1、營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不定積分的概念和性質(zhì),前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學(xué)。但在科學(xué) 技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與此相反的問(wèn)題：即尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)已知函數(shù)。從而產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué)。積分學(xué)分為不定積分和定積分兩部分。,本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出不定積分的概念 然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例,定義：,一、原函數(shù)與不定積分的概念,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問(wèn)題,(1) 是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？,考察如下的例子,若存在可導(dǎo)函數(shù),關(guān)于原

2、函數(shù)的說(shuō)明：,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（左、右極限存在且相等）,而已知,矛盾,既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然 要問(wèn)：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們 給出如下的結(jié)論：,原函數(shù)存在定理：,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,（證明待下章給出）,（2）原函數(shù)是否唯一？若不唯一，它們之間有 什么聯(lián)系？,若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，,若 和 都是 的原函數(shù)，,則,（ 為任意常數(shù)）,證,（ 為任意常數(shù)）,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不定積分的定義：,為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常

3、數(shù)即可,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例1 求,解,解,例2 求,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,顯然，求不定積分得到一積分曲線族.,由不定積分的定義，可知,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,實(shí)例,啟示,能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？,結(jié)論,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得

4、出積分公式.,二、 基本積分表,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,基本積分表 ,是常數(shù));,說(shuō)明：,簡(jiǎn)寫(xiě)為,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,以上15個(gè)公式是求不定積分的基礎(chǔ)，稱為基本積分表，必須熟練掌握。,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例4 求積分,解,根據(jù)積分公式（2）,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證,等式成立.,此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況,三、 不定積分的性質(zhì),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù),（1）+（2）,

5、即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合,這說(shuō)明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì),注意到上式中有n個(gè)積分號(hào)，形式上含有n個(gè)任意常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實(shí)際上只含有一個(gè)任意常數(shù),分項(xiàng)積分法,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例5 求積分,解,注意,檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看 其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例6 求積分,解,例7 求積分,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例8 求積分,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例9,解,例10,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例11,解,說(shuō)明：,以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,所求曲線方程為,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例13 求,解,故,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù),于是有,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,說(shuō)明,求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它表明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，即要求的是全體原函 數(shù)，若不加積分常數(shù)則表示只求出了一個(gè)原函數(shù),寫(xiě)成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫(xiě)一個(gè),積分的結(jié)果在形式上可能有