1、第四章 能帶理論,能帶理論 研究固體中電子運(yùn)動的主要理論基礎(chǔ), 定性闡明了晶體中電子運(yùn)動的普遍性的特點(diǎn), 晶體中電子的平均自由程為什么遠(yuǎn)大于原子的間距, 說明了導(dǎo)體、非導(dǎo)體的區(qū)別, 半導(dǎo)體理論問題的基礎(chǔ)，推動了半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展,能帶理論 單電子近似的理論,單電子近似 最早用于研究多電子原子 哈特里?？俗郧龇椒?能帶理論的出發(fā)點(diǎn) 電子不再束縛于個(gè)別的原子 而在整個(gè)固體內(nèi)運(yùn)動 共有化電子,每個(gè)電子的運(yùn)動 看成是獨(dú)立的 在一個(gè)等效勢場中的運(yùn)動,共有化電子的運(yùn)動狀態(tài),理想晶體 晶格具有周期性，等效勢場具有周期性, 電子在晶格周期性的等效勢場中運(yùn)動,波動方程,晶格周期性勢場, 假定原子實(shí)處在平衡位置

2、把原子實(shí)偏離平衡位置的影響看成微擾,一維晶體中單個(gè)電子在周期性勢場中的運(yùn)動問題處理,第一步簡化 絕熱近似 離子實(shí)質(zhì)量比電子大，運(yùn)動慢 離子固定在瞬時(shí)位置上,第二步簡化 利用哈特里一?？俗灾螆龇椒?多電子問題簡化為單電子問題 每個(gè)電子在離子勢場 和其它電子的平均場中運(yùn)動,一維晶體中單個(gè)電子在周期性勢場中的運(yùn)動問題處理,第三步簡化 周期性勢場 所有離子勢場 和其它電子的平均場是周期性勢場,三維晶體中單個(gè)電子在周期性勢場中的運(yùn)動問題處理, 能量本征值的計(jì)算, 選取某個(gè)具有布洛赫函數(shù)形式的完全集合 晶體中的電子的波函數(shù)按此函數(shù)集合展開, 將電子的波函數(shù)代入薛定諤方程 確定展開式中的系數(shù)應(yīng)滿足的久期方程

3、 求解久期方程得到能量本征值,三維晶體中單個(gè)電子在周期性勢場中的運(yùn)動問題處理, 電子波函數(shù)的計(jì)算, 根據(jù)能量本征值確定電子波函數(shù)展開式中的系數(shù) 得到具體的波函數(shù), 在不同的能帶計(jì)算模型和方法中 采取的理論框架相同，只是選取不同的函數(shù)集合, 能帶理論的局限性, 一些過渡金屬化合物晶體, 價(jià)電子的遷移率小 自由程與晶格常數(shù)相當(dāng)_電子不為原子所共有 周期場失去意義_能帶理論不適用了,非晶態(tài)固體, 非晶態(tài)固體和液態(tài)金屬只有短程有序 兩種物質(zhì)的電子能譜 顯然不是長程序的周期場的結(jié)果, 電子與電子之間的作用, 從多體問題的角度 電子之間的相互作用不能簡單地用平均場代替 金屬中的價(jià)電子系統(tǒng)_不能用電子氣來描

4、述了 必須把價(jià)電子系統(tǒng)看成量子液體, 電子與晶格之間的作用, 電子和晶格相互作用 在離子晶體中電子的運(yùn)動會引起周圍晶格畸變 電子帶著這種畸變一起前進(jìn)的 電子不再是在周期場中的運(yùn)動,04_01 布洛赫定理, 方程的解具有以下性質(zhì), 布洛赫定理,布洛赫定理 勢場 具有晶格周期性時(shí) 電子的波函數(shù)滿足薛定諤方程, 布洛赫定理,為一矢量, 當(dāng)平移晶格矢量, 波函數(shù)只增加了相位因子,晶格周期性函數(shù),電子的波函數(shù), 布洛赫函數(shù), 布洛赫定理的證明, 引入平移算符 證明平移算符與哈密頓算符對易 兩者具有相同的本征函數(shù), 利用周期性邊界條件 確定平移算符的本征值 給出電子波函數(shù)的形式, 勢場的周期性反映了晶格的

5、平移對稱性,晶格平移任意矢量 勢場不變, 在晶體中引入描述這些平移對稱操作的算符,平移任意晶格矢量,對應(yīng)的平移算符,作用于任意函數(shù), 平移算符作用于周期性勢場, 平移算符 的性質(zhì), 各平移算符之間對易,對于任意函數(shù), 平移算符和哈密頓量對易,對于任意函數(shù),和 微分結(jié)果一樣, 平移算符的本征值,T和H存在對易關(guān)系 具有共同本征函數(shù), 周期性邊界條件,對于,對于,對于, 整數(shù), 引入矢量, 倒格子基矢,滿足,平移算符的本征值,將 作用于電子波函數(shù),平移算符的本征值, 布洛赫定理,電子的波函數(shù),滿足布洛赫定理, 晶格周期性函數(shù), 布洛赫函數(shù), 平移算符本征值的物理意義,1), 原胞之間電子波 函數(shù)相

6、位的變化,2) 平移算符本征值量子數(shù), 簡約波矢 不同的簡約波矢，原胞之間的相位差不同,3) 簡約波矢改變一個(gè)倒格子矢量,平移算符的本征值, 布洛赫定理, 本征值相同,為了使簡約波矢 的取值和平移算符的本征值一一對應(yīng),簡約波矢,第一布里淵區(qū)體積, 取值限制第一布里淵區(qū),簡約波矢, 在 空間中第一布里淵區(qū)均勻分布的點(diǎn),每個(gè)代表點(diǎn)的體積,狀態(tài)密度,簡約布里淵區(qū)的波矢數(shù)目,固體體積,04_02 一維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似, 模型和微擾計(jì)算,近自由電子近似模型, 假定勢場的起伏較小, 金屬中電子受到原子 實(shí)周期性勢場的作用,零級近似 用勢場平均值代替原子實(shí)產(chǎn)生的勢場, 周期性勢場的起伏量 可

7、以作為微擾來處理, 零級近似下電子的能量和波函數(shù), 空格子中電子的能量和波函數(shù),金屬的線度,零級近似下,薛定諤方程,波函數(shù)和能量本征值,滿足正交歸一化, l 為整數(shù),周期邊界條件,電子的波矢取值, 能量, 微擾下電子的能量本征值,哈密頓量,量子力學(xué)微擾理論 電子的能量本征值,一級能量修正,能量本征值,二級能量修正, 按原胞劃分積分, 引入積分變量 ,勢場是晶格周期性函數(shù),1),2), V(x) 第n個(gè)傅里葉系數(shù),二級修正項(xiàng), 電子的能量本征值, 微擾下電子的波函數(shù),電子的波函數(shù),波函數(shù)的一級修正, 計(jì)入微擾電子的波函數(shù),令,可以證明,電子波函數(shù), 具有布洛赫 函數(shù)形式, 電子波函數(shù)的意義,1)

8、 電子波函數(shù)和散射波, 前進(jìn)的平面波, 勢場作用產(chǎn)生的散射波,散射波的波矢,相關(guān)散射波成份的振幅,相鄰原子的散射波有相同的相位,散射波,電子入射波波長, 布拉格反射條件在正入射時(shí)的結(jié)果,波函數(shù)一級修正項(xiàng),散射波成份的振幅, 微擾法不再適用了,入射波波矢,2) 電子波函數(shù)和不同態(tài)之間的相互作用,在零級波函數(shù) 中摻入其它零級波函數(shù), 能量差越小摻入部分越大,當(dāng) 時(shí),兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量 導(dǎo)致了波函數(shù)的發(fā)散, 電子能量的意義,二級能量修正,當(dāng), 電子的能量是發(fā)散的, k和k兩個(gè)狀態(tài)具有相同的能量_k和k態(tài)簡并, 電子波矢在 附近的能量和波函數(shù),簡并微擾 波函數(shù)由簡并波函數(shù)線性組合構(gòu)成,狀態(tài), 是一

9、個(gè)小量, 主要影響的態(tài), 只考慮影響最大的狀態(tài)，忽略其它狀態(tài)的影響,狀態(tài) 對狀態(tài) 的影響,簡并波函數(shù),薛定諤方程,應(yīng)用,分別以 或 從左邊乘方程，對 x 積分,利用,線性代數(shù)方程,a, b有非零解,1),波矢k離 較遠(yuǎn)，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)k差別較大,將 按 展開,能量本征值,k和k能級相互作用 原來能級較高的k提高 原來能級較低的k下壓,量子力學(xué)中微擾作用 兩個(gè)相互影響的能級 總是原來較高的能量提高了 原來較低的能量降低了, 能級間“排斥作用”, 原來能級較高的k提高 原來能級較低的k下壓,2),波矢k非常接近 ，k狀態(tài)的能量和k能量差別很小,將 按 展開, 結(jié)果分析,1) 兩個(gè)狀態(tài)k和k微擾

10、后 能量變?yōu)镋+和E-,原能量高的態(tài) ，能量提高；原能量低的態(tài) 能量降低,兩個(gè)相互影響的狀態(tài)k和k微擾后 能量變?yōu)镋+和E-,2) 當(dāng) 0 時(shí),兩種情形下完全對稱的能級, A和B,兩個(gè)狀態(tài)作用后的能級, C和D,兩個(gè)狀態(tài)作用后的能級,3) 能帶和帶隙_禁帶, 零級近似，電子能量曲線為拋物線, k狀態(tài)不計(jì)二級能量修正, 微擾情形，電子的k不在 附近,3) 能帶和帶隙_禁帶, 拋物線,電子的一個(gè)狀態(tài)波矢,存在一個(gè) 狀態(tài), 兩個(gè)態(tài)的能量相同,電子的一個(gè)狀態(tài)波矢,存在一個(gè) 狀態(tài), 兩個(gè)狀態(tài)的能量相近,由于周期性勢場的微擾,能量的突變, 微擾只考慮兩個(gè)態(tài)的作用,能量本征值在 處斷開, 禁帶寬度,電子波矢

11、取值, 一個(gè)l，有一個(gè)量子態(tài)k,能量本征值, 當(dāng)N很大時(shí)，能量視為準(zhǔn)連續(xù), 晶格周期性勢場的影響 電子準(zhǔn)連續(xù)的能級分裂為一系列的能帶,能量本征值在 處斷開,4) 能帶底部，能量向上彎曲 能帶頂部，能量向下彎曲,5) 禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點(diǎn)處,禁帶寬度, 取決于金屬勢場形式, 能帶及一般性質(zhì),自由電子的能譜,晶體弱周期性勢場的微擾 電子能譜在布里淵邊界,產(chǎn)生了寬度 的禁帶,發(fā)生能量躍變,遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界 近自由電子的能譜_拋物線, 每個(gè)波矢k有一個(gè)量子態(tài) 原胞的數(shù)目趨于無限大時(shí)，波矢k變得非常密集 能級的準(zhǔn)連續(xù)分布形成了一系列的能帶, 各能帶之間是禁帶 在完整的晶體中 禁帶無允許的能級,

12、一維布喇菲格子 能帶序號_能帶涉及波矢k的范圍 與布里淵區(qū)的對應(yīng)關(guān)系,一維布喇菲格子 能帶序號，能帶涉及波矢k的范圍 與布里淵區(qū)的對應(yīng)關(guān)系, 每個(gè)能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目,波矢k的取值, k的數(shù)目,每個(gè)能帶對應(yīng)k的取值范圍,各個(gè)能帶k的取值數(shù)目, 原胞的數(shù)目,計(jì)入電子自旋 每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài), 電子波矢和量子數(shù)簡約波矢的關(guān)系, 第一布里淵區(qū),電子的波矢,在一維情形中 m為整數(shù),的取值范圍, 平移算符本征值量子數(shù)k_簡約波矢，計(jì)為 簡約波矢和電子波矢k之間的關(guān)系, l 為整數(shù), 電子的波函數(shù),可以表示為, 晶格周期性函數(shù),將 代入, 晶格周期性函數(shù),晶體中電子的波函數(shù), 利用電子波矢和簡約

13、波矢的關(guān)系 電子在周期性勢場中的波函數(shù)為布洛赫函數(shù), 用簡約波矢來表示電子的能量, 電子的能量, m為整數(shù)，對應(yīng)于不同的能帶,第一能帶位于簡約布里淵區(qū)，其它能帶可以通過倒格矢,移到簡約布里淵區(qū), 每一個(gè)能帶在簡約布里淵區(qū)都有各自的圖像 所有能帶在簡約布里淵區(qū)的圖像, 簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū) 要標(biāo)志一個(gè)狀態(tài)需要表明 1)它屬于哪一個(gè)能帶 _能帶標(biāo)號 2)它的簡約波矢 是什么？,電子波矢k和簡約波矢 的關(guān)系, 周期性勢場的起伏只使不同能帶相同簡約波矢 的狀態(tài)之間的相互影響,不同能帶之間出現(xiàn)帶隙 禁帶, 對于一般的, 遠(yuǎn)離布里淵邊界, 能量為準(zhǔn)連續(xù),在, 用簡約波矢來表示零級波函數(shù),零級

14、波函數(shù),將 代入得到, 用簡約波矢表示波函數(shù)，必須指明屬于哪個(gè)能帶, 第一個(gè)能帶, 電子的波函數(shù), 第二個(gè)能帶,電子的波函數(shù), 第二個(gè)能帶, 第三個(gè)能帶,電子的波函數(shù), 第三個(gè)能帶,04_03 三維周期場中電子運(yùn)動的近自由電子近似,1 模型和微擾計(jì)算, 電子受到粒子周期性勢場的作用 勢場的起伏較小零級近似 用勢場的平均值代替離子產(chǎn)生的勢場,周期性勢場起伏量, 微擾來處理,勢場的平均值, 電子的波動方程, 晶格周期性勢場函數(shù),1) 零級近似下電子的能量和波函數(shù),零級哈密頓量,薛定諤方程,電子的波函數(shù),能量本征值,金屬 個(gè)原胞構(gòu)成，體積, 周期性邊界條件,滿足正交歸一化條件,電子的波矢,電子的零級

15、本征波函數(shù),2) 微擾時(shí)電子的能量和波函數(shù) 近自由電子近似模型,微擾的情形,微擾后電子的能量,電子的波函數(shù),一級能量修正,電子的能量,二級能量修正,一級修正,電子的波函數(shù),矩陣元 的計(jì)算,引入積分變量,應(yīng)用,當(dāng)上式中, 為整數(shù),則有,任意一項(xiàng)不滿足,則有,波函數(shù)一級修正,電子的波函數(shù),波函數(shù), 不變,波函數(shù),波函數(shù)可以寫成自由電子波函數(shù)和晶格周期性函數(shù)乘積, 微擾后電子的能量, 一級修正波函數(shù)和二級能量修正趨于無窮大,當(dāng) 和 的零級能量相等, 三維晶格, 波矢在倒格矢垂直平 分面上以及附近的值, 非簡并微擾不再適用,簡單立方晶格中的倒格子空間,O點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn) 距離O點(diǎn)最近鄰的倒格點(diǎn)有6個(gè),

16、紙面內(nèi)有4個(gè)倒格點(diǎn)_紅點(diǎn)標(biāo)記 垂直于紙面有2個(gè)倒格點(diǎn),A和A兩點(diǎn)波矢大小相等，零級能量相同 同時(shí)相差一個(gè)倒格矢 兩個(gè)狀態(tài)的相互作用矩陣元不為零,B和B兩點(diǎn)波矢大小和A點(diǎn)相同 但不滿足, 幾個(gè)狀態(tài)的相互 作用矩陣元為零,四點(diǎn)波矢大小相等 零級能量相同 相差一個(gè)倒格矢 幾個(gè)狀態(tài)作用矩陣元不為零, 三維情形中，簡并態(tài) 的數(shù)目可能多于兩個(gè),2 布里淵區(qū)和能帶, 在k空間把原點(diǎn)和所有倒格矢中點(diǎn)的垂直平分面畫出 k空間分割被為許多區(qū)域, 每個(gè)區(qū)域內(nèi) E k 是連續(xù)變化的 而在這些區(qū)域的邊界上能量E(k)發(fā)生突變 這些區(qū)域稱為布里淵區(qū), 布里淵區(qū),簡單立方晶格k空間的二維示意圖, 屬于同一個(gè)布里淵區(qū)的能級構(gòu)

17、成一個(gè)能帶, 每一個(gè)布里淵區(qū)的體積相同_倒格子原胞的體積, 每個(gè)能帶的量子態(tài)數(shù)目 _ 2N (計(jì)入自旋), 三維晶格中，不同方向上能量斷開的取值不同 使得不同的能帶發(fā)生重疊, 不同的布里淵區(qū)對應(yīng)不同的能帶, 第一布里淵區(qū)在k方向上能量最高點(diǎn) A k方向上能量最高點(diǎn)C, 二維正方格子, C點(diǎn)的能量比第二布里淵區(qū)B點(diǎn)高, 第一布里淵區(qū) 和第二布里淵區(qū)能帶的重疊,用簡約波矢 表示能量和波函數(shù),能量和波函數(shù), 必須同時(shí)指明它們屬于哪一個(gè)能帶,3 幾種晶格的布里淵區(qū),1) 簡單立方格子, 第一布里淵區(qū) 原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體, 倒格子基矢, 正格子基矢, 簡單立方格子, 第一布里淵區(qū)

18、, 簡單立方格子,2) 體心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 邊長 的面心立方格子,第一布里淵區(qū), 第一布里淵區(qū),原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體, 體心立方格子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記,3) 面心立方格子, 正格子基矢, 倒格子基矢, 邊長 的體心立方格子,第一布里淵區(qū), 第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分 面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連 線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角, 形成的14面體, 八個(gè)面是正六邊形 六個(gè)面是正四邊形,面心立方格子 第一布里淵區(qū),布里淵區(qū)原點(diǎn),六方面的中心,四方面的中心,計(jì)為 軸 方向,計(jì)為 軸 方向, 面心立方格

19、子第一布里淵區(qū)各點(diǎn)的標(biāo)記, 將零級波矢k移入簡約布里淵區(qū) 能量變化的圖像 定性畫出了沿軸的結(jié)果,04_04 贗勢方法, 近自由電子模型中假定周期性勢場的起伏很小 對一些金屬計(jì)算得到的能帶結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相符的, 實(shí)際的固體中_原子核附近 庫侖吸引作用使周期性勢場偏離平均值很遠(yuǎn), 在離子實(shí)內(nèi)部勢場對電子波函數(shù)影響很大 電子的波函數(shù)變化劇烈, 顯然勢場不能被看作是起伏很小的微擾勢場 這樣的矛盾必須用贗勢來解決, 原子核附近, 庫侖作用使周期性勢場偏離平均值很遠(yuǎn), 在離子實(shí)的內(nèi)部用假想的勢能取代真實(shí)的勢能 在求解薛定諤方程時(shí) 不改變能量本征值和離子實(shí)之間區(qū)域的波函數(shù), 這個(gè)假想的勢能就叫做贗勢,贗波

20、函數(shù) 由贗勢求出的波函數(shù), 離子實(shí)之間的區(qū)域 真實(shí)的勢和贗勢給 出同樣的波函數(shù), 晶體中價(jià)電子的波函數(shù),正交化平面波, 第l個(gè)原子中電子束縛態(tài)波函數(shù),和, 正交化平面波,投影算符,電子波函數(shù), 令, 將波函數(shù)代入薛定諤方程,電子波函數(shù), 令,贗勢方程,贗波函數(shù),贗勢, 因?yàn)?投影算符,贗勢, 結(jié)果分析,1) 因?yàn)? 贗波函數(shù)是光滑的 贗勢W必定比較小,2) 贗勢方程,晶體中電子的能量大于內(nèi)層電子的能量, 削弱了贗勢的真實(shí)吸引勢能,贗勢方程,排斥項(xiàng), 贗波函數(shù)是光滑的, 電子波函數(shù),04_05 緊束縛方法,1 模型與微擾計(jì)算, 緊束縛近似方法的思想, 電子在一個(gè)原子(格點(diǎn))附近時(shí) 主要受到該原子

21、勢場的作用 將其它原子勢場的作用看作是微擾,晶體中電子的波函數(shù) 原子軌道波函數(shù)的線性組合, LCAO 理論 Linear Combination of Atomic Orbitals, 原子軌道線性組合法, 得到原子能級和晶體中電子能帶之間的關(guān)系, 簡單晶格原胞只有一個(gè)原子,第m個(gè)原子中, 電子在第m個(gè)原子附近運(yùn)動，其它原子的作用是微擾,第i個(gè)電子的束縛態(tài)波函數(shù), 電子的束縛態(tài)波函數(shù), 格點(diǎn)的原子在 處的勢場, 電子第i 個(gè)束縛態(tài)的波函數(shù), 電子第i 個(gè)束縛態(tài)的能級, 滿足薛定諤方程, 晶體中電子的波函數(shù) 滿足的薛定諤方程, 晶體的周期性勢場_所有原子的勢場之和, 對方程進(jìn)行變換, 微擾作用,

22、 微擾后電子的運(yùn)動狀態(tài), 晶體有N個(gè)格點(diǎn), 環(huán)繞不同格點(diǎn) 有N個(gè)類似的波函數(shù)，具有相同的能量本征值i, 微擾后晶體中電子的波函數(shù) 用N個(gè)原子軌道簡并波函數(shù)的線性組合構(gòu)成,晶體中電子的波函數(shù),電子的薛定諤方程,電子的波函數(shù),原子間距比原子半徑大時(shí), 不同格點(diǎn)的 重疊很小, 正交關(guān)系,以 左乘上面方程,積分得到, 化簡后得到, N種可能選取 _ N個(gè)獨(dú)立方程,變量替換,勢場具有周期性, 積分只取決與相對位置,引入函數(shù), 表示方程中的積分項(xiàng), 周期性勢場減去原子的勢場 仍為負(fù)值, 關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組, am只由 來決定,方程的解, 任意常數(shù)矢量,對于確定的,波函數(shù),晶體中電子的波函

23、數(shù),能量本征值, 晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式,改寫為, 晶格周期性函數(shù), 簡約波矢，取值限制在簡約布里淵區(qū), 應(yīng)用周期性邊界條件,的取值有N個(gè)，每一個(gè) 值對應(yīng)波函數(shù),晶體中電子波函數(shù),原子束縛態(tài)波函數(shù), 兩者存在么正變換, N個(gè)波函數(shù)表示為, 晶體中電子波函數(shù),能量本征值, 對于原子的一個(gè)束縛態(tài)能級 _ k有N個(gè)取值, 原子結(jié)合成固體后_電子具有的能量形成一系列能帶, 最完全的重疊,其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢,能量本征值, 例題 計(jì)算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶, s態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同,具有相同的值,s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱,能量本征值, 簡立方六個(gè)近鄰格點(diǎn),

24、電子的波矢,能量本征值, 第一布里淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量,點(diǎn)和 點(diǎn)分別對應(yīng)能帶底和能帶頂, 帶寬取決于J1,大小取決于近鄰 原子波函數(shù)之間 的相互重疊, 重疊越多 形成能帶越寬,在能帶底部,在 附近按泰勒級數(shù)展開,將, 能帶底部電子的有效質(zhì)量,令,在能帶頂部,在 附近按泰勒級數(shù)展開,將,能帶頂部電子的有效質(zhì)量,令,2 原子能級與能帶的對應(yīng), 一個(gè)原子能級i對應(yīng)一個(gè)能帶, 能量較低的能級 對應(yīng)的能帶較窄 能量較高的能級 對應(yīng)的能帶較寬, 不同原子能級對應(yīng)不同的能帶 形成了一系列能帶, 簡單情況下原子能級和能帶間有簡單對應(yīng)關(guān)系, p態(tài)是三重簡并 對應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊, 如ns帶、np帶、nd帶等, d

25、態(tài)等一些態(tài)也有 類似的能帶交疊,緊束縛模型 只考慮不同原子、相同原子態(tài) 之間的相互作用, 對于內(nèi)層電子能級和能帶有一一對應(yīng)的關(guān)系 對于外層電子，能級和能帶的對應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜, 一般的處理方法 主要由幾個(gè)能量相近的原子態(tài)相互組合形成能帶 略去其它較多原子態(tài)的影響, 不考慮不同原子態(tài)之間的作用, 討論分析同一主量子數(shù)中的s態(tài)和p態(tài)之間相互作用, 處理思路和方法 將各原子束縛態(tài)的波函數(shù)組成布洛赫和 再將能帶中的電子的波函數(shù)寫成布洛赫和的線性組合 最后代入薛定諤方程求解組合系數(shù)和能量本征值, 略去其它主量子數(shù)原子態(tài)的影響, 原子態(tài)組成布洛赫和, 同一量子數(shù) s態(tài)和p態(tài)之間的作用, 能帶中的電子態(tài), 布

26、洛赫和的線性組合,代入薛定諤方程,求解組合系數(shù),能量本征值, 能帶中的電子態(tài), 復(fù)式格子, 原胞中有l(wèi)個(gè)原子，原子的位置, 原胞中不同原子的相對位移,布洛赫和, 不同的分格子，i 不同的原子軌道, 具有金剛石結(jié)構(gòu)的Si，原胞有1個(gè)A位和4個(gè)B位原子,A位原子格子與B位原子格子的相對位移, 坐標(biāo)原點(diǎn)選取在A 位格子的格點(diǎn)上, 同一量子數(shù) N個(gè)3s和N個(gè)3p軌道相互雜化,第m個(gè)A位原子,N個(gè)A位原子,形成4個(gè)布洛赫和,第m個(gè)B位原子,N個(gè)B位原子,形成4個(gè)布洛赫和, 同一量子數(shù) N個(gè)3s和N個(gè)3p軌道相互雜化, A位和B位原子3s和3p軌道雜化形成8個(gè)布洛赫和, Si的價(jià)帶和導(dǎo)帶是8個(gè)布洛赫和的線

27、性組合, 單個(gè)Si原子軌道雜化, 1個(gè)3s和3個(gè)3p軌道相互雜化 4個(gè)雜化軌道, A位原子和B位原子的雜化形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài), 同一量子數(shù) N個(gè)3s和N個(gè)3p軌道相互雜化, 以成鍵態(tài)和反鍵態(tài)的波函數(shù),為基礎(chǔ)形成布洛赫和, 8個(gè)布洛赫和, 能帶中電子的波函數(shù), 8個(gè)布洛赫和, 成鍵態(tài)對應(yīng)的四個(gè)能帶交疊在一起形成Si的價(jià)帶, 反鍵態(tài)對應(yīng)的四個(gè)能帶交疊在一起形成Si的導(dǎo)帶, Wannier 函數(shù), 緊束縛近似中 能帶中電子波函數(shù)可以寫成布洛赫和,對于任何能帶,Wannier 函數(shù), 一個(gè)能帶的Wannier 函數(shù) 是由同一個(gè)能帶的布洛赫函數(shù)所定義,對于任何能帶,滿足正交關(guān)系, 緊束縛作用, 如果晶體

28、中原子之間的間距增大 當(dāng)電子距某一原子較近時(shí)，其行為類似孤立原子情形, 旺尼爾函數(shù)也應(yīng)接近孤立原子的波函數(shù),Wannier 函數(shù),電子波函數(shù),滿足, 薛定諤方程, 無簡并s態(tài),用 左乘上式 積分,應(yīng)用, 在原子之間的間距較大的情況下,只考慮 中最近鄰的項(xiàng),在方程,計(jì),計(jì),04_06 晶體能帶的對稱性,1 能帶關(guān)于k的周期性,電子波矢 的布洛赫函數(shù), 三維情況中表示, 在k的狀態(tài)中觀察的物理量與在k的狀態(tài)中是相同的,2 能帶的時(shí)間反演對稱性,可以證明,3 能帶的3種表示圖式,1) 擴(kuò)展能區(qū)圖式,第一能帶,第二能帶,2) 簡約能區(qū)圖式, 對于同一個(gè)能帶來說能量在k空間具有周期性, 每一個(gè)能帶 在簡

29、約布里淵區(qū)有各自圖像,i) 它屬于哪一個(gè)能帶 ii) 它的簡約波矢 是什么, 簡約布里淵區(qū)標(biāo)志一個(gè)狀態(tài),3) 周期能區(qū)圖式, 對于同一個(gè)能帶而言能量是波矢周期性函數(shù), 任意一條能量曲線 通過倒格子矢量從 一個(gè)布里淵區(qū)移到 其它布里淵區(qū), 在每一個(gè)布里淵區(qū) 畫出所有能帶構(gòu)成 k空間中能量分布 的完整圖像,04_07 能態(tài)密度和費(fèi)密面,1 能態(tài)密度函數(shù), 固體中電子的能量由一些準(zhǔn)連續(xù)的能級形成的能帶, 能量在E E+E之間 能態(tài)數(shù)目Z,能態(tài)密度函數(shù),等能面 , 狀態(tài)在k空間是均勻分布的, 動量標(biāo)度下的能態(tài)密度, EE+E之間的能態(tài)數(shù)目,應(yīng)用關(guān)系,狀態(tài)密度,能態(tài)密度,考慮到電子的自旋，能態(tài)密度,1)

30、 自由電子的能態(tài)密度,電子的能量,在球面上,能態(tài)密度,2) 近自由電子的能態(tài)密度,晶體的周期性勢場對能量的影響表現(xiàn)在布里淵區(qū)附近,等能面的變化, 二維正方格子,第一布里淵區(qū)的等能面,第一布里淵區(qū)的等能面, 接近布里淵區(qū)的A點(diǎn)，能量受到周期性勢場的微擾 能量下降，等能面向邊界凸現(xiàn), 在A點(diǎn)到C點(diǎn)之間 等能面不再是完整的閉合面 分割在各個(gè)頂點(diǎn)附近的曲面,能態(tài)密度的變化, k接近A點(diǎn)，等能面向邊界凸現(xiàn) 兩個(gè)等能面間的體積不斷增大, 能態(tài)密度增大, 在A點(diǎn)到C點(diǎn)之間，等能面發(fā)生殘缺 達(dá)到C點(diǎn)時(shí)等能面縮成一個(gè)點(diǎn), 能態(tài)密度減小為零,第二布里淵區(qū)能態(tài)密度, 能量E越過第一布里淵區(qū)邊界A點(diǎn) 從B點(diǎn)開始能態(tài)密

31、度由零迅速增大,能帶不重疊,第二布里淵區(qū)能態(tài)密度, 能量E越過第一布里淵區(qū)邊界A點(diǎn) 從B點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大,能帶重疊,3) 緊束縛模型的電子能態(tài)密度, 簡單立方格子的s帶, 等能面為球面, k=0附近, 隨著E的增大，等能面與近自由電子的情況類似,能態(tài)密度,出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn) 等能面與布里淵區(qū)相交,X點(diǎn),出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn) 等能面與布里淵區(qū)相交,的等能面,的等能面,2 費(fèi)米面, 固體中有N個(gè)自由電子 按照泡利原理它們基態(tài) N個(gè)電子由低到高填充的N個(gè)量子態(tài),電子的能級, 電子填充k空間半徑為kF的球, 球內(nèi)的狀態(tài)數(shù), 球內(nèi)的狀態(tài)數(shù),球的半徑,電子密度, 費(fèi)米波矢 費(fèi)米動量 費(fèi)米速度

32、費(fèi)米溫度,費(fèi)米能量,費(fèi)米球半徑,費(fèi)米動量,費(fèi)米速度,費(fèi)米溫度, 自由電子球半徑, 電子密度, 費(fèi)米半徑, 費(fèi)米速度, 費(fèi)米半徑, 費(fèi)米能量, 晶體中的電子,滿帶 電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài),空帶 沒有任何電子占據(jù)(填充)的能帶,導(dǎo)帶 一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)沒有被電子占滿 即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶,價(jià)帶 導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶,禁帶 兩個(gè)能帶之間不允許存在的能級寬度, 周期性勢場的影響使得電子的能級 形成一系列的準(zhǔn)連續(xù)的能帶 N個(gè)電子填充這些能帶中最低的N個(gè)狀態(tài),半導(dǎo)體和絕緣體, 電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶 導(dǎo)帶中沒有電子 半導(dǎo)體帶隙寬度較小 1 eV, 絕緣體帶隙寬度較寬 1

33、0 eV,金屬, 電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶 還有部分電子填充其它能帶形成導(dǎo)帶, 電子填充的最高能級為費(fèi)密能級 位于一個(gè)或幾個(gè)能帶范圍內(nèi), 在不同能帶中 形成一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域的分解面 面的集合稱為費(fèi)密面,金屬_半導(dǎo)體_絕緣體的能帶,堿金屬 體心立方格子，一個(gè)原胞有1個(gè)原子,n2的能級, 原子的量子態(tài)數(shù)為8，電子填充數(shù)為8個(gè), 晶體中相應(yīng)的能帶2s_1個(gè)、2p_3個(gè)，共4個(gè)能帶, N個(gè)原子構(gòu)成的晶體 各滿層電子能級相應(yīng)分成2N個(gè)量子態(tài)的能帶 內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶, 每個(gè)能帶所容許的量子態(tài)2N _ 8N個(gè)量子態(tài) 可以填充8N個(gè)電子,堿金屬 體心立方格子，一個(gè)原胞有1個(gè)原子, ns態(tài)所對應(yīng)的能帶可以填充2N電子, N個(gè)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū) 費(fèi)密球與布里淵區(qū)邊界不相交 費(fèi)米面接近球面, N個(gè)自由電子，只填充了半個(gè)能帶而形成導(dǎo)帶,二價(jià)堿土金屬 最外層2個(gè)s態(tài)電子, 2N個(gè)電子剛好填充滿和s相應(yīng)的能帶, ns態(tài)所對應(yīng)的能帶可以填充2N電子, 與s對應(yīng)的能帶和上面的能帶發(fā)生重疊 2N個(gè)電子尚未填充滿s態(tài)能帶，開始填充上面的能帶 兩個(gè)能帶都是部分填充,二價(jià)堿土金屬 是絕緣體！, 第一布里淵區(qū)尚未填滿, 堿土金屬為金屬導(dǎo)體,二價(jià)堿土金屬 最外層2個(gè)s態(tài)電子, 費(fèi)米面由兩部分構(gòu)成, 第二布里淵區(qū)已填