1、高一數(shù)學等差數(shù)列教案等差數(shù)列教案一1. 知識與技能(1)理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列：(2)賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導過程：(3)會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。2.過程與方法在定義的理解和通項公式的推導、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。3.情感、態(tài)度與價值觀通過教師指導下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、

2、善于總結(jié)的良好習慣。等差數(shù)列的概念;等差數(shù)列的通項公式理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義;等差數(shù)列的通項公式的推導過程.我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生)，經(jīng)過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展.1.教法啟發(fā)引導法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu);有利于突出重點，突破難點;有利于調(diào)動學生的主動性和積

3、極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性.分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性.講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點.2.學法引導學生首先從三個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法.一：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么?2.水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m

4、.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個什么數(shù)列?3.我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金(1+利率存期).按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和(單位：元)組成一個什么數(shù)列?教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù).學生：1：0，5，10，15，20，25，.2：18，15.5，13，10.5，8，5.5.3:10072，10144，10216，10288，10360.(設(shè)置意圖：從實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,

5、目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型.通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力.二：觀察歸納，形成定義0，5，10，15，20，25，.18，15.5，13，10.5，8，5.5.10072，10144，10216，10288，10360.思考1上述數(shù)列有什么共同特點?思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎?思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號語言嗎?教師：引導學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念.學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律;這些數(shù)都是按照一定

6、順序排列的只要合理教師就要給予肯定.教師引導歸納出：等差數(shù)列的定義;另外，教師引導學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義.(設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點;一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達.)三：舉一反三，鞏固定義1.判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是，指出公差d.(1)1,1,1,1,1;(2)1,0,1,0,1;(3)2,1,0,-1,-2;(4)4,7,10,13,16.教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調(diào)求公差應(yīng)注意的問題.注意：公差d是每一項(第2

7、項起)與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0 .(設(shè)計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用).2思考4:設(shè)數(shù)列an的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎?為什么?(設(shè)計意圖：強化等差數(shù)列的證明定義法)四：利用定義，導出通項1.已知等差數(shù)列：8，5，2，求第200項?2.已知一個等差數(shù)列an的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢?教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據(jù)學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導，總結(jié)推導方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常

8、用方法.(設(shè)計意圖：引導學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識.鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力)五：應(yīng)用通項，解決問題1判斷100是不是等差數(shù)列2， 9，16，的項?如果是，是第幾項?2在等差數(shù)列an中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.3求等差數(shù)列 3,7,11，的第4項和第10項教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況.學生：教師叫學生代表總結(jié)此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式(

9、設(shè)計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系.初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題.)六：反饋練習：教材13頁練習1七：歸納總結(jié)：1.一個定義：等差數(shù)列的定義及定義表達式2.一個公式：等差數(shù)列的通項公式3.二個應(yīng)用：定義和通項公式的應(yīng)用教師：讓學生思考整理，找?guī)讉€代表發(fā)言，最后教師給出補充(設(shè)計意圖：引導學生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.)本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型導入，有助于發(fā)揮學生學習的主動性，增強學生學習數(shù)列的興趣.在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導出通

10、項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課教學采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結(jié)科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率.等差數(shù)列教案二教學準備教學目標掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，并能運用這些知識解決一些基本問題.教學重難點掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，通項公式與前n項和公式，等差中項與等比中項的概念，并能運用這些知識解決一些基本問題.教學過程等比數(shù)列性質(zhì)請同學們類比得出.1、通項公式與前n項和公式聯(lián)系著五個基本量，“知三求

11、二”是一類最基本的運算題.方程觀點是解決這類問題的基本數(shù)學思想和方法.2、判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，常用的方法使用定義.特別地，在判斷三個實數(shù)a,b,c成等差(比)數(shù)列時，常用(注：若為等比數(shù)列，則a,b,c均不為0)3、在求等差數(shù)列前n項和的(小)值時，常用函數(shù)的思想和方法加以解決.等差數(shù)列教案三例1：(1)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為30，前2n項和為100，則前3n項和為.(2)一個等比數(shù)列的前三項之和為26，前六項之和為728，則a1=,q=.例2：四數(shù)中前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，首末兩項之和為21，中間兩項之和為18，求此四個數(shù).例3：項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和

12、為44，偶數(shù)項之和為33，求該數(shù)列的中間項.教學準備教學目標知識目標等差數(shù)列定義等差數(shù)列通項公式能力目標掌握等差數(shù)列定義等差數(shù)列通項公式情感目標培養(yǎng)學生的觀察、推理、歸納能力教學重難點教學重點等差數(shù)列的概念的理解與掌握等差數(shù)列通項公式推導及應(yīng)用教學難點等差數(shù)列“等差”的理解、把握和應(yīng)用教學過程由_紅高粱主題曲“酒神曲”引入等差數(shù)列定義問題：多媒體演示，觀察-發(fā)現(xiàn)?一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。例1：觀察下面數(shù)列是否是等差數(shù)列：.二、等差數(shù)列通項公式：已知等差數(shù)列a

13、n的首項是a1，公差是d。則由定義可得：a2-a1=da3-a2=da4-a3=dan-an-1=d即可得：an=a1+(n-1)d例2已知等差數(shù)列的首項a1是3，公差d是2，求它的通項公式。分析：知道a1,d，求an。代入通項公式解：a1=3,d=2an=a1+(n-1)d=3+(n-1)2=2n+1例3求等差數(shù)列10，8，6，4的第20項。分析：根據(jù)a1=10，d=-2，先求出通項公式an，再求出a20解：a1=10,d=8-10=-2，n=20由an=a1+(n-1)d得a20=a1+(n-1)d=10+(20-1)(-2)=-28例4：在等差數(shù)列an中，已知a6=12，a18=36,求

14、通項an。分析：此題已知a6=12，n=6;a18=36,n=18分別代入通項公式an=a1+(n-1)d中，可得兩個方程，都含a1與d兩個未知數(shù)組成方程組，可解出a1與d。解：由題意可得a1+5d=12a1+17d=36d=2a1=2an=2+(n-1)2=2n練習1.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：23，25，26，27，28，29，30;0,0,0,0,0,0,52，50，48，46，44，42，40，35;-1，-8，-15，-22，-29;答案：不是是不是是等差數(shù)列an的前三項依次為a-6，-3a-5，-10a-1，則a等于A.1B.-1C.-1/3D.5/11提示：(-3a-5)-(a

15、-6)=(-10a-1)-(-3a-5)3.在數(shù)列an中a1=1，an=an+1+4，則a10=.提示：d=an+1-an=-4教師繼續(xù)提出問題已知數(shù)列an前n項和為等差數(shù)列教案三整體設(shè)計教學分析本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列等差數(shù)列.本節(jié)課安排2課時，第1課時是在生活中具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項公式，最后根據(jù)這個公式去進行有關(guān)計算.第2課時主要是讓學生明確等差中項的概念，進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及其推導的公式，并能通過通項公式與圖象認識等差數(shù)列的性質(zhì).讓學生明白一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學生學會用圖象與通項公式的關(guān)系解

16、決某些問題.在學法上，引導學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，學會探究.在問題探索過程中，先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項公式的靈活運用.在教學過程中，應(yīng)遵循學生的認知規(guī)律，充分調(diào)動學生的積極性，盡可能讓學生經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學習興趣，發(fā)揮他們的主觀能動性及其在教學過程中的主體地位.使學生認識到生活離不開數(shù)學，同樣數(shù)學也是離不開生活的.學會在生活中挖掘數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，使數(shù)學生活化，生活數(shù)學化.數(shù)列在整個中學數(shù)學內(nèi)容中處

17、于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學習數(shù)列又為后面學習數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊.教材采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生觀察問題、啟發(fā)學生思考問題的好素材.三維目標1.通過實例理解等差數(shù)列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數(shù)列模型，讓學生認識到這一類數(shù)列是現(xiàn)實世界中大量存在的數(shù)列模型.同時經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個具體數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過程.2.探索并掌握等差數(shù)列的通項公式，由等差數(shù)列的概

18、念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數(shù)列的通項公式.通過與一次函數(shù)的圖象類比，探索等差數(shù)列的通項公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.3.通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等 差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習興趣.重點難點教學重點：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式，等差中項及性質(zhì)，會用公式解決一些簡單的問題.教學難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點看通項公式，并會解決一些相關(guān)的問題.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課思路1.(直接導入)教師引導學生先復習上節(jié)課學過的數(shù)列的概念以及通項公式，可有意

19、識地在黑板上(或課件中)出示幾個數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3，數(shù)列0,0,0，數(shù)列0,2,4,6，等，然后直接引導學生閱讀教材中的實例，不知不覺中就已經(jīng)進入了新課.思路2.(類比導入)教師首先引導學生復習上節(jié)課所學的數(shù)列的概念及通項公式，使學生明了我們現(xiàn)在要研究的就是一列數(shù).由此我們聯(lián)想：在初中我們學習了實數(shù)，研究了它的一些運算與性質(zhì)，那么我們能不能也像研究實數(shù)一樣，來研究它的項與項之間的關(guān)系、運算和性質(zhì)呢?由此導入新課.推進新課新知探究提出問題1?回憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪幾種表示方法?2?閱讀教科書本節(jié)內(nèi)容中的3個背景實例，熟悉生活中常見現(xiàn)象，寫出由3個實例所得到的數(shù)列.3?觀察數(shù)列，它們有什

20、么共同特點?4?根據(jù)數(shù)列的特征，每人能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列嗎?5?什么是等差數(shù)列?怎樣理解等差數(shù)列?其中的關(guān)鍵字詞是什么?6?數(shù)列存在通項公式嗎?如果存在，分別是什么?7?等差數(shù)列的通項公式是什么?怎樣推導?活動：教師引導學生回憶上節(jié)課所學的數(shù)列及其簡單表示法列表法、通項公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點.然后引導學生閱讀教材中的實例模型，指導學生寫出這3個模型的數(shù)列：22,22.5,23,23.5,24,24.5，;2,9,16,23,30;89,83,77,71,65,59,53,47.這是由日常生活中經(jīng)常遇到的實際問題中得到的數(shù)列.觀察這3個數(shù)列發(fā)現(xiàn)，每個

21、數(shù)列中相鄰的后項減前項都等于同一個常數(shù).當然這里我們是拿后項減前項，其實前項減后項也是一個常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學習方便，這個順序不能顛倒.至此學生會認識到，具備這個特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97，某體育場一角的看臺的座位排列：第一排15個座位，向后依次為17,19,21,23，等等.以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差).這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容.教師先讓學生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義.等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常

22、數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.教師引導學生理解這個定義：這里公差d一定是由后項減前項所得，若前項減后項則為-d，這就是為什么前面3個模型的分析中總是說后項減前項而不說前項減后項的原因.顯然3個模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7，-6.教師進一步引導學生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么?(學生在學習中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確、深入地理解和掌握概念的重要條件，這是學好數(shù)學及其他學科的重要一環(huán).因此教師應(yīng)該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力)這里“從第二項起”和“同一個常數(shù)”是等差數(shù)列定

23、義中的核心部分.用遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對于數(shù)列an，若an-an-1=d(d是與n無關(guān)的常數(shù)或字母)，n2，nN_，則此數(shù)列是等差數(shù)列.這是證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法.點撥學生注意這里的“n2”，若n包括1，則數(shù)列是從第1項向前減，顯然無從減起.若n從3開始，則會漏掉a2-a1的差，這也不符合定義，如數(shù)列1,3,4,5,6，顯然不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解等差數(shù)列的定義.教師進一步引導學生探究數(shù)列的通項公式，學生根據(jù)已經(jīng)學過的數(shù)列通項公式的定義，觀察每一數(shù)列的項與序號之間的關(guān)系會很快寫出：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.以上這幾個通項

24、公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性.教師點撥學生探求，對任意等差數(shù)列a1，a2，a3，an，根據(jù)等差數(shù)列的定義都有：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，所以a2=a1+d，a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d.學生很容易猜想出等差數(shù)列的通項公式an= a1+(n-1)d后，教師適時點明：我們歸納出的公式只是一個猜想，嚴格的證明需要用到后面的其他知識.教師可就此進一步點撥學生：數(shù)學猜想在數(shù)學領(lǐng)域中是很重要的思考方法，后面還要專門探究它.數(shù)學中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)學皇冠上

25、的明珠，對于它的證明中國已處于世界領(lǐng)先地位.很多著名的數(shù)學結(jié)論都是從猜想開始的.但要注意，數(shù)學猜想僅是一種數(shù)學想象，在未得到嚴格的證明前不能當作正確的結(jié)論來用.這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d是經(jīng)過嚴格證明了的，只是現(xiàn)在我們知識受限，無法證明，所以說我們先承認它.鼓勵學生只要創(chuàng)新探究，獨立思考，也會有自己的新奇發(fā)現(xiàn).教師根據(jù)教學實際情況，也可引導學生得出等差數(shù)列通項公式的其他推導方法.例如：方法一(疊加法)：an是等差數(shù)列，an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d，a2-a1=d.兩邊分別相加得an-a1=(n-1)d，所以an=a1+(n

26、-1)d，方法二(迭代法)：an是等差數(shù)列，則有an=an-1+d，=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.所以an=a1+(n-1)d.討論結(jié)果：(1)(4)略.(5)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其中關(guān)鍵詞為“從第2項起”、“等于同一個常數(shù)”.(6)三個數(shù)列都有通項公式，它們分別是：an=21.5+0.5n，an=7n-5，an=-6n+95.(7)可用疊加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d.應(yīng)用示例例1(教材本節(jié)例2)活動：本例的目的是讓學生熟悉公式，

27、使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系.教學時要使學生認識到等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于an、a1、d、n(獨立的量有3個)的方程，以便于學生能把方程思想和通項公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列問題.本例中的(2)是判斷一個數(shù)是否是某等差數(shù)列的項.這個問題可以看作(1)的逆問題.需要向?qū)W生說明的是，求出的項數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是已知數(shù)列中的項，否則，就不是已知數(shù)列中的項.本例可由學生自己獨立解決，也可做板演之用，教師只是對有困難的學生給予恰當點撥.點評：在數(shù)列中，要讓學生明確解方程的思路.變式訓練(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16，的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由;(2)-20是不是等

28、差數(shù)列0，-312，-7，的項，如果是，是第幾項?如果不是，請說明理由.解：(1)由題意，知a1=2，d=9-2=7.因而通項公式為an=2+(n-1)7=7n-5.令7n-5=100，解得n=15，所以100是這個數(shù)列的第15項.(2)由題意可知a1=0，d=-312，因而此數(shù)列的通項公式為an=-72n+72.令-72n+72=-20，解得n=477.因為-72n+72=-20沒有正整數(shù)解，所以-20不是這個數(shù)列的項.例2一個等差數(shù)列首項為125，公差0，從第10項起每一項都比1大，求公差d的范圍.活動：教師引導學生觀察題意，思考條件“從第10項起每一項都比1大”的含義，應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學條

29、件?是否僅是1呢0的條件又說明什么?教師可讓學生合作探究，放手讓學生討論，不要怕學生出錯.解0，設(shè)等差數(shù)列為an，則有a1由題意，得1即1，125+?9-1?d1，解得875點評：本例學生很容易解得不完整，解完此題后讓學生反思解題過程.本題主要訓練學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式以及對公差的深刻理解.變式訓練在數(shù)列an中，已知a1=1，1an+1=1an+13(nN_)，求a50.解：已知條件可化為1an+1-1an=13(nN_)，由等差數(shù)列的定義，知1an是首項為1a1=1，公差為d=13的等差數(shù)列，1a50=1+(50-1)13=523.a50=352.例3已知數(shù)列an的通項公式an=pn

30、+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是，首項與公差分別是什么?活動：要判定an是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，根據(jù)1)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).這實際上給出了判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個方法：如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列.因而把等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來.本例設(shè)置的“旁注”，目的是為了揭示等差數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征：對于通項公式形如an=pn+q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.因此可以深化學生對等差數(shù)列的理解，同時還可以從多個角度去看待等差數(shù)列的通項公式，有利于以

31、后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì).在教學時教師要根據(jù)學生解答的情況，點明這點.解：當n2時，取數(shù)列an中的任意相鄰兩項an-1與an(n2)an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù)，所以an是等差數(shù)列，首項a1=p+q，公差為p.點評：(1)若p=0，則an是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，.(2)若p0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(n，an)均在一次函數(shù)y=p*+q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式.變式訓練

32、已知數(shù)列的通項公式an=6n-1.問這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?若是等差數(shù)列，其首項與公差分別是多少?解：an+1-an=6(n+1)-1-(6n-1)=6(常數(shù))，an是等差數(shù)列，其首項為a1=61-1=5，公差為6.點評：該訓練題的目的是進一步熟悉例3的內(nèi)容.需要向?qū)W生強調(diào)，若用an-an-1=d，則必須強調(diào)n2這一前提條件，若用an+1-an=d，則可不對n進行限制.知能訓練1.(1)求等差數(shù)列8,5,2，的第20項;(2)-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項?如果是，是第幾項?2.求等差數(shù)列3,7,11，的第4項與第10項.答案：1.解：(1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20

33、，得a20=8+(20-1)(-3)=-49.(2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得這個數(shù)列的通項公式為an=-5-4(n-1)=-4n-1.由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-4n-1成立.解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項.2.解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.該數(shù)列的通項公式為an=3+(n-1)4，即an=4n-1(n1，nN_).a4=44-1=15，a10=410-1=39.課堂小結(jié)1.先由學生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數(shù)學思想方法?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?2.教師進一

34、步集中強調(diào)，本節(jié)學習的重點內(nèi)容是等差數(shù)列的定義及通項公式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”.這是我們研究有關(guān)等差數(shù)列的主要出發(fā)點，是判斷、證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對任意相鄰兩項來說的.作業(yè)習題22 A組1、2.設(shè)計感想本教案設(shè)計突出了重點概念的教學，突出了等差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應(yīng)用.等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的準確反映和高度概括，準確地把握定義是正確認識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件.通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個數(shù)列的重要工具.因為等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，因此通過函

35、數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.本教案設(shè)計突出了教法學法與新課程理念的接軌，引導綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學，這是一種非常重要的學習方法;在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進行試探，提出猜想，最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗所提出的猜想.本教案設(shè)計突出了發(fā)散思維的訓練.通過一題多解，多題一解的訓練，比較優(yōu)劣，換個角度觀察問題，這是數(shù)學發(fā)散思維的基本素質(zhì).只有在學習過程中有意識地將知識遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗多樣性，學懂學透，融會貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增.(設(shè)計者：周長峰)第2課時導入新課思路1.(復習導入)上一

36、節(jié)課我們研究了數(shù)列中的一個重要概念等差數(shù)列的定義，讓學生回憶這個定義，并舉出幾個等差數(shù)列的例子.接著教師引導學生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項與項之間有什么新的發(fā)現(xiàn)?比如，在同一個等差數(shù)列中，與某一項“距離”相等的兩項的和會是什么呢?由此展開新課.思路2.(直接導入)教師先引導學生回顧上一節(jié)所學的內(nèi)容：等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項，之后直接提出等差中項的概念讓學生探究，由此而展開新課.推進新課新知探究提出問題1?請學生回憶上節(jié)課學習的等差數(shù)列的定義，如何證明一個數(shù)列是等差數(shù)列?2?等差數(shù)列的通項公式是怎樣得出來的?它與一次函數(shù)有什么關(guān)系?3?什么是等差中項?怎樣求等差中項?4?根據(jù)等差中項的

37、概念，你能探究出哪些重要結(jié)論呢?活動：借助課件，教師引導學生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即an-an-1=d(n2，nN_)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(通常用字母“d”表示).再一起回顧通項公式，等差數(shù)列an有兩種通項公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常數(shù)).由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的方法：d=an-an-1;d=an-a1n-1;d=an-amn-m.對于通項公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項公式，后又用疊加法及迭代法推導了通項公式.教師指導學生閱讀課本

38、等差中項的概念，引導學生探究：如果我們在數(shù)a與數(shù)b中間插入一個數(shù)A，使三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什么樣的條件呢?由定義可得A-a=b-A，即A=a+b2.反之，若A=a+b2，則A-a=b-A，由此可以得A=a+b2?a，A，b成等差數(shù)列.由此我們得出等差中項的概念：如果三個數(shù)*，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做*和y的等差中項.如果A是*和y的等差中項，則A=*+y2.根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項.如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差中項.9是7和

39、11的等差中項，也是5和13的等差中項.等差中項及其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a，A，b成等差數(shù)列?2A=a+b，以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標量間的等量關(guān)系或直接由a，A，b間的關(guān)系證得a，A，b成等差數(shù)列.根據(jù)等差中項的概念我們來探究這樣一個問題：如上面的數(shù)列1,3,5,7,9,11,13，中，我們知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8，那么你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢?再驗證一下，結(jié)果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6.由此我們猜想這個規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列an中，若m、n、p、qN_且m+n=p+q，那么am+an=ap+aq，這個猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項公

40、式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴格證明，不能說它就一定是正確的.讓學生進一步探究怎樣證明它的正確性呢?只要運用通項公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項為a1，則am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因為我們有m+ n=p+q，所以上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.由此我們的一個重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列an的各項中，與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則上面兩式的右邊相等，所以am+an=ap+aq.同樣地，我們

41、還有：若m+n=2p，則am+an=2ap.這也是等差中項的內(nèi)容.我們自然會想到由am+an=ap+aq能不能推出m+n=p+q呢?舉個反例，這里舉個常數(shù)列就可以說明結(jié)論不成立.這說明在等差數(shù)列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此我們還進一步推出an+1-an=d=an+2-an+1，即2an+1=an+an+2，這也是證明等差數(shù)列的常用方法.同時我們通過這個探究過程明白：若要說明一個猜想正確，必須經(jīng)過嚴格的證明，若要說明一個猜想不正確，僅舉一個反例即可.討論結(jié)果：(1)(2)略.(3)如果三個數(shù)*，A，y成等差數(shù)列，那么A叫做*和y的等差中項，且A=*+y2.

42、(4)得到兩個重要結(jié)論：在數(shù)列an中，若2an+1=an+an+2(nN_)，則an是等差數(shù)列.在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m、n、p、qN_)，則am+an=ap+aq.應(yīng)用示例例1在等差數(shù)列an中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.活動：本例是一道基本量運算題，運用方程思想可由已知條件求出a1，d，進而求出通項公式an，則a3，a9不難求出.應(yīng)要求學生掌握這種解題方法，理解數(shù)列與方程的關(guān)系.解：由已知，得a1+a1+5d=9，a1+3d=7，解得a1=-8，d=5.通項公式為an=a1+(n-1)d=-8+5(n-1)=5n-13.a3=2，a9=32.點評：本例解法是數(shù)列問題

43、的基本運算，應(yīng)要求學生熟練掌握，當然對學有余力的同學來說，教師可引導探究一些其他解法，如a1+a6=a4+a3=9.a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4-a3=7-2=5a9=a4+5d=32.點評：這種解法巧妙，技巧性大，需對等差數(shù)列的定義及重要結(jié)論有深刻的理解.變式訓練已知數(shù)列an對任意的p，qN_滿足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于()A.-165 B.-33 C.-30 D.-21答案：C解析：依題意知，a2=a1+a1=2a1，a1=12a2=-3，an+1=an+a1=an-3，可知數(shù)列an是等差數(shù)列，a10= a1+9d=-3-93=-30.例2(教材本

44、節(jié)例5)活動：本例是等差數(shù)列通項公式的靈活運用.正如邊注所說，相當于已知直線過點(1,17)，斜率為-0.6，求直線在*軸下方的點的橫坐標的取值范圍.可放手讓學生完成本例.變式訓練等差數(shù)列an的公差d且a2?a4=12，a2+a4=8，則數(shù)列an的通項公式是 ()A.an=2n-2(nN_) B.an=2n+4(nN_)C.an=-2n+12(nN_) D.an=-2n+10( nN_)答案：D解析：由題意知a2?a4=12a2+a4=8d所以由an=a1+(n-1)d，得an=8+(n-1)(-2)=-2n+10.例3 已知a、b、c成等差數(shù)列，那么a2(b+c)，b2(c+a)，c2(a+

45、b)是否成等差數(shù)列?活動：教師引導學生思考a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式?本題的關(guān)鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).教師可讓學生自己探究完成，必要時給予恰當?shù)狞c撥.解：a、b、c成等差數(shù)列，a+c=2b.又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)=a2b+a2c+ac2+bc2-2b2c-2ab2=(a2b-2ab2)+(bc2-2b2c)+(a2c+ac2)=ab(a-2b)+bc(c-2b)+ac(a+c)=-abc-abc+2abc=0，a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).a2(b+c)，b

46、2(c+a)，c2(a+b)成等差數(shù)列.點評：如果a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a+c=2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a+c=2b.有時還需運用一些等價變形技巧，才能獲得成功.例4在-1與7之間順次插入三個數(shù)a、b、c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.活動：教師引導學生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通項;一是利用等差中項加以處理.讓學生自己去探究，教師一般不要給予提示，對個別探究有困難的學生可適時地給以點撥、提示.解：(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為an，由已知，a1=-1，a5=7，7=-1+(5-1)d，即d=2.所求的數(shù)列為-1,1,3,5,7.(

47、方法二)-1，a，b，c,7成等差數(shù)列，b是-1,7的等差中項，a是-1，b的等差中項，c是b,7的等差中項，即b=-1+72=3，a=-1+b2=1，c=b+72=5.所求數(shù)列為-1,1,3,5,7.點評：通過此題可以看出，應(yīng)多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個角度看問題，以開闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力.變式訓練數(shù)列an中，a3=2，a7=1，且數(shù)列1an+1是等差數(shù)列，則a11等于()A.-25 B.12 C.23 D.5答案：B解析：設(shè)bn=1an+1，則b3=13，b7=12，因為1an+1是等差數(shù)列，可求得公差d=124，所以b11=b7+(11-7)d=2

48、3，即a11=1b11-1=12.例5某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4千米(不含4千米)計費10元.如果某人乘坐該市的出租車前往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少元的車費?活動：教師引導學生從實際問題中建立數(shù)學模型.在這里也就是建立等差數(shù)列的數(shù)學模型.引導學生找出首項和公差，利用等差數(shù)列通項公式的知識解決實際問題.解：根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列an來計算車費.令a1=11.2表示4 km處的車費，公差d=1.2，那么，當出租車行至14km處時，n=

49、11，此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)1.2=23.2(元).答：需要支付車費23.2元.點評：本例中令a1=11.2，這點要引起學生注意，這樣一來，前往14 km處的目的地就相當于n=11，這點極容易弄錯.知能訓練1.已知等差數(shù)列an中，a1+a3+a5+a7=4，則a2+a4+a6等于()A.3 B.4 C.5 D.62.在等差數(shù)列an中，已知a1=2，a2+a3=13，則a4+a5+a6等于()A.40 B.42 C.43 D.45答案：1.解析：由a1+a3+a5+a7=4，知4a4=4，即a4=1.a2+a4+a6=3a4=3.答案：A2.解析：a2+a3=13，2a1

50、+3d=13.a1=2，d=3.而a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.答案：B課堂小結(jié)1.先由學生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學習了哪些知識?要注意的是什么?都用到了哪些數(shù)學思想方法?你是如何通過舊知識來獲取新知識的?你在這節(jié)課里最大的收獲是什么?2.教師進一步畫龍點睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個很重要的結(jié)論，一個是等差數(shù)列的證明方法，一個是等差數(shù)列的性質(zhì)，要注意這些重要結(jié)論的靈活運用.作業(yè)課本習題22 A組5、6、7.設(shè)計感想本教案是根據(jù)課程標準、學生的認知特點而設(shè)計的，設(shè)計的活動主要都是學生自己完成的.特別是上節(jié)課通項公式的歸納、猜想給學生留下了很深的記憶;本節(jié)課只是繼續(xù)

51、對等差數(shù)列進行這方面的探究.本教案除了安排教材上的兩個例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓練.為了學生的課外進一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習題，目的是讓學生對等差數(shù)列的有關(guān)知識作進一步拓展探究，以開闊學生的視野.本教案的設(shè)計意圖還在于，加強數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.這不僅有利于知識的融會貫通，加深對數(shù)列的理解，運用函數(shù)的觀點和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學生對函數(shù)的認識深化一步，讓學生體會到數(shù)學是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣.備課資料一、備用例題 梯子最高一級寬33 cm，最低一級寬為110 cm，中間

52、還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度.解：設(shè)an表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知a1=33，a12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.因此a2=33+7=40，a3=40+7=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=103.答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103cm. 已知1a，1b，1c成等差數(shù)列，求證：b+ca，c+ab，a+bc也成等差數(shù)列.證明：因為1a，1b，1c成等差數(shù)列，所以2b=1a+1c，化簡得2ac=b(a+c)，所以有b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=b?a+c?+a2+c2ac=2ac+a2+c2ac=?a+c?2ac=?a+c?2b?a+c?2=2?a+cb.因而b+ca，c+ab，a+bc也成等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列anbn都是等差數(shù)列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求數(shù)列an+bn的第37項的值.分析：由數(shù)列anbn都是等差數(shù)列，可得an+bn是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列an+bn的公差和通項.解：設(shè)數(shù)列anbn的公差