1、1,解三棱錐,三棱錐對(duì)于多面體，如同三角形對(duì)于多邊形.,三角形為多邊形之根，三棱錐為多面體之根. 注意，三棱錐是個(gè)四面體，有4個(gè)面、6條棱.,圖形的認(rèn)識(shí)，從特殊到一般：,（1）三棱錐中最特殊的是正四面體，次特殊的是正三棱錐.,（3）與直三角形對(duì)應(yīng)的有直三棱錐.,（2）與等腰直角三角形對(duì)應(yīng)的有“正直三棱錐”.,（4）與等腰三角形對(duì)應(yīng)的有“等腰四面體”.,2,解正四面體,正四面體化歸為正方體求解.,在正方體 ABCD - A1B1C1D1中， 由6條面對(duì)角線 A1D、 BC1 、A1C1、 BD、A1B、DC1為棱的四面體即為 正四面體 A1 - BC1D.,正四面體A1- BC1D的棱長為1的正

2、方體 ABCD - A1B1C1D1 棱長的 倍 ；體積為正方體的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半徑 .,3,“正直”三棱錐,我們把“三條側(cè)棱相等且兩兩垂直的三棱錐”稱作“正直三棱錐”. 它的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰直角三角形，1個(gè)底面是正三角形.正直棱錐的直觀圖畫法有“立式”（左）和“臥式”（右）兩種.,立式圖中，1個(gè)側(cè)面置于水平位置. 可以清楚地看到它在對(duì)應(yīng)的正方體中的位置；臥式圖中，它的底面置于水平位置，便于在豎直方向顯示底面上的高線.,4,解正直三棱錐,二、線面關(guān)系 （1）垂直：AD與DCD1 （2）交成45 ：AD與ACD1,三、面面關(guān)系 （1）垂直：三側(cè)面兩兩之間,（2

3、）交成arctan ：如平面ACD1與平面ACD,5,正直三棱錐的高線,【題目】 若正直三棱錐V-ABC的側(cè)棱長為VA=1. 求它高線VH的長度.,設(shè)斜高在 ABC上的射影為H，則H為 ABC的中心.,故有 高線,【說明】 正直三棱錐的高線長為外接正方體對(duì)角線長 的1/3 .,6,【題目】 若正直三棱錐V-ABC的側(cè)棱長為VA=1. 求它高線VH的長度.,【解2】 （等積法）立式圖中， 易知正直三棱錐的體積為,【證明】 等積法常用來“求點(diǎn)到平面的距離”.,又,7,正直三棱錐的外接球,【題目】 正直三棱錐的側(cè)棱長為1，求其外半徑長.,【解答】 易知正直三棱錐的“外心”O(jiān) 在高線VH 的延長線上.

4、,設(shè) VO = CO =x，則 HO =,又,8,考題展示,【考題】 （2006年川卷第13題）,【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐.,【解1】 立式圖如右，OM 在ABC上射影為MC，OM與ABC的成角為OMC.,【說明】 線面角（OM與ABC成角）化為線線角（OM與MC）亦即面面角（C - AB - O）.,設(shè)OC =a，則OM =,故OMC = arctan （答案）,9,【考題】 （2006年川卷第13題）,【分析】 已知的三棱錐為正直三棱錐.,【解2】 臥式圖如右，H為底面正三角形ABC的中心.,【說明】 本法容易誤入遷解. 如先求OH和MH的長度.,得OMC = arctan （答

5、案）,OM與ABC的成角為OMC.,10,正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù),【問題】 以正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)頂點(diǎn)作三棱錐，這樣的三棱錐稱正方體的內(nèi)接三棱錐. 求正方體內(nèi)接三棱錐的個(gè)數(shù).,其中，共面的4點(diǎn)的個(gè)數(shù)是,（1）正方體的6個(gè)面；（2）正方體的6個(gè)對(duì)角面.,故正方體的內(nèi)接三棱錐有 70 12 = 58 （個(gè)）,【答案】 從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的組合數(shù)為,【說明】 這58個(gè)三棱錐與正方體同外心，共外接球.,11,“長棱”三棱錐,正方體內(nèi)接三棱錐可分四類. 除了內(nèi)接正四面體和內(nèi)接正直三棱錐外，還有兩類.,（1）斜三棱錐(圖左). （2）底面為直三角形的直三棱錐(圖右). 它們各有1條長度為 的“長棱”，

6、其外心在長棱的中點(diǎn)上.,12,直正三棱錐,底面為正三角形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐稱作“直正三棱錐”.,確定一個(gè)“直正三棱錐”需2個(gè)條件，即底棱長a和直棱長b.,“直正三棱錐”與“正直三棱錐”不同，后者的確定條件只1個(gè).,直正三棱錐的四個(gè)面中：,（1）底面是正三角形；,（2）有2個(gè)側(cè)面為直角三角形，它們都垂直于底面；,（3）另一個(gè)側(cè)面為等腰三角形；,13,解直正三角形,（1）求三棱錐P-ABC的體積；,（2）求A到平面PBC的距離.,【解答】（1）P-ABC的體積,（2）設(shè)A到平面PBC的距離為h .,易得三角形PBC的面積為,14,【證明】 易知 BOAC，又BOPA,由（1），（2）

7、知 PC平面BOH.,【說明】 由此可知BHO為二面角BPCA的平面角.,（3）O為AC的中點(diǎn)，OHPC于H. 求證：PC 平面BOH.,所以BO面PAC BOPC （1）,又OHPC （2）,15,正三棱錐,側(cè)棱長相等、底面為正三角形的三棱錐為正三棱錐. 確定一個(gè)正三棱錐需2個(gè)條件.即側(cè)棱長b和底棱長a .,正三棱錐的直觀圖一般畫成臥式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一條高線，如CD于水平線上.,錐頂V在底面上的射影為底面正三角形的中心H.,截面三角形VCD為錐體的軸截面：,（1）側(cè)棱與底面的所成角為VCD. （2）側(cè)面與底面所成二面角的平面角為VDC. （3）截面三角形的高線VH就是

8、錐體的高.,16,正三棱錐的判斷,【考題】 （2005年全國題16）,下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.,【判定】 由此推出，三側(cè)面上的斜高相等，從而推得三斜高在底面上的射影相等，從而確定H為底面三角形的中心. 由此得，三側(cè)棱相等（見右邊的軸截面圖）. 命題為真命題. 它成為正三棱錐“判定定理”之一.,17,正三棱錐的判斷,【考題】 （2005年全國題16）,下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.,【判定】 側(cè)面是等腰三角形，其底邊不一定是底面三角形的邊. 如圖右所示，可設(shè)VC=BC=

9、AC ，并讓點(diǎn)V在直線VD上移動(dòng)，可使VAB也為等腰三角形. 故命題是個(gè)假命題.,18,正三棱錐的判斷,【考題】 （2005年全國題16）,下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐.,【判定】 側(cè)面的面積都相等，只須頂點(diǎn)V到三底邊的距離相等. 到三邊等距的點(diǎn)在平面上是三角形的內(nèi)心和旁心. 到空間中，過底面三角形的內(nèi)心和旁心的底面垂線上所有的點(diǎn)，都分別與三邊等距. 故命題是假命題.,19,正三棱錐的判斷,【考題】 （2005年全國題16）,下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.,【判定】

10、 由側(cè)棱與底面所成的角都相等，可推斷三條側(cè)棱相等.,由側(cè)面與底面所成的二面角相等，可推斷側(cè)面上的三條斜高相等，并推斷底面三角形為正三角形.故三棱錐為正三棱錐.,命題為真命題，它成為正三棱錐“判定定理”之一.,20,【證明（）】 ACB=90，BCAC. PA底面ABCD， PABC BC平面PAC.,（）求證: BC平面PAC；,直三棱錐到直四棱錐,像四棱錐可化為三棱錐求解一樣，直四棱錐也可化歸為直三棱錐求解.,【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.,21,【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120

11、，PA= , ACB=90.,【證明（）】 易知ADC=60,（）求二面角DPCA的大??；,又AD=CD=1，ADC為等邊三角形，且 AC=1.,取AC的中點(diǎn)O，則DOAC， PA底面ABCD，,PADO， DO平面PAC.,過O作OHPC，垂足為H，連DH，由三垂線定理知DHPC., DHO為二面角DPCA的平面角.由,二面角DPCA的大小為arctan2.,22,【題目】 四棱錐P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.,（）求點(diǎn)B到平面PCD的距離.,【證明（）】 設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為d. ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD,

12、AB平面PCD. 點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn) A到平面PCD的距離.,【說明】 就是上面所說的“等積法”求點(diǎn)到平面的距離.,23,三棱錐的外心,任何一個(gè)三棱錐都有外接球，就像任何一個(gè)三角形都有外接圓一樣.,三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離就是三角形的外半徑.,三棱錐的外心到四個(gè)頂點(diǎn)等距，這個(gè)距離就是三棱錐的外半徑.,外心的“心、頂?shù)染唷毙再|(zhì)，是我們尋找外心的依據(jù).,三棱錐外接球的球心，稱作三棱錐的外心.,24,外心位置的確定,等腰三角形的外心在底邊的高線上； 正三角形的外心為其中心； 直三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)上.,類比可以推出，一些特殊三棱錐的外心位置：,（1）正三棱錐的外心在底面的高線上.,（2）正四面體的外心為其中心.,（3）“長棱”三棱錐的外心在“長棱”的中點(diǎn)上.,25,（1）試確定三棱錐外心位置.,（2）求外半徑的長度.,【解答】 （1）VAAB，取VB的中點(diǎn)O，,【題目】 三棱錐V ABC中，底面ABC是邊長為1的正三角形. 且VA=VC= ，且VAAB.,顯然有