1、1.4 邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn), 問(wèn)題的提出：同一邏輯函數(shù)的兩個(gè)不同表達(dá)式,可見(jiàn)，邏輯函數(shù)的表達(dá)式需要化簡(jiǎn)。所謂化簡(jiǎn)，一般就是指化為最簡(jiǎn)的與或表達(dá)式。,化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法，最常用的有： 公式法 卡諾圖法, 判斷與或表達(dá)式是否最簡(jiǎn)的條件是：,（1）邏輯乘積項(xiàng)最少； （2）每個(gè)乘積項(xiàng)中變量最少。,2020/7/9,第一章 (3),2,1.4.1 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法, 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法，就是利用邏輯代數(shù)的基本公式、基本定理和常用公式，將復(fù)雜的邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)的方法。 常用的有并項(xiàng)法、吸收法、消去法和配項(xiàng)法。,并項(xiàng)法,利用公式 ，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量，例如：,（1）,（2）,2020/7/9

2、,第一章 (3),3,2. 吸收法,3. 消去法,利用公式 ，消去多余的因子，例如：,利用公式 ，吸收掉多余的項(xiàng)，例如：,2020/7/9,第一章 (3),4,4. 配項(xiàng)法,利用公式 ，先添上 作配項(xiàng)用，以便 消去更多的項(xiàng)。例如：,2020/7/9,第一章 (3),5,例1.4 用公式法化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),下圖為該邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)前后的邏輯電路圖。顯然，化簡(jiǎn)后不僅 使邏輯圖得到了簡(jiǎn)化，而且使用的邏輯器件相對(duì)較少。,解：,化簡(jiǎn)前邏輯圖,化簡(jiǎn)后邏輯圖,2020/7/9,第一章 (3),6,例1.5 用公式法化簡(jiǎn),可得,根據(jù)公式,得,即,根據(jù)公式,得,即,解： 根據(jù)摩根定律,利用配項(xiàng)法再進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得,202

3、0/7/9,第一章 (3),7,1.4.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法,1. 預(yù)備知識(shí)：最小項(xiàng)和最小項(xiàng)表達(dá)式,設(shè)由三個(gè)變量A、B、C組成邏輯函數(shù)。這三個(gè)變量可以組成許多乘積項(xiàng)，其中有一類乘積項(xiàng)為： 這八個(gè)乘積項(xiàng)具有以下特點(diǎn)：每個(gè)乘積項(xiàng)包括三個(gè)變量；每個(gè)變量都以原變量（ ）或反變量（ ）的形式在每個(gè)乘積項(xiàng)中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。這八個(gè)乘積項(xiàng)即是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)。,定義：對(duì)于有 n 個(gè)變量的邏輯函數(shù)，如果其與-或表達(dá)式中的每 個(gè)乘積項(xiàng)都包含 n 個(gè)因子，而這n個(gè)因子分別為 n 個(gè)變量的原變量或反變量，每個(gè)變量在乘積項(xiàng)中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，這樣的乘積項(xiàng)就稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。 n 個(gè)變量的邏輯函數(shù)，就有2n

4、個(gè)最小項(xiàng)。為了分析最小項(xiàng)的性質(zhì)，在表1.7列出三變量所有最小項(xiàng)的真值表。,2020/7/9,第一章 (3),8,表1.7 三變量所有最小項(xiàng)的真值表,2020/7/9,第一章 (3),9,（2）對(duì)于同一個(gè)變量取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積恒為0。因?yàn)樵谙嗤淖兞咳≈迪?，不可能使兩個(gè)不相同的最小項(xiàng)同時(shí)取1值。 （3）任意取值的變量條件下，全體最小項(xiàng)的和為1。,最小項(xiàng)具有下列性質(zhì)：,（1）對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有變量的一組取值使得它的值為1，而取其他值時(shí)，這個(gè)最小項(xiàng)的值都為0。不同的最小項(xiàng)，使它的值為1 的那一組變量取值也不同。 例如最小項(xiàng) ，只有在變量取值為100時(shí)， 的值為1，其他7組取值下，其值都

5、為0。,提示： 為方便起見(jiàn)，常對(duì)最小項(xiàng)進(jìn)行編號(hào)。以 為例，因?yàn)樗?00相對(duì)應(yīng)，所以就稱 是和100相對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)，而100相當(dāng)于十進(jìn)制中的4，所以把 記作m4。按此規(guī)則，三個(gè)變量的最小項(xiàng)編號(hào)也列在表1.7中。,2020/7/9,第一章 (3),10,就是把邏輯函數(shù)取值為1 的最小項(xiàng)，用或“+”邏輯連接而成的表達(dá)式。又稱標(biāo)準(zhǔn)的與或表達(dá)式。, 邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式, 求邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式的方法 （1）從一般表達(dá)式求最小項(xiàng)表達(dá)式,上式即為F的最小項(xiàng)表達(dá)式。上式的最小項(xiàng)可分別表示為 m1, m5, m6, m7, 所以又可寫(xiě)為,解：,2020/7/9,第一章 (3),11,（2）由真值表求最小項(xiàng)

6、表達(dá)式 首先列出邏輯函數(shù) F 的真值表，然后從真值表中找出使邏輯函數(shù) F 為 1 的變量取值組合，再寫(xiě)出這些變量組合相對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)，最后將這些最小項(xiàng)相或，即得到該邏輯函數(shù) F 的最小項(xiàng)表達(dá)式。,例1.7 一個(gè)三變量邏輯函數(shù)的真值表如表1-8所示，寫(xiě)出其最小項(xiàng)表達(dá)式。,表1-8,解：由表可寫(xiě)出其最小項(xiàng)表達(dá)式為,或?qū)懗?2020/7/9,第一章 (3),12,對(duì)于有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，其最小項(xiàng)有2n個(gè)。因此該邏輯函數(shù)的卡諾圖由 2n 個(gè)小方格構(gòu)成，每個(gè)小方格都滿足邏輯相鄰項(xiàng)的要求。 圖1.11，圖1.12，圖1.13，圖1.14 分別畫(huà)出了二、三、四、五個(gè)變量的卡諾圖。,2.卡諾圖, 基本知識(shí),卡

7、諾圖是由美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）首先提出的一種用來(lái)描述邏輯函數(shù)的特殊方格圖。,在這個(gè)方格圖中，每一個(gè)方格代表邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，而且?guī)缀蜗噜彛ㄔ趲缀挝恢蒙?，上下或左右相鄰）的小方格具有邏輯相鄰性，即兩相鄰小方格所代表的最小?xiàng)只有一個(gè)變量取值不同。,2020/7/9,第一章 (3),13,圖 1.12 三變量卡諾圖,圖 1.13 四變量卡諾圖,圖 1.14 五變量卡諾圖,2020/7/9,第一章 (3),14,例1.8 畫(huà)出邏輯函數(shù) 的卡諾圖。,解：,2020/7/9,第一章 (3),15, 卡諾圖相鄰性的特點(diǎn)保證了幾何相鄰兩方格所代表的最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同。因此，若相鄰的方格都為

8、1（簡(jiǎn)稱1格）時(shí)，則對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)就可以合并。合并的結(jié)果是消去這個(gè)不同的變量，只保留相同的變量。這是圖形化簡(jiǎn)法的依據(jù)。,3. 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法,利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法稱為邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法。,綜合上述概念，卡諾圖具有下述性質(zhì)：,性質(zhì)1：卡諾圖中兩個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并 消去一個(gè)變量。,例：,右圖為兩個(gè)1格合并時(shí)消去一個(gè)變量的例子。圖中，m1和m5為兩個(gè)相鄰1格，則有：,2020/7/9,第一章 (3),16,再如：,2020/7/9,第一章 (3),17,性質(zhì)2：卡諾圖中四個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并 消去兩個(gè)變量。,例：,2020/7/9,第一章

9、(3),18,再如：,2020/7/9,第一章 (3),19,性質(zhì)3：卡諾圖中八個(gè)相鄰1格的最小項(xiàng)可以合并成一個(gè)與項(xiàng)，并 消去三個(gè)變量。,綜上所述，在 n 個(gè)變量卡諾圖中，若有2k個(gè)1格相鄰（k為0，1，2，n）, 它們可以圈在一起加以合并，合并時(shí)可消去k個(gè)不同的變量，簡(jiǎn)化為一個(gè)具有(n-k)個(gè)變量的與項(xiàng)。若k =n，則合并時(shí)可消去全部變量，結(jié)果為1。, 用卡諾圖化簡(jiǎn)法求最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的步驟是：,（1）畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖； （2）合并最小項(xiàng)； （3）寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。,2020/7/9,第一章 (3),20,（2）合并最小項(xiàng)。把圖中所有的1格都圈起來(lái)，相鄰且能夠合并在一起的1 格圈在一個(gè)大圈中

10、；,例1.9 用卡諾圖化簡(jiǎn)法求邏輯函數(shù) 的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式,解：（1）畫(huà)出函數(shù)F 的卡諾圖。對(duì)于在函數(shù) F 的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中出現(xiàn)的那些最小項(xiàng)，在其卡諾圖的對(duì)應(yīng)小方格中填上1，其余方格不填；,（3）寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。對(duì)卡諾圖中所畫(huà)每一個(gè)圈進(jìn)行合并，保留相同的變量，去掉互反的變量，,F =（m1+m3）+（m2+m3+m6+m7）,2020/7/9,第一章 (3),21,例1.10 用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),解： 根據(jù)最小項(xiàng)的編號(hào)規(guī)則，得,將這四個(gè)最小項(xiàng)填入四變量卡諾圖內(nèi),化簡(jiǎn)得,2020/7/9,第一章 (3),22,例1.11 用卡諾圖化簡(jiǎn)函數(shù),解： 從表達(dá)式中可以看出此為四變量的邏輯函數(shù)，但是有的

11、乘積項(xiàng)中缺少一個(gè)變量，不符合最小項(xiàng)的規(guī)定。因此，每個(gè)乘積項(xiàng)中都要將缺少的變量補(bǔ)上：,則有,將這七個(gè)最小項(xiàng)填入四變量卡諾圖內(nèi),化簡(jiǎn)得,2020/7/9,第一章 (3),23,提 示,（1）列出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，由最小項(xiàng)表達(dá)式確定變量的個(gè)數(shù)（如果最小項(xiàng)中缺少變量，應(yīng)按例1.11的方法補(bǔ)齊）。,（2）畫(huà)出最小項(xiàng)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的卡諾圖。,（3）將卡諾圖中的1格畫(huà)圈，一個(gè)也不能漏圈，否則最后得到的表達(dá)式就會(huì)與所給函數(shù)不等；1格允許被一個(gè)以上的圈所包圍。,（4）圈的個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能得少。即在保證1格一個(gè)也不漏圈的前提下，圈的個(gè)數(shù)越少越好。因?yàn)橐粋€(gè)圈和一個(gè)與項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，圈數(shù)越少，與或表達(dá)式的與項(xiàng)就越少。,（5）

12、按照2k個(gè)方格來(lái)組合（即圈內(nèi)的1格數(shù)必須為1，2，4，8等），圈的面積越大越好。因?yàn)槿υ酱?，可消去的變量就越多，與項(xiàng)中的變量就越少。,（6）每個(gè)圈應(yīng)至少包含一個(gè)新的1格，否則這個(gè)圈是多余的。,（7）用卡諾圖化簡(jiǎn)所得到的最簡(jiǎn)與或式不是唯一的。,2020/7/9,第一章 (3),24,練習(xí)：判斷正確與錯(cuò)誤,正確,錯(cuò)誤 （多畫(huà)一個(gè)圈）,例1,例2,錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）,正確,2020/7/9,第一章 (3),25,例3,錯(cuò)誤（圈的面積不夠大）,正確,例4,錯(cuò)誤（有一個(gè)圈無(wú)新的1格）,正 確,2020/7/9,第一章 (3),26,4. 具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法, 什么是約束項(xiàng),實(shí)際中經(jīng)常

13、會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，在真值表內(nèi)對(duì)應(yīng)于變量的某些取值下，函數(shù)的值可以是任意的，或者說(shuō)這些變量的取值根本不會(huì)出現(xiàn)。 例如：一個(gè)邏輯電路的輸入為8421-BCD碼，顯然信息中有六個(gè)變量組合（10101111）是不使用的，這些變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)。 如果電路正常工作，這些約束項(xiàng)決不會(huì)出現(xiàn)，那么與這些約束項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的電路的輸出是什么，也就無(wú)所謂了，可以假定為1，也可以假定為0。 約束項(xiàng)的意義在于，它的值可以取0或取1，具體取什么值，可以根據(jù)使函數(shù)盡量得到簡(jiǎn)化而定。, 約束項(xiàng)的表示方法, 在邏輯函數(shù)表達(dá)式中用 表示約束項(xiàng)，例如 ， 說(shuō)明最小項(xiàng)m2、m4、m5為約束項(xiàng)； 也用邏輯表達(dá)式表示函數(shù)中的約束項(xiàng)，例如 說(shuō)明 所包含的最小項(xiàng)為約束項(xiàng)。 約束項(xiàng)在真值表或卡諾圖中用來(lái)表示。,2020/7/9,第一章 (3),27,例1.13 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù),解：該邏輯函數(shù)的卡諾圖如下圖所示。 對(duì)該圖可以有兩種化簡(jiǎn)方案：,化簡(jiǎn)結(jié)果為,化簡(jiǎn)結(jié)果為,2020/7/9,第一章 (3),28,作 業(yè),P20 .4 （2）、（4）、（6）、（8） .