1、.抽樣分布定理的證明及推廣李澤州、駱?lè)欠玻ㄆ咴喝萌隣I(yíng)）摘要：論文主要介紹了抽樣分布的四個(gè)定理，以及對(duì)它們的證明過(guò)程。同時(shí)，抽樣分布定理不是局限的，有許多定理的推廣，在這里也進(jìn)行了一一的列舉并進(jìn)行了證明。關(guān)鍵詞：正態(tài)總體的樣本均值；樣本方差；正態(tài)分布； 分布；分布；分布1 抽樣分布定理一 定理一 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的的樣本，是樣本均值，則有證明 ，同時(shí)，若，且他們相互獨(dú)立，則他們的線性組合仍然服從正態(tài)分布，即是不完全為0的常數(shù)。所以2 抽樣分布定理二的證明和推廣定理二 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的的樣本，對(duì)于正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差，則有：1. ；2. 與相互獨(dú)立.證明 令，由定理二假設(shè)知，相互獨(dú)立，

2、且都服從分布。附：分布定義。設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，則，自由度為的分布，記為。其可加性為：。推廣 可推廣到多個(gè)同方差正態(tài)總體的情形。例如，對(duì)于兩個(gè)同方差正態(tài)總體的情形。設(shè)是定理二中的正態(tài)總體和的樣本均值和樣本方差。只要引人正交矩陣，其中為階矩陣，其第一行元素都是，與上面同樣的做法，考查各分量的獨(dú)立性，就可證得相互獨(dú)立。對(duì)于個(gè)同方差的正態(tài)總體情形，設(shè)分別是總體的樣本均值和樣本方差，且各樣本相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立。三抽樣分布定理三定理三 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的的樣本，對(duì)于正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差，則有：證明 由定理一和定理二得，且兩者獨(dú)立。由分布定義得，。化簡(jiǎn)左邊式子，即得上式。附：分布定義。設(shè)，且

3、相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記為四抽樣分布定理四的證明和推廣定理四 設(shè)與分別是來(lái)自正態(tài)總體分布和的樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。設(shè)，分別是兩個(gè)樣本的樣本均值；和分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差，則有：1. ；2. 當(dāng)時(shí)，其中，。證明 (1)由定理二得，由假設(shè)，相互獨(dú)立，則由分布的定義知：，即（2）易知，即有。又由題大的條件知，且他們相互獨(dú)立，故由分布的可加性知，。又因?yàn)橄嗷オ?dú)立，從而由分布的定義知。附：分布定義。設(shè)，且，相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記為。推廣 不僅對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體有這樣的定理，對(duì)多個(gè)正態(tài)總體也具有這樣的定理。四、小結(jié) ：四個(gè)抽樣分布定理和三個(gè)統(tǒng)計(jì)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)

4、中具有很重要的意義。掌握了三種分布和四個(gè)抽樣分布定理，有助于我們解決相關(guān)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)四個(gè)抽樣分布定理的證明和推廣，使得我們對(duì)抽樣分布有了更深的理解，對(duì)后幾章內(nèi)容的學(xué)習(xí)很有幫助。五、參考文獻(xiàn)：1盛驟、謝式千、潘承毅.浙江大學(xué)第四版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.北京：高等教育出版社.2胡京爽.大學(xué)教材全解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.青島：中國(guó)海洋大學(xué)出版社.六、學(xué)習(xí)體會(huì)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科，經(jīng)過(guò)這學(xué)期教員的辛勤講解使得我們對(duì)概率論以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)有了一個(gè)嶄新而又深刻的認(rèn)識(shí)，以及不斷的理解加深有關(guān)知識(shí)的理解內(nèi)化為實(shí)際生活所用。雖然我們作為指揮院系專業(yè)學(xué)員將來(lái)對(duì)這門課程的實(shí)際應(yīng)用的機(jī)會(huì)可能不會(huì)很多，但是通過(guò)教員的悉心講解我