1、第三講 金融工程定價技術,本講內容 1.狀態(tài)定價技術 2.構建無風險組合定價技術 3.風險中性定價技術 4.鞅及鞅測度,金融工具定價的關鍵,（1）金融工具的現金流 （2）恰當的折現率,狀態(tài)價格定價技術,假如一份風險證券A，現在的市場價格是PA ，1年后市場價格會出現兩種可能的情況：價格上升到uPA ，其概率為q；或者下降到dPA ，出現的概率為1-q。即1年后會出現兩種不同的價格狀態(tài)。,PA,q,1-q,狀態(tài)價格定價技術(續(xù)),定義兩基本證券（假想證券）： 基本證券1：在1年后如果市場出現上升狀態(tài)，其市場價值為1元，如處于下跌狀態(tài)，則其價值為零，其市場價格記為u ； 基本證券2：在1年后如果市

2、場出現上升狀態(tài)，其市場價值為0元，如處于下跌狀態(tài)，則其價值為1，其市場價格記為d 。,用基本證券復制風險證券A,組合B： 購買uPA份基本證券1； 購買dPB份基本證券2。 由無套利原理可知，復制與被復制證券市價的現值相等： PA=uuPA+ddPA 即：uu+dd=1 （1）,對風險證券A定價,組合C： 購買一單位基本證券1； 購買一單位基本證券2。 1年后組合C現金流為？ 組合C是一個無風險組合，其收益率應為無風險收益率rf ，有 u+d=1/(1+ rf) （2） 將式（1）、（2）兩個方程聯(lián)立成方程組，可得： u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d) d =u-(1+ rf

3、)/(1+ rf) (u-d),例1,假如證券A現在的市場價格為PA=100元，rf=2%，d=0.98,u=1.07，見圖；證券B1年后的狀態(tài)價格見圖。,PA=100,PB,解,依題意有 u= (1+ rf) d/(1+ rf) (u-d)=0.435730 d =u-(1+ rf)/(1+ rf) (u-d)=0.544662 對A證券定價 PA=uuPA+ddPA=0.435730107+0.54466298=100 對證券B定價 PB=uuPB+ddPB=0.435730103+0.54466298.5=98.52941,問題,問題1：基本證券1的市場價格和基本證券2的市場價格是由證券

4、A的狀態(tài)價格確定，為什么可以用來復制證券B？ 狀態(tài)價格的涵義： 兩個基本證券的參數u，d唯一地確定了某個市場，則刻畫在這個市場里的證券價格變化的參數u和d必須滿足以下方程組 uu+dd=1 u+d=1/(1+ rf) 兩組不同的u，d刻畫了兩個不同的市場。 用證券B的狀態(tài)價格來復制證券B？ 問題2：基本證券都是假想證券，能不能用一個證券來復制另一個證券？,用證券A復制證券B,組合D：份證券A和現值為L的無風險證券。其現在的價格為： I=100+L （3） 1年后，無論市場狀況如何，組合D的市場價值都與證券B一樣。 如出現上升的狀態(tài)，有 Iu=107+L1.02=103 如出現下降的狀態(tài)，有 I

5、d=98+L1.02=98.5 將以上兩個方程聯(lián)立成方程組，可解得=0.5,L=49.5/1.02 代入式（3）可得證券B現在的價值I=98.52941,遠期/期貨合約的價值,設X為遠期/期貨合約在到期日T標的資產的交割價格。則對于一項遠期合約多頭來說，其在T時刻的價值為S(T)-X。 組合： 一項價值為S(t)的標的資產多頭； 數量為Xe-rf (T-t)的現金空頭(以無風險利率rf借入) 組合現金流分析 t時刻：組合價值為S(t) - Xe-rf (T-t) T時刻：組合價值為S(T)-X 這一組合復制了遠期合約的多頭。 根據無套利原則，該遠期合約在t時刻的價值一定等于該組合在t時刻的價值

6、。即 (t)=S(t) - Xe-rf (T-t) tT,遠期/期貨價格,如果在t時刻訂約，則遠期價格等于T時刻的交割價格，即F(t,T)=X，且合約的價值為零，則有 S(t) - Xe-rf (T-t) =0 即，X= S(t)erf (T-t) 故遠期/期貨價格為 F(t,T)= S(t)erf (T-t),支付已知現金紅利資產遠期合約定價,設I為現金紅利在t時刻的現值。 組合 一項價值為S(t)的標的資產多頭； 數量為Xe-rf (T-t) +I的現金空頭(以無風險利率rf借入) 組合現金流分析 t時刻：組合價值為S(t) - Xe-rf (T-t) - I T時刻：組合價值為S(T)-

7、X 這一組合復制了支付已知現金紅利資產遠期合約的多頭。 根據無套利原則，該遠期合約在t時刻的價值一定等于該組合在t時刻的價值。即 (t)=S(t) - I - Xe-rf (T-t) tT,關于遠期匯率的案例,一客戶要求某銀行報出一年后交割的DM對US$的匯價。有關數據如下： 交割數量(A)：1,980,000DM 即期匯率(S)： US$1=1.8000DM 即期利率：一年期的美元利率(ib )為6%，一年期的DM利率為(iq )10%。 問：該銀行如何確定一年期的DM/ US$的遠期匯率(F) ？,遠期匯率的確定過程,US$,DM,即期,遠期 (一年),-1,980,000,+1,980,

8、000,-1,800,000,以10%的利率貸出DM1年,+1,800,000,-1,000,000,賣出即期美元(價1.8000),+1,000,000,以6%的利率借US$ 1年,-1,060,000,+1,060,000,以價F賣出遠期DM,A/(1+iq) =1,980,000/(1+10%) =1,800,000,A/(1+iq)/s =1,800,000/1.8=1,000,000,A/(1+iq)/s(1+ ib) =1,000,000(1+6%) =1,060,000,F=S(1+ iq)/(1+ ib) =1.8(1+10%)/(1+6%),關于遠期利率的案例,一客戶要求某銀

9、行從現在(t)開始6個月內提供為其6個月的100萬的貸款。在現貨市場上，利率的報價為：6個月期(T)的利率(is)為9.5%，12個月期(T)的利率(iL )為9.875%。 該銀行如何確定該66的遠期利率（iF ）？,遠期利率的確定過程,即期,6個月,12個月,-1000000,+1000000,-954,654,以9.5%的利率貸出6個月,+954,654,以9.875%的利率借款12個月,-1,048,926,+1,048,926,以iF的利率貸出6個月,國債期貨的定價方法：現金-持有定價法,(1)買入100000美元面值的一種可交割債券； （2）通過回購協(xié)議為債券融資； （3）賣出一份

10、期貨合約； （4）持有債券直到交割月份的最后一日； （5）根據期貨空頭頭寸交割債券。,現金-持有策略圖,對期權定價,一個股票現在的價格為 $20 三個月后，該股票的價格或者是 $22，或者是$18，如下圖 設無風險利率為12%。,Stock Price = $22 Option Price = $1,Stock Price = $18 Option Price = $0,Stock price = $20 Option Price=?,A Call Option,A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.,對看漲期權

11、進行復制,考慮一個組合：單位股票 現值為L的無風險資產 則有方程組 22+Le0.120.25=1 18+Le0.120.25=0 解得：=0.25，L=-4.3672 則期權的價格為20+L=200.25-4.3672=0.633,動態(tài)復制技術：例,有證券A、B，證券A的價格運動規(guī)律如左圖，證券B在第二期期末3種不同狀態(tài)下的價格如右圖。,96.04,PBu,解,先看右上方的二叉樹，假設用u份證券A和現在市場價值為Lu的無風險證券來構筑證券B的組合。見圖。,104.86,可聯(lián)立方程組 114.49 u+1.02Lu=107.67 104.86 u+1.02Lu=102.97,解出u =0.48

12、8，Lu =50.78,則PBu =107u +Lu =103,解（續(xù)）,對于右下方的二叉樹，可建立方程組 104.86d +1.02Ld =102.97 96.04d +1.02Ld =98.48 解得， d=0.509, Ld=48.62, PBd=98d +Ld=98.5 再看左方的二叉樹，如圖。,解（續(xù)）,可用份證券A和價值為L的無風險證券的組合來復制證券B。可得方程組 107+1.02L=103 98+1.02L=98.5 解得，=0.5，L=48.53 故證券B現在的市場價格為 PB=100+L=98.52941 問題1：如采用連續(xù)復利利率計算，以上過程如何變化？,二叉樹與Blac

13、k-Scholes模型,（1）相同點 對股價運動規(guī)律的假定一樣 確定折現率的方法：構建無風險組合 （2）不同點 具體描述現金流的方法,證券價格變化與隨機過程,弱式有效市場中的證券價格變化 隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。 隨機過程的分類： Discrete time; discrete variable Discrete time; continuous variable Continuous time; discrete variable Continuous time; continuous variable 嚴格地說，證券價格的變化過程屬于離散變量的離散時間隨機

14、過程，但我們近似地將其看為連續(xù)變量的連續(xù)時間隨機過程。,Markov Stochastic Process,Markov Stochastic Process 在這個過程中，只有變量的當前值才與未來的預測有關，變量過去的歷史和變量從過去到現在的演變方式與未來的預測無關。,Cramer-Levy(克拉默-列維)定理,設X1 、X2為獨立隨機變量，則X1+X2（， 2），當且僅當X1 （ 1， 1 2 ）， X2 （ 2， 2 2 ），且=1+2， 2=1 2 +2 2,維納過程(A Wiener Process ),維納過程是一個擁有零均值和年變動率為1.0的Markov Stochastic

15、Process。 設在微小的時間段t內變量z的變化值為z。則一個維納過程具有二種特征： (1) 由(1)可知，在一個微小的時間間隔t內 , zN（m,s）,且 Mean of z=0 Standard deviation of z=t Variance of z=t (2)對于任意兩個不同時間間隔t，z的值相互獨立。,維納過程（續(xù)）,在一個相當長的時間段T內，z(T )z(0)N（m,s）,且 Mean ofz(T)z(0)=0 Variance ofz(T)z(0)=NDt=T N=T/n Standard deviation of z(T )z(0)is 推論 在任意長度的時間間隔T內，遵

16、循維納過程的變量的變化值服從具有均值為0，標準差為 的正態(tài)分布。 對于相互獨立的正態(tài)分布，方差具有可加性，標準差不具有可加性。,一般維納過程(Generalized Wiener Process),定義 漂移率(Drift Rate)是指單位時間內變量z均值的變化值(設為a)。 方差率(Variance Rate)是指單位時間的方差(設為b2 )。 變量x的一般維納過程可表示為： dx=adt+bdz 式中，dz為維納過程 在很小的一段時間間隔t內，x值的變化遵循 x=at+bDt 式中，N(0，1),一般維納過程（續(xù)）,推論1：xN(m，s) x的均值=aDt x的標準差=bDt x的方差=

17、b2Dt 推論2：在任意時間間隔T內，x值的變化量遵循正態(tài)分布，且 x的均值=aT x的標準差= x的方差=b2T,伊藤過程(Ito Process ),若把變量x的漂依率和方差率當作變量x和時間t的函數，可得到伊藤過程。 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 式中，dz是一個維納過程，a、b分別是變量x和t的函數，變量x的漂移率和方差率分別為a和b2。 考慮到離散時間，伊藤過程變?yōu)?說明：上式只有當Dt0時，才成立。,證券價格行為模型,證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為2S2的伊藤過程表示。 或 dS/S=dt+dz 式中，表示證券在單位時間內以連續(xù)復利表示的期望收益率(又稱預

18、期收益率)，2表示證券收益率單位時間的方差；表示證券收益率單位時間的標準差，簡稱證券價格的波動率。,證券價格行為模型（續(xù)）,在短時間Dt后，證券價格變化的比率值為： DS/S=Dt+Dt 故，有 DS/SN（Dt,Dt） 注意：由于比例變化不具有可加性，因此不能推導出在任意時間長度T后證券價格比例變化的標準差為Dt。,伊藤引理(Itos lemma),若變量x遵循伊藤過程，伊藤引理將會告訴我們變量x和t的函數G將遵循的隨機過程。 因為一個衍生證券是標的資產S和時間t的函數，因此，伊藤引理在衍生證券的分析中占有重要的地位。,伊藤引理推導:泰勒級數展開式,函數G(x,t)的泰勒級數展開式為：,伊藤

19、引理推導: 忽略Dt的高階項,伊藤引理推導: Substituting for Dx,伊藤引理推導: The e2Dt Term,伊藤引理推導: Taking Limits,證券價格自然對數變化過程,令G=lnS,則有； G/S=1/S ，2G/S2=-1/S2，G/t=0,由伊藤過程（ItoSlemma）可知G服從以下過程； dG=(-2/2)dt+dz,結論：lnS服從一般維納過程，lnS在0到T時間的變化服從正態(tài)分布。,證券價格自然對數變化過程(續(xù)),即有,因此， 是正態(tài)分布。,一張完整的二叉樹圖,S0,S0d,S0u,S0u2,S0,S0d2,S0d3,S0d,S0u,S0u3,S0d

20、4,S0d2,S0,S0u2,S0u4,二叉樹為什么能描述股價的運動,如果從t=0時刻到t=T時刻，二叉樹所分得步數越來越多，適當地選擇二叉樹中的u和d，當所分的步數趨于無窮大時，股價變化就趨于對數正態(tài)分布。,證明,二叉樹定價時股票價格變化規(guī)律為：,則數學期望值為,對于n個階段的二叉樹，其均值和方差為,如果選擇：,u，d和q的選擇保證了連續(xù)計息收益率在單位時間的均值和方差分別是和2 ，因此，適當選擇參數，二叉樹無限細分能夠描述股票價格的運動規(guī)律。,股價與期權價格的描述,考慮一個組合:long sharesshort 1 call option 當221=18 or =0.25時，該組合是無風險

21、的。,構建一個無風險組合,對組合定價,無風險組合為: long 0.25 sharesshort 1 call option 該組合3個月后的價值為 220.25 1=4.50 組合的現值為 4.5e0.120.25 =4.3670,對期權定價,組合： long 0.25 sharesshort 1 option 現在的價值為 4.367 而股票的價值為 5.000 (= 0.2520 ) 故期權的價值為0.633(=5.0004.367),期權定價的一般形式,A derivative lasts for time T and is dependent on a stock,期權的定價公式 =

22、 p u + (1 p )d erT 這里，,股票價格變化過程與衍生證券價格變化過程,從上述兩式可以看出，衍生證券價格G和證券價格S都受同一個不確定性來源dz的影響。,Black-Scholes 的基本原理,期權的價格和股票的價格都受同一個基本的不確定性來源的影響。 我們能夠構筑一個包含股票和期權的組合，以此來消除這種不確定性來源。 此組合是瞬間的無風險并能獲得瞬間的無風險收益。 這將導出 Black-Scholes differential equation,Black-Scholes微分方程(1/3),Black-Scholes微分方程(2/3),Black-Scholes微分方程(3/3

23、),任何一個價格依賴于股價的證券都滿足 the differential equation,We substitute for and in these equations to get the Black-Scholes differential equation:,The return on the portfolio must be the risk-free rate. Hence,Black-Scholes微分方程的解,風險中性,風險厭惡、風險中性和風險喜好 公平的賭博：賭博結果的預期只應當和入局前所持有的資金相等，即賭博的結果從概率平均的意義上來說應當是不輸不贏。 在沒有風險補償時

24、，風險厭惡的人拒絕公平的賭博；風險中性的人愿意無條件地參加公平賭博；風險喜好是賭徒的典型的心態(tài)。,風險中性假設,在一個假想的風險中性世界中，所有的市場參與者都是風險中性的，則所有的資產不管其風險大小或是否有風險，預期收益率都等于無風險收益率。,風險中性假設（續(xù)）,如果對一個問題的分析過程與投資者的風險偏好無關，則可以將問題放到一個假設中性的世界里進行分析，所得的結果在真實的世界里也應當成立。,風險中性假設與無套利均衡分析,無套利均衡分析過程和結果在真實的世界里應當成立。 例3：假設一種不支付紅利股票目前的市場價格為10元，我們知道在3個月后，該股票的價格要么是11元，要么是9元?，F在我們要求一

25、份3個月期敲定價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價格。,風險中性定價(Risk-Neutral Valuation),步驟: （1）假定標的資產的預期收益率為無風險利率； （2）計算衍生證券到期日的預期現金流； （3）將預期現金流以無風險利率折現到即期。,風險中性定價：對遠期合約定價,設一個以無紅利支付股票為標的資產的遠期合約多頭，其到期日T的交割價格為ST。 到期日合約的價值為： ST K 遠期合約在時間t(T)的價值f為： f=e-r(T-t)(ST-K) f=e-r(T-t)(ST)-Ke-r(T-t) (ST)=Se(T-t)= Ser(T-t) f=S-Ke-r(T-t),風險中

26、性定價：對期權的定價,變量m并沒有出現在 the Black-Scholes differential equation 該方程不依賴任何受風險偏好影響的變量。 因此微分方程的解在真實世界和風險中性世界都是一樣的。 所以，可以用風險中性定價方法來對期權進行定價。,風險中性定價：對期權的定價（續(xù)）,考慮一個在風險中性世界中的歐式看漲期權，其在到期日的價值為 max(ST X,0) 期權的價值為 c=e-rT max(ST X,0),多階段事件樹,假如證券的交易就是3個階段，每一次交易都在每一期期末集中交易，即由事件樹中各節(jié)點表示。,信息結構,t=0時刻的信息結構t： 或者交易，或者不交易，如交易

27、，到多階段交易結束時，所發(fā)生的事件一定落在事件集31,32, 33,34之中。 t=1時刻信息結構t： 發(fā)生事件一定落在事件集31,32,33,34，而且或者落在子集合31,32,33，或者落在子集合32,33,34。 t=2時刻信息結構t： 包括t=1階段所獲得的信息，還知道所發(fā)生的事件一定落在子集合31,32， 32,33，33,34中的一個。 t=3時刻信息結構t： 包括t=2階段所獲得的信息，還知道所發(fā)生的事件必定是31,32,33,34中的一個。,鞅（定義）,鞅是一類隨機過程或隨機序列（鏈）：在任何時刻，在當時的信息結構t 的基礎上，如果對隨機過程S(t)的某種概率分布，對任意的s,

28、t；0st，都有 E*S(t)|s=S(s) 滿足上述條件的隨機過程S(t)是鞅。 在現在時刻s的已有信息結構s條件下，有未來時刻t的條件概率分布Pt*|s ，則E*S(t)|s表示隨機變量S(t)在未來時刻t服從這一條件概率分布的條件數學期望。,鞅與公平賭博,設Y(t)表示一個賭徒在第t次賭博時的資本。Y(0)是他最初的賭本，而Y(t)(t1)是一個隨機變量。如果賭博是公平的，則他每次的資本增益的期望應為零，即他在進行以后(次數t+1)的賭博中，他的資本期望值還是他最近一次賭博時的資本數Y(t)。 公平賭博的隨機過程構成鞅，風險中性概率即為鞅概率。,等價鞅測度（等價鞅概率）,在真實世界里，證券價格遵循真實的概率P分布。對于概率測度P，另一個世界中的概率測度P*與P相對應。如果P*滿足以下三個條件，就可以稱P*為P的等價鞅測度（等價鞅概率）： (1) P*與P同零集。 (2)對于概率P來說，如果一個事件發(fā)生的可能性很小，則對于概率