1、常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì),1. 計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,一、問題的提出,1.常數(shù)項級數(shù)的定義,設有數(shù)列un:u1, u2, , un, , 則稱表達式,為一個常數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù). 其中， un稱為常數(shù)項級數(shù)的一般項或通項.,二、常數(shù)項級數(shù)的概念,例1. 下列各式均為常數(shù)項級數(shù),2.常數(shù)項級數(shù)的斂散性定義,常數(shù)項級數(shù)級數(shù),的前n項之和：,稱為常數(shù)項級數(shù)的部分和.,若,存在，則稱級數(shù),收斂，,S稱為級數(shù)的和：,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,播放,周長為,面積為,第 次分叉：,于是有,結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界,雪花的面積存在極限（收斂）,

2、例2. 討論等比級數(shù),的斂散性.,解：等比級數(shù)的部分和為：,當公比 | r |1時，,即,當公比 | r |1時，,當公比 r =1時，,當公比 r = 1時，Sn=,a, n為奇數(shù),0, n為偶數(shù), 故,不存在.,綜上所述，當公比| r |1時, 等比級數(shù)收斂；當公比| r |1時，等比級數(shù)發(fā)散.,例3. 討論級數(shù),的斂散性.,解：,而,故,，即該級數(shù)收斂.,3. 收斂級數(shù)的余項,收斂級數(shù),稱為收斂級數(shù)的余項，記為,的和S與其部分和Sn的差SSn,顯然,定理：若級數(shù),收斂，則必有,證 設,三、級數(shù)收斂的必要條件,例4. 判別,的斂散性.,解：由于,故,該級數(shù)發(fā)散.,例5. 證明調(diào)和級數(shù),是發(fā)

3、散的.,證 調(diào)和級數(shù)的部分和有：,由數(shù)學歸納法，得,k=0, 1, 2, ,而,故,不存在，即調(diào)和級數(shù)發(fā)散.,若c0為常數(shù)，則,有相同的斂散性，,且,四、無窮級數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1,證,的部分和為,的部分和為,故,從而,同時收斂或同時發(fā)散.,若,其和分別為S1和S2，則級,數(shù),且,性質(zhì)2,證,的部分和為：,故,即 級數(shù),收斂，且,例6. 因為等比級數(shù),所以級數(shù),例7. 問題(1) 一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？,答：是發(fā)散的.,問題(2) 兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？,答：不一定.,在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后，所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同. (但對收

4、斂級數(shù)來說，它的和將改變.),性質(zhì)3,證 設級數(shù),的部分和為Sn,去掉級數(shù)的前,面m項后得到的級數(shù),的部分和為S k:,由于Sm當m固定時為一常數(shù)，所以,故 級數(shù),與級數(shù),對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新級數(shù)仍然收斂，且其和不變.,性質(zhì)4,例8. 考慮一下幾個問題：,(1) 收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？,答：不一定.,(2) 發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？,答：不一定發(fā)散.,(3) 如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散，原級數(shù)是否也發(fā)散？,答：原級數(shù)也發(fā)散.,證明,五、級數(shù)收斂的必要條件,注意,1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,討論,8項,4項,2項,2項,項,由性質(zhì)4推論,調(diào)和