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3 線性相關(guān)性的判別定理(1),線性相關(guān)性的幾個重要定理,小 結(jié) 思 考,定理3,若一向量組的部分向量組線性相關(guān),則該向量組也線性相關(guān).,注: 這個定理的等價說法是:如果一個向量組線性無關(guān),則其中任一個部分向量組也必線性無關(guān). 也即一向量組部分線性相關(guān),則整體必線性相關(guān),一向量組整體線性無關(guān),則其部分組必線性無關(guān).,證 對任意的常數(shù)k1,k2,ks，,推論 含有零向量的向量組必線性相關(guān),上兩式只是各分量的排列順序不同，因此,當(dāng)且僅當(dāng),所以 和 有相同的線性相關(guān)性。,證 對列向量來證明定理。,利用(1)式,用反證法容易證明(2)式也成立。,因此, 也線性相關(guān),即(1)式成立。,如果 線性相關(guān),就有一個非零的s1矩陣X,使,用語言敘述為：低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，低維相關(guān)。,向量組與矩陣,線性方程組的向量表示,方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng),系數(shù),未知數(shù),線性方程組的行向量表示,定理,下面舉例說明定理的應(yīng)用.,證明（略）,解,例,解,例,分析,結(jié)論,推論,定理6 設(shè)A 是一個n階方陣，則A的行(列)向量組線 性相關(guān)的充要條件是A的行列式等于零,定理7 n+1個n維向量組 必線性相關(guān)。,推論 當(dāng)mn時,m個n維向量組線性相關(guān)。,或者用書本的表述,定理8 如果向量組 可由 線性表出且st，那么 線性相關(guān)。,推論1 如果向量組 ，可由向量組 線性表出，且 線性無關(guān)，那么

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