羅庚(1910 1985),我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家.,他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學術(shù)論文近 300 篇.,偏微分方,

5、多復變函數(shù)論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生的成長非常關(guān)心,他提出治學之道是,“ 寬, 專, 漫 ”,即基礎(chǔ)要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè),知識漫到其它領(lǐng)域.,1984年來中國礦業(yè)大學視察時給,給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng) ”.,8,PPT學習交流,馮 康,國際上享有盛名的計算數(shù)學家.,1944年畢業(yè)于中央大學電機工程系。 曾任中科院計算中心主任、名譽主任。 還擔任國內(nèi)和國際上許多大學，研究所 的兼職教授、名譽教授等職。1980年當 選為中科院院士。 馮康先生在上世紀五六十年代中國與世界數(shù)學界隔絕的情況下，獨立創(chuàng)造了求解微分方程的有限元方法，并先于西方建立了嚴密的理論體系，是國

6、際公認的當代計算數(shù)學的一項重大成就 。并于上世紀八九十年代開創(chuàng)了辛幾何算法。,9,PPT學習交流,計算方法課程簡介,10,PPT學習交流,計算方法教學大綱,課程編號：,學時：40/60 學分：3,課程性質(zhì)：必修,適用專業(yè)：數(shù)學類專業(yè),課程別名：數(shù)值分析,11,PPT學習交流,計算方法性質(zhì)、任務(wù),性質(zhì),“計算方法”研究用計算機解決數(shù)學問題的數(shù)值方法及,理論，是與計算機使用密切結(jié)合的實用性強的數(shù)學課程。,任務(wù),熟練掌握常用的數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析；,提高算法設(shè)計和理論分析能力；,對所學數(shù)值計算方法能編程在計算機上算出結(jié)果。,12,PPT學習交流,計算方法課時安排,13,PPT學習交流,計算方

7、法考核方式,期末考試 70,上機試驗 10,平時成績 20,14,PPT學習交流,計算方法參考教材,使用教材,實用數(shù)值分析教程,冶金工業(yè)出版社出版 劉春鳳、何亞麗主編,參考教材,應(yīng)用數(shù)值分析,冶金工業(yè)出版社出版 劉春鳳、米翠蘭主編,數(shù)值分析,清華大學出版社出版 李慶楊主編,15,PPT學習交流,計算方法課的要求,1. 按時上課，不遲到；,2. 每次都認真完成并按時上交作業(yè)；,3. 每個同學盡量做好筆記；,4. 有問題及時提問，做到聽得懂、會做題。,辦公室：科技摟804。,學習計算方法的要求,16,PPT學習交流,計算方法課作業(yè)要求,每章上交一次作業(yè)，下章第一次課上交； 要求必須在課前提交，課代

8、表記錄情況。 實驗作業(yè)要求以電子文檔形式上交。,2. 通過郵箱將常見錯誤和標準答案下發(fā)， 要求必須定期去查看相關(guān)作業(yè)。,3. 郵箱： 密 碼：jisuan,學習計算方法的作業(yè)要求,17,PPT學習交流,第一章 緒論,緒 論,數(shù)值分析的研究對象,誤差的來源與分類,相對、絕對誤差，有效數(shù)字,誤差的傳播,避免誤差的準則,18,PPT學習交流,研究求數(shù)學問題近似解的方法和過程,實際問題,數(shù)學模型,數(shù)值計算方法的理論,程序設(shè)計,上機計算求出結(jié)果,一 數(shù)值分析的研究對象,計算數(shù)學,應(yīng)用數(shù)學,19,PPT學習交流,在計算機上是否根據(jù)數(shù)學公式編程就能得到正確結(jié)果?,研究例子:求解線性方程組,如把方程組的系數(shù)舍

9、 入成兩位有效數(shù)字,它的解為x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.,其準確解為：x1=x2=x3=1,一 數(shù)值分析的研究對象,20,PPT學習交流,數(shù)值分析基本內(nèi)容,Mathematica程序初步,插值與擬合,數(shù)值微分與數(shù)值積分,線性方程組的直接解法與迭代解,非線性方程的解法,常微分方程數(shù)值解法,二、數(shù)值分析的主要內(nèi)容,矩陣特征值的計算,21,PPT學習交流,時間復雜性好_指節(jié)省時間；,空間復雜性好_指節(jié)省存儲空間。,想的精確度;收斂且穩(wěn)定;誤差可以分析或估計.,數(shù)值分析的主要特點,三、數(shù)值分析的主要特點,為數(shù)學問題提供計算機上切實可行的算法.,所提出的算法必須具有：可

10、靠的理論分析;理,計算復雜性好,通過數(shù)值實驗證明算法行之有效.,22,PPT學習交流,數(shù)學分析(高等數(shù)學),高等代數(shù)(線性代數(shù)),微分方程,數(shù)學軟件,學習數(shù)值分析的準備知識,四、學習數(shù)值分析的準備知識,23,PPT學習交流,誤 差 的 來 源,第 1 節(jié),誤差的來源,24,PPT學習交流,誤差的分類,(1)模型誤差_數(shù)學模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差.,(2)觀測誤差_由觀測、觀察產(chǎn)生的誤差.,(3)截斷誤差_由簡化問題（計算公式）所引起的解的誤差(也稱方法誤差).,將函數(shù) 展成的冪級數(shù).,再如：函數(shù)f(x)用泰勒多項式近似代替,25,PPT學習交流,3.149323846,(4) 舍入誤差_數(shù)

11、字計算過程中產(chǎn)生的誤差,則數(shù)值方法的截斷誤差是,誤差的分類,26,PPT學習交流,誤差與有效數(shù)字,第2節(jié),27,PPT學習交流,誤差的一般描述,一、誤差的一般描述,28,PPT學習交流,另外， 經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)，其誤差必定不超,如：用毫米刻度的米尺測量一長度x，讀出的數(shù)為,123mm，它是x的近似值，它的誤差限是0.5mm,即,過被保留的最后數(shù)位上的半個單位，即最后數(shù)位上的,半個單位為其誤差限。,誤差的一般描述,29,PPT學習交流,絕對誤差限和相對誤差限均無窮多,自然越小越好.誤差估計的任務(wù)就是提供好的誤差限,對于任何一個近似值,如果得到一個好的誤差限,那么就可以肯定這些數(shù)據(jù)是準確可靠的

12、!,相對誤差比絕對誤差更能反映準確數(shù)與近似數(shù)的差異.,誤差的一般描述,30,PPT學習交流,如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 稱近似數(shù)x準確到,用四舍五入得到的數(shù)都是有效數(shù)字;,定義:,小數(shù)點后第k位, 從這小數(shù)點后第k位數(shù)字直到最,左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字.,有效數(shù)字越多,誤差越小,計算結(jié)果越精確.,有效數(shù)字,二、有效數(shù)字,31,PPT學習交流,x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?,例 1.1,x1=1.73, x2=1.7321,有效數(shù)字,32,PPT學習交流,解 按定義，上述各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù) 分別是： 187.93，0.0

13、37856，8.0000，2.7183。,注意： 8.000033 的5位有效數(shù)字近似數(shù)是8.0000 而不是8，因為8只有1位有效數(shù)字.,按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效 數(shù)字的近似數(shù)： 187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.,例1.2,有效數(shù)字,33,PPT學習交流,解:,3.149323846,例 1.3,有效數(shù)字,34,PPT學習交流,注意,(1)有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點的位置無關(guān);,(2)有效數(shù)位越多,相對誤差越小.,有效數(shù)字,35,PPT學習交流,第 3 節(jié),數(shù)值計算中的誤差傳播,36,PPT學習交流,例1.5,基本運算中的誤差估計,一、

14、基本運算中的誤差估計,37,PPT學習交流,多元函數(shù)有類似的結(jié)果,基本運算中的誤差估計,38,PPT學習交流,基本運算中的誤差估計,39,PPT學習交流,基本運算中的誤差估計,40,PPT學習交流,數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題,第 4 節(jié),41,PPT學習交流,1. 要避免除數(shù)絕對值遠遠小于被除數(shù)絕對值;,2。避免兩個相近的數(shù)相減;,3. 要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù);,2。應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定的計算方法;,2。簡化計算步驟和公式，設(shè)法減少運算次數(shù)。,避免誤差危害的若干原則,避免誤差危害的若干原則,42,PPT學習交流,解：,可得算法：,一、使用數(shù)值穩(wěn)定的計算公式,避免誤差危害的若干原則,43,PPT學習交流,

15、這個算法不具有穩(wěn)定性，因為,的舍入誤差傳播到 時，該誤差放大5倍，傳到,時，該誤差將是 倍，當n較大時，誤差將,淹沒真值，這種遞推公式不宜采用。,所以有估計式,避免誤差危害的若干原則,44,PPT學習交流,于是,粗略地取,可得另一算法：,這個算法是穩(wěn)定的，因為由 引起的誤差在 以后的計算過程中將逐漸減小。,避免誤差危害的若干原則,45,PPT學習交流,二、防止相近的兩數(shù)相減（損失過多的有效數(shù)字）,避免誤差危害的若干原則,取右端的有限項近似代替左端。,46,PPT學習交流,當兩個絕對值相差很大的數(shù)進行加法或減法運算時,絕對值小的數(shù)有可能被絕對值大的數(shù)吃掉從而引起計算結(jié)果不可靠.,三、防止大數(shù)吃小

16、數(shù),避免誤差危害的若干原則,47,PPT學習交流,在4位有效數(shù)字的限制下，計算：,解,從左到右,逐項相加,如果先計算, 再加,絕對值越小的數(shù)越先被相加很可能會優(yōu)化求和的精確度.,大數(shù)吃小數(shù)例,例1.10,避免誤差危害的若干原則,48,PPT學習交流,分母接近零的數(shù)會產(chǎn)生溢出錯誤,因而產(chǎn)生大的 誤差, 此時可以用數(shù)學公式化簡后再做.,四、防止接近零的數(shù)做除數(shù),避免誤差危害的若干原則,49,PPT學習交流,失真的原因： 除數(shù)的絕對值遠遠小于被除數(shù)的絕對值。,例1.11,避免誤差危害的若干原則,50,PPT學習交流,五、注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù),避免誤差危害的若干原則,求一個問題的數(shù)值解往往有

17、多種算法，不同的算法需要不同的計算量，而計算量的大小會影響誤差的積累。,51,PPT學習交流,若直接計算，再逐項相加共需要做4+3+2+1=10次,乘法和4次加法.,分析,若用著名的秦九韶算法：,只要做4次乘法和4次加法。,避免誤差危害的若干原則,52,PPT學習交流,次乘法和 n 次加法。,推而廣之,避免誤差危害的若干原則,若用秦九韶算法：,只要做n次乘法和n次加法。,53,PPT學習交流,利用等價變換使下列表達式計算比較精確.,例1.13,避免誤差危害的若干原則,54,PPT學習交流,避免誤差危害的若干原則,55,PPT學習交流,避免誤差危害的若干原則,56,PPT學習交流,（1）誤差的種

18、類及表示方法；,內(nèi)容小結(jié),內(nèi)容小結(jié),（2）有效數(shù)字的定義及求解；,（3）避免誤差的五個原則。,57,PPT學習交流,計算：,列表分析,例1.14,避免誤差危害的若干原則,58,PPT學習交流,計算 ，取 ，利用下列等 式計算，哪一個得到的結(jié)果最好？,答案：,思考與練習,59,PPT學習交流,定義1: 有效數(shù)字-如果|e| = |x* - x| 0.5 10-k 稱近似數(shù)x準確到小數(shù)點后第k位,從這小數(shù)點后第k位數(shù)字直到最左邊非零數(shù)字之間的所有數(shù)字都稱為有效數(shù)字.,定義2: 設(shè)x的近似值 x* 為:,內(nèi)容回顧,60,PPT學習交流,算法設(shè)計遵循的條件：,（5）絕對值太小的數(shù)不宜作為除數(shù) 。,（1）應(yīng)選用數(shù)值穩(wěn)定性的計算方法 ；,（2）簡化計算步驟和