1、12.2單自由度體系的運動方程,描述體系振動時質點動位移的數學表達式，稱為動力體系的運動方程（亦稱振動方程）。,單自由度體系的動力分析能反映出振動的基本特性，是多個自由度體系分析的基礎。本章只介紹微幅振動（線性振動）。,根據達朗伯原理建立運動方程的方法稱為動靜法（或慣性力法）。具體作法有兩種：剛度法和柔度法。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,剛度法：將力寫成位移的函數，按平衡條件列出外力（包括 假想作用在質量上的慣性力和阻尼力）與結構抗 力（彈性恢復力）的動力平衡方程（剛度方 程），類似于位移法。,柔度法：將位移寫成力的函數，按位移協(xié)調條件列出位移 方程（柔度方程

2、），類似于力法。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,1、單自由度體系的振動模型,2、取質量m為隔離體，其上有四種力作用,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,（1）動力荷載：,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,3、建立運動方程,根據達朗伯原理，由Fx0，得,將式(12-1)式(12-3)代入，即得,(12-4),(12-5),All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.2.2 按位移協(xié)調條件建立運動方程柔度法,質量m所產生的水平位移，可視為由動力荷載FP(t)、慣性力FI和阻尼力FC共同作用

3、在懸臂梁頂端所產生的。根據疊加原理，得,(12-6),All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,(12-6),11柔度系數。表示在質量的運動方向施加單位力時，在該運動方向所產生的靜力位移。,將式(12-2)阻尼力和式(12-3)慣性力代入上式，即得,(12-7),因為單自由度體系中1/11k11（k11和11互為倒數)，故有,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,1P表示由于作用在質量運動方向所產生的位移。,相應地，式(12-7)、式(12-5)中右邊項FP(t)應改為,稱等效動力荷載。同時，它與由于作用而在質點處添加的附加約束上所產生的支座反力大小

4、相等。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,解：(1) 確定自由度（建模）：結構的質量m分布于剛性橫梁，只能產生水平位移，屬單自由度體系。,(2)確定位移參數：設剛梁在任一時刻的位移為，向右為正 。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,(3)繪隔離體受力圖：取出隔離體，如圖12-12b所示。圖中給出了慣性力、阻尼力和彈性恢復力。各力均設沿坐標正向為正。,(4)列運動方程：按動靜法列動力平衡方程，可得,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,式中， ，,將式(b)代入式(a)，經整理，可得運動方程,(a),(b),(b),

5、All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,式中，剛度系數,k又稱為樓層剛度，系指上下樓面發(fā)生單位相對位移（1）時，樓層中各柱剪力之和，如圖12-12c所示）。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,【例12-2】試用剛度法建立圖12-13a所示靜定梁的運動方程。,解：本例為單自由度體系。取a為坐標。在某一時刻t，體系位移如圖12-13b所示。受力如圖12-13c所示,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,解：由MA0，得,整理后，得運動方程,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,【例12-3】試用柔度法

6、建立圖12-14a所示靜定剛架受動力荷載作用的運動方程。,解：本題為單自由度體系的振動。取質量m水平方向的位 移y為坐標 。,運動方程為,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,繪出 、 圖如圖所示。由圖乘法得,得運動方程,圖,圖,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,也可寫作,為等效動力荷載,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.2.3剛度法的三種形式,1、方法一：發(fā)生位移所需施加之力等于全部外力（包括FI和FC）。由圖12-15a、b，可知,上式可改寫為,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院

7、,2、方法二：取質點為隔離體，列動力平衡方程（已如前述）,3、方法三：添加附加約束。其概念與靜力計算中位移法相似，僅在外力中須引入慣性力，同時所有反力均假設為正?？紤]到在真正的動平衡位置上，體系必然恢復自然的運動狀態(tài)，因而附加約束反力R1應等于零?？傻?亦即,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.2.4 建立運動方程小結,1) 判斷動力自由度數目，標出質量未知位移正向。,2) 沿所設位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復力，并冠以負號。,3) 根據是求柔度系數方便還是求剛度系數方便，確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。,4) 剛度方程幾種寫法的選擇：, 當結構給質體的反力亦即彈性恢復力 容