1、第一章基本初等函數(shù)(),1.1任意角的概念與弧度制,1.1.1角的概念的推廣,1.結(jié)合具體實例體會角的概念的推廣,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角. 2.理解象限角與終邊在坐標(biāo)軸上的角的特征. 3.掌握終邊相同的角的表示方法,并能判斷角所在的位置.,1,2,3,1.任意角 (1)角的定義. 靜態(tài)定義:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角,這個公共端點叫做角的頂點,這兩條射線叫做角的邊. 動態(tài)定義:一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角,所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點,開始位置的射線叫做角的始邊,終止位置的射線叫做角的終邊. (2)角的記法:用一個希臘字母表示;用三個大寫的英文字

2、母表示(字母前面要寫“”).,1,2,3,(3)在平面內(nèi),一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向:順時針方向和逆時針方向.習(xí)慣上規(guī)定,按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角;按照順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角;當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時,也把它看成一個角,叫做零角;旋轉(zhuǎn)生成的角,又常叫做轉(zhuǎn)角.這樣就形成了任意大小的角,即任意角. (4)角的運(yùn)算:引入正角、負(fù)角的概念以后,角的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算,即-可以化為+(-).這就是說,各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和.,1,2,3,【做一做1】 鐘表的分針在一個半小時內(nèi)轉(zhuǎn)了() A.180B.-180C.540D.-540 解析:分針是順時針旋轉(zhuǎn)的,故分

3、針旋轉(zhuǎn)而成的角為負(fù)角,其值為-(360+180)=-540. 答案:D,1,2,3,2.終邊相同的角 設(shè)表示任意角,所有與終邊相同的角,包括本身構(gòu)成一個集合,這個集合可記為S=|=+k360,kZ,即任一與終邊相同的角,都可以表示成與整數(shù)個周角的和的形式. 歸納總結(jié) 1.集合中的為任意角. 2.k360-,kZ可理解為k360+(-),kZ,即k360-,kZ的終邊與-的終邊相同. 3.相等的角終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差360的整數(shù)倍. 4.“kZ”這一條件不可少. 5.零角的始邊和終邊相同,但始邊和終邊相同的角并不一定是零角.,1,2,3,【做一做2

4、-1】 與610角終邊相同的角表示為() A.k360+230,kZ B.k360+250,kZ C.k360+70,kZ D.k360+270,kZ 解析:610=360+250, 所求角為k360+250,kZ. 答案:B,1,2,3,【做一做2-2】 在-398,38,142,1 042角中,終邊相同的角是() A.-398,38B.-398,142 C.-398,1 042D.142,1 042 解析:-398=-1360-38,1 042=3360-38. 答案:C,1,2,3,3.象限角 (1)在平面直角坐標(biāo)系中,如果將角的頂點與坐標(biāo)原點重合,角的始邊與x軸正半軸重合,那么角的終邊

5、在第幾象限,就把這個角叫做第幾象限的角. (2)如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何象限. 【做一做3-1】 已知是第三象限的角,則-的終邊在 () A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 解析:因為是第三象限的角, 所以k360+180k360+270,kZ, 則-k360-270-k360-180,kZ. 故-的終邊在第二象限. 答案:B,1,2,3,【做一做3-2】 -2 017角是第象限的角. 解析:-2 017=-6360+143, 即-2 017角與143角終邊相同,而143是第二象限的角, -2 017是第二象限的角. 答案:二,1.各象限角與終邊在坐標(biāo)軸上

6、的角的表示 剖析(1)象限角的集合. 第一象限的角的集合為x|k360xk360+90,kZ; 第二象限的角的集合為x|k360+90xk360+180,kZ; 第三象限的角的集合為x|k360+180xk360+270,kZ; 第四象限的角的集合為x|k360+270xk360+360,kZ.,(2)終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合. 終邊落在x軸的正半軸上,角的集合為x|x=k360,kZ; 終邊落在x軸的負(fù)半軸上,角的集合為x|x=k360+180,kZ; 終邊落在x軸上,角的集合為x|x=k180,kZ; 終邊落在y軸的正半軸上,角的集合為x|x=k360+90,kZ; 終邊落在y軸的負(fù)半軸上

7、,角的集合為x|x=k360-90,kZ; 終邊落在y軸上,角的集合為x|x=k180+90,kZ; 終邊落在坐標(biāo)軸上,角的集合為x|x=k90,kZ. 名師點撥象限角與終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合的表示形式并不唯一,還有其他的表示形式.如終邊落在y軸的非正半軸上,角的集合為x|x=k360+270,kZ.,2.第一象限的角、小于90的角、090的角、銳角的差別 剖析受初中所學(xué)角的影響,往往在解決問題時,考慮的角還是僅僅停留在銳角、直角、鈍角上,即初中所學(xué)角的范圍,沒有按任意角來看待.其突破方法是把握住各類角的取值范圍. 銳角是090的角; 090的角是090的角; 小于90的角包括銳角以及所有負(fù)

8、角和零角; 第一象限的角是|k360k360+90,kZ所表示的角,其中有正角、負(fù)角. 名師點撥要正確區(qū)分易混的概念,如銳角一定是第一象限的角,而第一象限的角不全是銳角,如-330,730角都是第一象限的角,但它們都不是銳角.,3.教材中的“思考與討論” (1)如果是第一象限的角,那么的取值范圍可以表示為怎樣的不等式? (2)如果分別是第一、第二、第三和第四象限的角,那么 分別是第幾象限的角? 剖析(1)如果是第一象限的角,那么的取值范圍可以表示為k360k360+90,kZ. (2)若是第一象限的角,則k360k360+90,kZ,故180k 180k+45,kZ. 若k=2n,nZ,則36

9、0n 360n+45,nZ,此時 為第一象限的角;,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 下列結(jié)論正確的是() A.第一象限的角都是銳角 B.銳角都是第一象限的角 C.第一象限的角一定不是負(fù)角 D.小于180的角是鈍角、直角或銳角 解析:-320角是第一象限的角,但它不是銳角,所以A不正確;銳角是大于0且小于90的角,終邊落在第一象限,故銳角都是第一象限的角,所以B正確;-330角是第一象限的角,但它是負(fù)角,所以C不正確;0角小于180角,但它既不是鈍角,也不是直角,更不是銳角,故D不正確. 答案:B,題型一,題型二,題型三,題型四,反思解答本題的關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、

10、正角、負(fù)角等概念.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧.判斷結(jié)論正確,需要證明;而判斷結(jié)論錯誤,只要舉出一個反例即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】 給出以下說法: 第二象限的角都是鈍角;三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限的角;不相等的角的終邊一定不相同;第四象限的角一定比第一象限的角大;若是銳角,則90-一定是銳角. 其中正確說法的個數(shù)是. 解析:451=360+91是第二象限的角,但451不是鈍角,故錯;三角形的內(nèi)角可以是90,這時它不是第一、二象限的角,故錯;1和361兩個角不相等,但終邊相同,故錯;300是第四象限的角,400是第一象限的角,而300400,故錯;當(dāng)是銳角時

11、,90-一定是銳角,故正確. 答案:1,題型一,題型二,題型三,題型四,【例2】 寫出與75角終邊相同的角的集合,并在360,1 080)內(nèi)找出與它終邊相同的所有角. 分析根據(jù)與角終邊相同的角的集合為S=|=k360+,kZ,寫出與75角終邊相同的角的集合,再取適當(dāng)?shù)膋值,求出在360,1 080)內(nèi)的角.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:與75角終邊相同的角的集合為 S=|=k360+75,kZ. 當(dāng)3601 080時,即360k360+751 080, 又kZ,所以k=1或k=2. 當(dāng)k=1時,=435;當(dāng)k=2時,=795. 綜上所述,與75角終邊相同且在360,1 080)內(nèi)的角為

12、435角和795角. 反思求某一范圍內(nèi)與已知角的終邊相同的角時,常在集合中,通過對k進(jìn)行賦值求得.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練2】 下列各角中,與30角終邊相同的角是() A.150B.210C.-330D.330 解析:由于30-(-330)=360,所以30與-330終邊相同. 答案:C,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 在角的集合|=k90+45,kZ中, (1)有幾種終邊不相同的角? (2)有幾個在-360360范圍內(nèi)的角? 分析從代數(shù)角度看,取k=,-2,-1,0,1,2,可以得為,-135,-45,45,135,225,;從圖形角度看,是以45角為基礎(chǔ),依次

13、加上(或減去)90的整數(shù)倍,即依次按逆時針(或順時針)方向旋轉(zhuǎn)90所得各角,如圖所示.結(jié)合圖形求解.,題型一,題型二,題型三,題型四,解:(1)在給定的角的集合中,終邊不相同的角共有4種,分別是與45,135,225,315角終邊相同的角. (2)令-360k90+45360, kZ,k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 在-360360范圍內(nèi)的角共有8個. 反思把代數(shù)計算與對圖形的認(rèn)識結(jié)合起來即數(shù)形結(jié)合,會使這類問題處理起來更容易些.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的最重要的方法之一,做題時要注意應(yīng)用.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練3】 已知角的終邊落在直線y=x上,則角的集合S

14、=() A.|=k360+45,kZ B.|=k90+45,kZ C.|=k360+225,kZ D.|=k180+45,kZ,題型一,題型二,題型三,題型四,解析:當(dāng)角的終邊落在直線y=x在第一象限內(nèi)部分時,角與45角的終邊相同,這時=k1360+45(k1Z);當(dāng)角的終邊落在直線y=x在第三象限內(nèi)部分時,角與225角的終邊相同,這時=k2360+225(k2Z). 因此,終邊落在直線y=x上的角的集合S=|=k1360+45,k1Z|=k2360+225,k2Z=|=k180+45,kZ. 答案:D,題型一,題型二,題型三,題型四,【例4】 若是第三象限的角,試判斷2是第幾象限的角?180

15、-是第幾象限的角? 分析根據(jù)所在的象限,用不等式表示其范圍,再求出2,180-的范圍,從而確定它們所在的象限. 解:因為是第三象限的角, 所以180+k360270+k360,kZ, 所以360+2k3602540+2k360,kZ, 即(2k+1)3602180+(2k+1)360,kZ,所以2是第一、二象限的角,或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角. 同理,得-270-k360-180-k360,kZ, 則-90-k360180-k360,kZ, 所以180-是第四象限的角.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思1.給定一個角,判斷其終邊所在的象限,將所給出的角的度數(shù)除以360,求出其在0,360

16、)內(nèi)的余數(shù),再根據(jù)這個余數(shù)來確定角所在的象限. 2.已知角終邊所在的象限,求n或 (nN+)的終邊所在的象限,可用分類討論法解決,也可用幾何法解決.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練4】 若是第一象限的角,則 +180的終邊所在的象限是() A.第一、二象限B.第二、三象限 C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限 解析:由于是第一象限的角,所以 是第一或第三象限的角,從而 +180也是第一或第三象限的角. 答案:C,題型一,題型二,題型三,題型四,【例5】 設(shè)集合A=|=k180+90,kZ |=k180,kZ,集合B=|=k90,kZ,則() A.ABB.BA C.AB=D.A=B 解析

17、:集合A=|=k180+90,kZ|=k180,kZ=|=(2k+1)90,kZ|=2k90,kZ=|=m90,mZ,集合B=|=k90,kZ,A=B. 答案:D,題型一,題型二,題型三,題型四,反思判斷角的集合之間的關(guān)系一般有兩種方法:一種方法是將各集合中表示角的式子化為同一種形式(這種方法要用到整數(shù)分類的有關(guān)知識);另一種方法是將各集合中表示角的式子中的k賦值,并將角的終邊畫在坐標(biāo)系中,直至重復(fù)出現(xiàn)相同位置的終邊為止,根據(jù)各類集合中角的終邊的情況,判斷角的集合的關(guān)系.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練5】 設(shè)集合M=|=k360+50,kZ,N=|=k180+50,kZ,則M與N

18、的關(guān)系是() A.M=NB.MN C.NMD.MN= 解析:由于M=|=k360+50,kZ=|=2k180+50,kZ,當(dāng)kZ時,2k是偶數(shù),所以MN. 答案:B,1,2,3,4,5,6,1.把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)240所形成的角是() A.120B.-120C.240D.-240 答案:D,1,2,3,4,5,6,2.與120角終邊相同的角是() A.-600+k360(kZ) B.-120+k360(kZ) C.120+(2k+1)180(kZ) D.660+k360(kZ) 解析:由于120=-600+3602,所以120角與-600角的終邊相同,因此與120角終邊相同的角可表示為-600+k360(kZ). 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.若為銳角,則下列各角中為第四象限的角的是() A.90-B.90+ C.360-D.180+ 解析:由已知090,所以270360-360,故360-是第四象限的角. 答案:C,1,2,3,4,5,6,4.已知角終邊上的一點的坐標(biāo)是P(0,-3),則角的集合是. 解析:由題意知,角的終邊與y軸的負(fù)半軸重合, 所以角的集合是|=k360+270,kZ. 答案:|=k360+270,kZ,1,2,3,4,5,6,5.終邊在直線y=- x上的所有角的集合是,上述集合在-180180范圍內(nèi)的角是