1、惟一決定分式線性映射的條件,含有a, b, c, d 四個(gè)常數(shù)，其中有三個(gè)是獨(dú)立的常數(shù),因此, 給定三個(gè)條件就能惟一確定分式線性映射.,(1) 分式線性映射的確定,分式線性映射,設(shè) 是擴(kuò)充z平面上三個(gè)互不相同的點(diǎn)，,是擴(kuò)充w平面上三個(gè)互不相同的點(diǎn), 則,存在惟一的一個(gè)分式線性映射, 將點(diǎn) 依次,映射成,事實(shí)上, 如果 和 都是有限,點(diǎn), 設(shè),將 依次映射成 則,于是,從中可惟一地解出w, 得到分式線性映射.,如果 和 中含有無窮遠(yuǎn)點(diǎn),把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)用模充分大的有限數(shù)代替, 得出形如,的分式線性映射, 然后讓該點(diǎn)趨于無窮遠(yuǎn)點(diǎn), 即得,要證明的結(jié)論.,例如, 若z3= , 則用 代替 z3, 得到分式

2、線性,映射，,令 則 于是,如 則 理解為1.,如 則 理解為1.,問題 圓域內(nèi)部被映射成什么區(qū)域?,(2) 分式線性映射對圓域的映射,結(jié)論: 在分式線性映射下, C 的內(nèi)部不是映射,成像G的內(nèi)部就是映射成像G的外部. 如果C或G中,有直線, 則按直線的某一側(cè)來理解.,方法1 在圓周C內(nèi)任取一點(diǎn)z0, 如果z0的像w0在,G內(nèi)部, 則C 的內(nèi)部映射,成G的內(nèi)部;,如果z0的像,w0在G外部, 則C 的內(nèi)部,映射G的外部.,.,.,.,.,.,.,方法2 在C 上取三個(gè)點(diǎn) 如果環(huán)繞方,向 與它們的像 在 G上的環(huán)繞,方向 相同, 則C的內(nèi)部映射成G的內(nèi)部;,如果環(huán)繞方向相反, 則C的內(nèi)部映射成G

3、的外部.,.,.,.,.,.,.,.,分式線性映射的典型例子,例1求把上半平面 映射成上半平面,的分式線性映射.,解 在x軸上取三點(diǎn) 使得,它們依次對應(yīng)于u軸上三點(diǎn),.,.,.,于是所求的分式線性映射為,化簡可得,注 如果選取其他三對不同點(diǎn), 也能求出滿足要,求, 但形式不同的的分式線性映射.,并且 與 的環(huán)繞方向相同.,w=az+b(a0, b為實(shí)數(shù)), 即相似和平移映射也滿,足要求. 但它們是平凡的, 沒有實(shí)際意義.,.,.,.,.,.,.,例2求把上半平面 映射成單位圓,內(nèi)部 的分式線性映射.,解 在 x 軸上取三點(diǎn) 使得,它們依次對應(yīng)于 u 軸上三點(diǎn),(方法一),于是所求的分式線性映射

4、為,化簡可得,并且 與 的環(huán)繞方向相同.,注 同樣, 如果選取其他三對不同點(diǎn), 也能求出,滿足要求, 但形式不同的的分式線性映射.,方法二,解 實(shí)軸映射成單位圓周. 設(shè)上半平面中的點(diǎn),.,.,.,a 關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn) 映射成w=0關(guān)于 的對,稱點(diǎn)z=.,z=a 映射成圓心w=0, 由保對稱性和 ,上半平面映為單位圓內(nèi)部的分式線性映射一般形式,說明,則所求映射為 其中k是待定常數(shù). 由,于 映射成 上的點(diǎn), 所以,設(shè) (q 為實(shí)數(shù)), 則,取 時(shí),取 時(shí),(與方法一相同),例3 求把上半平面 映射成圓域內(nèi)部,的分式線性映射, 使,解由例2中的解法二可知，映射,把上半平面 映射成單位圓內(nèi)部,再作相

5、似映射與平移映射，得,(q 為實(shí)數(shù)),這樣, 映射成 且,因?yàn)?再由已知條件 可見 即,所以要求的分式線性映射是,.,.,.,例4求把單位圓內(nèi)部 映射成單位圓內(nèi),部 的分式線性映射.,解 在 內(nèi)取一點(diǎn)z1=a 0, 設(shè)z1的像為w1=0.,因?yàn)閦1=a 關(guān)于圓周 的對稱點(diǎn)是,而條件,要求分式線性映射把 映射成 所以根據(jù),分式線性映射的保對稱性, 映射成w1=0關(guān)于,的對稱點(diǎn),這樣的分式線性映射為,其中 是復(fù)常數(shù).,容易驗(yàn)證, 當(dāng) 時(shí),因?yàn)?映射成 所以當(dāng) 時(shí),設(shè) (q 為實(shí)數(shù)) , 則所求的分式線性映射為,(q 為實(shí)數(shù)).,注 旋轉(zhuǎn)映射 (q 為實(shí)數(shù))也滿足要求. 但,它是平凡的, 沒有實(shí)際意義.,例5 求一個(gè)分式線性映射, 把由兩圓周,所圍成的偏心圓環(huán)域D映射成中心在w=0的同心圓,環(huán)域G, 且使其外半徑為1.,解 設(shè)所求分式線性映射把z平面內(nèi)兩點(diǎn)z1和z2,分別映射成w平面內(nèi)的w1=0和w2=. 由于w1和w2同,同時(shí)關(guān)于同心圓環(huán)域 G 的兩個(gè)邊界圓周對稱, 由分,式線性映射的保對稱性, z1和 z2 應(yīng)同時(shí)關(guān)于圓周C1,和C2對稱. 因此, z1和 z2 應(yīng)在 C1和 C2的圓心連線上，,即在實(shí)軸上, 設(shè) 根據(jù)對稱性,解方程得 (或 ).,下面只