1、立體幾何專題復(fù)習(xí),立體幾何復(fù)習(xí)提要,1、線面關(guān)系中的平行與垂直,2、空間中的角與距離,3、高考題型分類解析,平行與垂直,平行,線線平行,線面平行,面面平行,線線平行判定,線面平行判定,線面平行性質(zhì),面面平行判定,面面平行性質(zhì),（1）定義：如果兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共 點，則這兩條直線平行。,（2）初中所學(xué)的判定方法（兩條直線在同一平面內(nèi)）,（3）平行公理4,（4）線面平行的性質(zhì)定理:,線線平行判定,如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線與交線平行。,（5）面面平行的性質(zhì),如果兩個平面和第三個平面相交，則交線平行。,（6）線面垂直性質(zhì),如果兩條直線同時垂

2、直于同一個平面，那么這兩條直線平行。,（7）利用距離,如果一條直線上的所有點到另一條直線的距離相等，那么這兩條直線平行。,（8）利用所成角,如果兩條直線與一個平面所成角相等且方向相同，那么這兩條直線平行。,（1）定義：,直線和平面沒有公共點。,（2）判定定理：平面外一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線和這個平面平行。,（3）面面平行的性質(zhì)：兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。,線面平行判定,（4）利用垂直,如果一條直線和一個平面分別與另一個平面垂直，且直線不在這個平面內(nèi)，則這條直線和這個平面平行。,（5）利用平行,如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行且不在另一個平面內(nèi)

3、，則這條直線與另一個平面平行。,（6）利用距離,一條直線垂直于一個平面，同時垂直于另一條直線，則另一條直線平行于這個平面。,線面平行的性質(zhì),（1）性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行。,（2）如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與 這個平面沒有公共點。,（3）如果一條直線與兩個相交的平面都平行，那么這條直線與交線平行。,（4）如果一條直線與一個平面平行，另合乎一條直線與這個平面垂直，那么這兩天天條直線垂直。,（5）如果一條直線與一個平面平行，事實不則這條直線與平面所成的角為零度。,（6）如果一條直線與一個平面平行，則這 就日條直線上的

4、所有的點到這個平面的距各個離相等。,面面平行判定,（1）定義：,如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行。,（2）判定定理：,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。,（3）推論：,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行。,（4）利用線面垂直：,如果兩個平面分別垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行。,（5）利用面面平行：,如果兩個平面都平行于第三個平面，那么這兩個平面平行。,（6）利用距離：,如果一個平面上的所有點到另一個平面的距離相等，那么這兩個平面平行。,面面平行的性質(zhì),（1）如果兩個平面平行，那么這兩個平面沒有公共點。

5、,（2）如果兩個平面平行且都與第三個平面相交，則 交線平行。,（3）如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的所有 直線與另一個平面平行。,（4）如果兩個平面平行，且其中一個平面與一條直線 垂直，則另一個平面與這條直線也垂直。,（5）如果兩個平面平行，那么這兩個平面所成的角為零度。,（6）如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的所有 點到另一個平面的距離相等。,（7）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。,平行與垂直,垂直,線線垂直,線面垂直,面面垂直,線線垂直判定,線面垂直判定,線面垂直性質(zhì),面面垂直判定,面面垂直性質(zhì),線線垂直判定,（1）利用線線平行：一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則垂直于另一條,（

6、2）利用勾股定理逆定理,（3）利用等腰三角形性質(zhì),（4）利用平面圖形性質(zhì),(5)線面垂直的性質(zhì)：,(6)利用線面垂直、 線面平行：,(7)利用三垂線定理：,在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。（反之也成立）,線面垂直判定,（1）判定定理1如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。,（2）判定定理2如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。,（3）面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面,（4）面面垂直推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線 l

7、 垂直于另一個平面,（5）面面平行性質(zhì)：一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面,線面垂直性質(zhì),（1）定義如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線,（2）性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。,（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面,（6）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直,（7）如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直,如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直,推論:如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直,面面垂直判定,如果兩個平面垂直，

8、則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面,推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線 l 垂直于另一個平面,面面垂直性質(zhì),垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系： 1.平行轉(zhuǎn)化 2.垂直轉(zhuǎn)化 每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的. 例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.,1、已知a、b、c是三條不重合的直線，、是三個不重合的平面，試判斷下面六個命題的正誤：,(1) (4),a、l ,b、 ,c、 m 且m ,d、 m 或m ,d,例3.

9、已知pa平面abcd，四邊形abcd是矩形，m、n分別是ab、pc的中點. (1) 求證：mn平面pad； (2)求證：mncd；,(3)若平面pcd與平面abcd所成二面角為，問能否確定的值，使得mn是異面直線ab與pc的公垂線.,例4、在正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，2aa1= ab，點e、m分別為a1b、c1c的中點，過a1，b，m三點的平面交c1d1于點n。 (1)求證：em平面a1nd1； (2)求二面角b-a1n-b1的正切值,例5、正三棱柱abca1b1c1的各棱長都相等，d、e分別是cc1和ab1的中點，點f在bc上且滿足bffc=13. (1)若m為ab中點，求證：b

10、b1平面efm； (2)求證：efbc； (3)求二面角 a1b1dc1的大小,(1)若d是bc的中點，求證：adcc1； (2)過側(cè)面bb1c1c的對角線bc1的平面交側(cè)棱于m，若am=ma1，求證：截面mbc1側(cè)面bb1c1c； (3)am=ma1是截面mbc1 平面bb1c1c的充要條件嗎？ 請你敘述判斷理由.,例6、在斜三棱柱a1b1c1abc中，底面是等腰三角形，ab=ac，側(cè)面bb1c1c底面abc.,(1)若d是bc的中點，求證：adcc1； (2)過側(cè)面bb1c1c的對角線bc1的平面交側(cè)棱于m，若am=ma1，求證：截面mbc1側(cè)面bb1c1c； (3)am=ma1是截面mb

11、c1 平面bb1c1c的充要條件嗎？ 請你敘述判斷理由.,例6、在斜三棱柱a1b1c1abc中，底面是等腰三角形，ab=ac，側(cè)面bb1c1c底面abc.,例7如圖，在底面是菱形的四棱錐pabcd中，abc=60o,pa=ac=a,pb=pd= a,點e在pd上，且pe：ed=2：1。 （1）證明pa平面abcd； （2）求二面角e-ac-d的大??； （3）在棱pc上是否存在一點p，使bf平面aec。,p,a,b,c,d,e,空間中的角與距離,立體幾何專題復(fù)習(xí) 之二,空間中的角,a,b,b,m,三種角的定義,兩異面直 線所成角,直線與平面所成角,二面角,空間角的計算步驟：一作、二證、三算,空間

12、中的角解法小結(jié),1、異面直線所成角的方法 （1）平移法（2）補形法,2、直線與平面所成角的方法 關(guān)鍵：抓垂足、斜足，找斜線在平面內(nèi)的射影。,當二面角的棱已知時：,（1）定義法 (2)垂面法 （3）三垂線定理法,尋找平行平面，將問題轉(zhuǎn)化,3、二面角 找二面角的棱,進而找棱的兩條垂線,當二面角的棱未知時：,利用射影面積公式s=scos,例在棱長為a的正方體abcdabcd中，e、f分別是bc、ad的中點.,(1)求證：四邊形bedf是菱形； (2)求直線ac與de所成的角； (3)求直線ad與平面bedf所成的角； (4)求面bedf與面abcd所成的角.,(1)證明：如上圖所示，由勾股定理，得b

13、e=ed=df=fb= a,下證b、e、d、f四點共面，取ad中點g，連結(jié)ag、eg， 由eg ab ab知，bega是平行四邊形. beag,又af dg,agdf為平行四邊形 agfd，b、e、d、f四點共面 故四邊形bedf是菱形.,(1)求證：四邊形bedf是菱形,(2)求直線ac與de所成的角,(2)解：如圖所示，在平面abcd內(nèi)，過c作cpde，交直線ad于p， 則acp(或補角)為異面直線ac與de所成角. 在acp中，易得ac= a，cp=de= a, ap= a 由余弦定理得cosacp= 故ac與de所成角為arccos,(3)求直線ad與平面bedf所成的角,(3)解：a

14、de=adf,ad在平面bedf內(nèi)的射影在edf的平分線上.如圖所示. 又bedf為菱形，db為edf的平分線， 故直線ad與平面bedf所成的角為adb 在rtbad中，ad= a，ab= a,bd= a 則cosadb= 故ad與平面bedf所成的角是arccos .,(4)求面bedf與面abcd 所成的角,1. 在正方體abcda1b1c1d1中，m為dd1的中點，o為底面abcd的中心，p為棱a1b1上任意一點，則直線op與直線am所成的角是( ) a. b.c.d.,2.已知aob=90,過o點引aob所在平面的斜線oc，與oa、ob分別成45、60，則以oc為棱的二面角aocb的

15、大小為_.,c,a,b,o,arccos -,3、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐s-abcd中，abc=90，sa面abcd，sa=ab=bc=1，ad=1/2 ， 則面sba與面scd所成的二面角的大小是 。,如圖,四棱錐p-abcd的底面是正方形,pa底面abcd,aepd,efcd,amef (1)證明mf是異面直線ab與pc的公垂線； (2) 若pa= 3ab,求二面角 eabd平面角的正弦值. (3)若pa=3ab,求直線ac與 平面eam所成角的正弦值.,（1）證明：因pa底面, 有paab,又知abad, 故ab面pad,推得baae,又amcdef,且am=ef, 證得aefm

16、是矩形, 故ammf. 又因aepd,aecd, 故ae面pcd,而mfae,得mf面pcd,故mfpc,因此mf是ab與pc的公垂線.,（2）由（1）知aeab,又adab,故ead是二面角eabd的平面角. 設(shè)ab=a,則pa=3a. 因rtadertpda, 故ead=apd因此,(3)若pa=3ab,求直線ac與平面eam所成角的正弦值.,(3)若pa=3ab,求直線ac與平面eam所成角的正弦值.,解：連結(jié)bd交ac于o,連結(jié)be,過o作be的垂線oh,垂足h在be上. 易知pd面mae,故debe,又ohbe,故oh/de,因此oh面mae.連結(jié)ah,則hao是所要求的線ac與面n

17、ae所成的角, 設(shè)ab=a,則pa=3a, 因rtadertpda,故,空間中的距離主要指以下七種： (1)兩點之間的距離. (2)點到直線的距離. (3)點到平面的距離. (4)兩條平行線間的距離. (5)兩條異面直線間的距離. (6)平面的平行直線與平面之間的距離 (7)兩個平行平面之間的距離,空間中的距離,考綱要求：會計算已給出公垂線時的距離,求點到平面的距離： (1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長. (2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離. (3)體積法,求異面直線的距離： (1)定義法，即求公垂線段的長. (2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離或平面與平面的距離,空間中的距離解法

18、小結(jié),例如圖，已知abcd是矩形 ，ab=a,ad=b, pa平面abcd，pa=2c,q是pa的中點.,求： (1)q到bd的距離； (2)p到平面bqd的距離,如圖，已知abcd是矩形，ab=a,ad=b,pa平面abcd，pa=2c,q是pa的中點.,求： (1)q到bd的距離； (2)p到平面bqd的距離,1. 正方形abcd邊長為2，e、f分別是ab和cd的中點，將正方形沿ef折成直二面角，m為矩形aefd內(nèi)一點，如果mbe=mbc，mb和平面bcf所成角的正切值為 0.5，那么點m到直線ef的距離為 。,2.如圖，直三棱柱abc-a1b1c1的底面abc為等腰直角三角形，acb=9

19、00，ac=1，c點到ab1的距離為ce= ，d為ab的中點.,（1）求證：ab1平面ced （2）求異面直線ab1與cd之間的距離； （3）求二面角b1acb的平面角.,(1)求點e到平面abd的距離： (2)求二面角abdc的正切值,3.如圖，正三棱柱a1b1c1-abc中，底面邊長和側(cè)棱長都是1，d、e分別是c1c和a1b1的中點,4、在直三棱柱abca1b1c1中，底面是等腰直角三角形，acb=90o，側(cè)棱aa1=2，d、e分別是cc1與a1b的中點，點e在平面abd上的射影g是abd的重心。 （1）求a1b與平面abd所成角的大??； （2）求點a1到平面aed的距離。,高考題型分類解

20、析,立體幾何專題復(fù)習(xí) 之三,命題走勢是：整體穩(wěn)定，穩(wěn)中有變 穩(wěn)定:1.主干內(nèi)容沒有大變 2.考查的方向沒有大變，(大題仍然是以多 面體為載體，著重考查直線與平面的位置 關(guān)系，以及角度、距離的計算) 3.考查的難度也基本穩(wěn)定 變化:1.課程內(nèi)容的變化，導(dǎo)致立幾的題量減少 2.新課程理念的滲透，導(dǎo)致開放性、探究性 問題出現(xiàn)。,一、高考考綱要求 1掌握直線與平面的位置關(guān)系。 2掌握空間的角和距離的計算 。 3了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、 球的概念，了解多面體的歐拉定理。掌握棱柱、 正棱錐的性質(zhì)，及球的表面積、體積公式。 4畫圖、讀圖、想圖的要求。 59（a）還包括，會用反證法證明簡單

21、的問題 7能力要求：以空間想象能力為基礎(chǔ)，運用 思維能力、運算能力等，對具體的空間圖形 進行位置關(guān)系的判斷、證明和計算,二、高考考點分析 1占分比重 2003年前一般有三小題（二個選擇、一個填空）一大題，約26分，占全卷的17.4%。2004年江蘇省考題中僅一小題一大題共17分，而全國絕大多數(shù)省份是兩小題一大題21-22分，占全卷的14%左右。 2考查重點 仍然是直線與平面的位置關(guān)系判定、證明及角度與距離的計算。直線平面的平行、垂直作為知識體系的軸心，在考查中地位突出，貫穿整個大題。角度的計算線線角、線面角、二面角是必考內(nèi)容，線面角、二面角的出現(xiàn)頻率更高些。距離以點面距、異面直線的距離為主，前

22、者的出現(xiàn)頻率更高。,3考查方式 (1)大題以考查直線與平面的位置關(guān)系的證明，角度與距離計算為主。大題通常以多面體為載體，如正方體、長方體、三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐，04年全國大部分試卷中立幾以四棱錐為載體；有時出現(xiàn)不規(guī)則幾何體，或改變常用幾何體的放置方式，這些變化提高了空間想象的要求。,(2)小題類型大體有：直線與平面的位置關(guān)系的判定，角度、距離的計算（用于覆蓋大題未考查到的內(nèi)容），球的問題，體積、表面積問題，空間想象能力，與其它知識綜合的問題（如排列組合等），如：04年各卷情況統(tǒng)計，其中加*者為較難題。,4考查難度 立體幾何大題一般出現(xiàn)在試卷中第18、19題，難度中等，少數(shù)省份出現(xiàn)在2

23、0、21或17題位置，難度中等偏上或偏下。小題通常為容易題、中等題，中上難度的題也時有出現(xiàn)。,三、高考題型分析 1能力題型 （1）空間想象能力 既是解決立幾問題的前提，又是考查的重 點。,例1 02年春上海，10題 如圖表示一個正方體表面的一種展開圖， 圖中四條線段ab、cd、ef和gh在原正方體中相互異面的有 對。,只有ab與cd,ef與gh,ab與gh三對,例2（00年全國，16題） 如圖，e，f分別為正方體的面add1a1、 面bcc1b1的中心，則四邊形bfd1e在該 正方體的面上的射影可能是圖 （把可能的圖的序號都填上）,例3（04年重慶文12題） 如圖，棱長為5的立方體無論從哪一面

24、看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個立方體表面積（含孔內(nèi)各面）是 a258 b234 c222 d210,（2）遷移能力 例4（97年全國理15題） 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法有 a150種 b147種 c143種 d141種,例5,例6（04年重慶理12題） 若三棱錐abcd側(cè)面abc內(nèi)一動點p到底面bcd的距離與到棱ab的距離相等，則動點p的軌跡與abc組成的圖形可能是 （ ）,a,b,c,d,例7（04年湖北11題） 已知平面與所成的二面角為80o，p為、外一定點，過點p的一條直線與、所成的角都是30o，則這樣的直線有且僅有 a1條 b2條 c3條 d4條