1、 二次函數(shù)知識點總結(jié)和題型總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式一定是整式2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項例題：例1、已知函數(shù)y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函數(shù)，求m的值。練習(xí)、若函數(shù)y=(m2+2m7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍 為 。二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大

2、而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大

3、而增大；時，有最大值二次函數(shù)的對稱軸、頂點、最值（技法：如果解析式為頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k，則最值為k；如果解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c則最值為）1拋物線y=2x2+4x+m2m經(jīng)過坐標(biāo)原點，則m的值為 。2拋物y=x2+bx+c線的頂點坐標(biāo)為（1，3），則b ，c .3拋物線yx23x的頂點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4若拋物線yax26x經(jīng)過點(2，0)，則拋物線頂點到坐標(biāo)原點的距離為( ) A. B. C. D.5若直線yaxb不經(jīng)過二、四象限，則拋物線yax2bxc( ) A.開口向上，對稱軸是y軸 B.開口向下，對稱軸是y軸 C.開口向下

4、，對稱軸平行于y軸 D.開口向上，對稱軸平行于y軸6 已知二次函數(shù)y=mx2+(m1)x+m1有最小值為0，則m 。三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)例題：1拋物線y=x2+4x+9的對稱軸是 。2拋物線y=2x212x+25的開口方向是 ，

5、頂點坐標(biāo)是 。3通過配方，寫出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)：（1）y=x22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y=x2+x44、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，在向下平移2個單位，所得 圖象的解析式是y=x23x+5，試求b、c的值。5、把拋物線y=2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位， 問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸

6、及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，有最大值例題：函數(shù)y=a(xh)2的圖象與性質(zhì)1填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)2 試說明函數(shù)y=(x3)2 的圖象特點及性質(zhì)

7、（開口、對稱軸、頂點坐標(biāo)、增 減性、最值）。3 二次函數(shù)y=a(xh)2的圖象如圖：已知a = ，OAOC，試求該拋物線的解 析式。二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)y=3x26x+5，當(dāng)x1時，y隨x的增大而 ；當(dāng)x 2時,y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2時，y 隨x的增大而減少；則x1時,y的值為 。3. 已知二次函數(shù)y=x2(m+1)x+1，當(dāng)x1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 .4.已知二次函數(shù)y=x2+3x+的圖象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3x1x20,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb -2aCa-b+c 0Dc0

8、； a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ；其中正確的為（ ） ABCD4.當(dāng)bbc，且abc0，則它的圖象可能是圖所示的( ) 6 二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖5所示，那么abc，b24ac， 2ab， abc 四個代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 7.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y= ax2+c與y= (a 0時，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)ykx2+2kx的圖象大致為圖中的（ ） A B C D 二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能?/p>

9、解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式例題：函數(shù)解析式的求法一、已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（0，3）、B（1，3）、C（1，1）三點，求該二 次函數(shù)的解析式。2 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC5，求該二 次函數(shù)的解析式。二、已知拋物線的頂點坐標(biāo)，或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點和

10、拋物線上另一點時，通常設(shè)解析式為頂點式y(tǒng)=a(xh)2+k求解。3已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（1，6），且經(jīng)過點（2，8），求該二 次函數(shù)的解析式。4 已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（1，3），且經(jīng)過點P（2，0）點，求二 次函數(shù)的解析式。三、已知拋物線與軸的交點的坐標(biāo)時，通常設(shè)解析式為交點式y(tǒng)=a(xx1)(xx2)。5二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0），B（3，0），函數(shù)有最小值8，求該二次 函數(shù)的解析式。九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)

11、于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180） 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物

12、線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象

13、的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.例題：二次函數(shù)與x軸、y軸的交點（二次函數(shù)

14、與一元二次方程的關(guān)系）1. 如果二次函數(shù)yx24xc圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c （寫一個即可）2. 二次函數(shù)yx2-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為 3. 拋物線y3x22x1的圖象與x軸交點的個數(shù)是( ) A.沒有交點 B.只有一個交點 C.有兩個交點 D.有三個交點4. 如圖所示，二次函數(shù)yx24x3的圖象交x軸于A、B兩點， 交y 軸于點C， 則ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 已知拋物線y5x2(m1)xm與x軸的兩個交點在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為 ，則m的值為( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 已知拋物線yx2-2x-8，（1

15、）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求ABP的面積。十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對稱是關(guān)鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關(guān)聯(lián)；頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個點，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號最簡便，x軸上數(shù)交點，a、b同號軸左邊拋物線

16、平移a不變，頂點牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。例題：二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟(jì)策略性1.某商店購進(jìn)一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價格X的一次函數(shù).(1)試求y與x的之間的關(guān)系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入總成本）2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價都是每千克20元。（1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（2）該經(jīng)銷