1、邊城高級(jí)中學(xué) 張秀洲,1理解并掌握基本不等式及變形應(yīng)用 2會(huì)用基本不等式求最值問題和解決簡單的實(shí)際問題,自學(xué)教材 P97P100 解決下列問題,一、理解并掌握基本不等式及變形應(yīng)用,二、創(chuàng)新設(shè)計(jì) 自學(xué)導(dǎo)引.,三、教材 P100 練習(xí)1、2、3、4.,下圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？,a,b,設(shè)AE=a,BE=b,則正方形ABCD的面積是_, 這4個(gè)直角三角形的面積之和是_,a2+b2,2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,結(jié)論：,文字?jǐn)⑹鰹?,兩

2、數(shù)的平方和大于或等于它們積的2倍。,一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,特別地，若a0，b0，則,通常我們把上式寫作：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.,通常我們把上式寫作：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.,證明：要證,只要證,要證，只要證,要證，只要證,顯然, 是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), 中的等號(hào)成立.,分析法,執(zhí)果索因,對(duì)基本不等式 的幾何意義作進(jìn)一步探究,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連

3、接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,對(duì)基本不等式 的幾何意義作進(jìn)一步探究,A,B,C,D,E,a,b,O,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD與CD的大小關(guān)系怎樣? OD_CD,幾何意義：半徑不小于半弦,規(guī) 律 總 結(jié),基本不等式：,注意：（1）不等式使用時(shí),注意“一正,二定,三相等” ; （2）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)； （3） 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)

4、a，b的幾何平均數(shù)；,均值不等式,解：如圖設(shè)BC=x ，CD=y ，,則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立,因此，這個(gè)矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.,此時(shí)x=y=10.,x=y,A,B,D,C,典 例 剖 析,例1：(1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？,若x、y皆為正數(shù)， 則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)， x+y有最小值_.,解：如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ，,則 2(x + y)= 36 , x + y =18,矩形菜園的面積為xy m2,

5、得 xy 81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立,因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m時(shí)， 菜園面積最大，最大面積是81m2,即x=y=9,A,B,D,C,典 例 剖 析,例1：(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形菜園的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？,若x、y皆為正數(shù)， 則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)， xy有最大值_；,各項(xiàng)皆為正數(shù)； 和或積為定值； 注意等號(hào)成立的條件.,一“正” 二“定” 三“相等”,利用基本不等式求最值時(shí)，要注意,規(guī) 律 總 結(jié),典 例 剖 析,【例2】某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果

6、池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元？,分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。,典 例 剖 析,解：,設(shè)水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得,當(dāng),時(shí)y有最小值297600,所以將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低造價(jià)是297600元,三、教材 P100 練習(xí)1、2、3、4.,基本不等式的功能在于和與積的互化，應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)一定要注意其“一正、二定、三相等”的條件，實(shí)際解題時(shí)主要技巧是“拆項(xiàng)

7、”，“添項(xiàng)”，“配湊因式”,典 例 剖 析,題型一：利用基本不等式證明不等式,利用基本不等式求函數(shù)的最值，要滿足： (1)函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)； (2)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)(定值); (3)等號(hào)成立條件必須存在,典 例 剖 析,典 例 剖 析,2、已知a，b，c 為不全相等的正實(shí)數(shù)求證 a2b2c2abbcca.,【證明】a0，b0，c0， a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca. 2(a2b2c2)2(abbcca)， 即a2b2c2abbcca.,典 例 剖 析,典 例 剖 析,典 例 剖 析,典 例 剖 析,提煉精華,你學(xué)會(huì)了嗎?,通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?,對(duì)自己說，你有什么收獲？ 對(duì)同學(xué)說，你有什么提示？ 對(duì)老師說，你有什么疑惑？,求最值時(shí)注意把握 “一正，二定，三相等”,2、利用基本不等式求最值,本節(jié)課主要探究基本不等式的證明與初步應(yīng)用