1、3.6 分 離 變 量 法,基本思想:,方 式：,所求場域的邊界面應(yīng)與某一正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。,把待求的位函數(shù)表示為幾個未知函數(shù)的乘積，其中每一個未知函數(shù)僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)。,代入偏微分方程進(jìn)行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個常微分方程。,分別求解這些常微分方程，并利用場域及邊界條件確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。,應(yīng) 用：,求解二維拉普拉斯方程的邊界問題。,如果問題的邊界面與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面吻合，則可采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法。,1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,在直角坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，得,無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程為,兩邊再除以 X(x)Y(y)，得

2、,只與x有關(guān),只與y有關(guān),此常數(shù)寫成 。,式中 k 稱為分離常數(shù)，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。,由上可見，經(jīng)過變量分離后，二維偏微分方程式被簡化為二個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且二個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解也一定具有相同的形式。,要使上式成立，式中每一項(xiàng)都必須為常數(shù)。,當(dāng) k = 0 時，二常微分方程的解為,當(dāng) k 0 時，二常微分方程的解為,雙曲函數(shù),含變量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。,式中 A, B, C, D 為待定常數(shù)。,為滿足給定的邊界條件，分離變量k 通常取一系列特定的值 kn （n

3、=1，2，）。,位函數(shù) 的通解為,若令 代替,，可得另一形式通解,解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。,例 橫截面為矩形的無限長接地金屬導(dǎo)體槽，上部有電位為 的金屬蓋板；導(dǎo)體槽的側(cè)壁與蓋板間有非常小的間隙以保證相互絕緣。試求此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解: 導(dǎo)體槽在 方向?yàn)闊o限長，槽內(nèi)電位滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。,（導(dǎo)體槽內(nèi)D域）,由于槽內(nèi)電位 和 ，則其通解形式為,代入上式，得,為使上式對 在 內(nèi)成立，則,則,代入上式，得,為使上式對 在 內(nèi)成立，則,則,代入上式，得,其中 不能為零，否則 ，故有,得,為使上式對 在 內(nèi)成立

4、，且 則,則,代入上式，得,為確定常數(shù) ，將 在區(qū)間 上按 展開為傅里葉級數(shù)，即,導(dǎo)體槽內(nèi)電位函數(shù)為,導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布情況為,（D域內(nèi)）,例一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。,解：選定直角坐標(biāo)系,例 由四塊沿軸方向放置的金屬板圍成的矩形長槽，四條棱線處有無限小間隙以保證相互絕緣。試求槽內(nèi)空間的電位分布。,解: 設(shè)金屬板沿 方向?yàn)闊o限長，槽內(nèi)空間的電位函數(shù)滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。,（矩形槽內(nèi)）,2. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式為,令其解為,代入上式求得,上式中第二項(xiàng)僅為

5、變量 的函數(shù)，而第一項(xiàng)與 無關(guān)，因此二項(xiàng)均應(yīng)為常數(shù)，令,具有圓柱面邊界的問題，可采用圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法求解。,即,式中k為分離常數(shù),通常變量 的變化范圍為 ，那么位函數(shù)隨 的變化一定是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此分離常數(shù) k 一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為2。即 且 ，則通解為,圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：,3. 球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，得,與前同理， 的解應(yīng)為,具有球面邊界的問題，可采用球坐標(biāo)系中的分離變量法求解。,可見，上式中第一項(xiàng)僅為 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)與 r 無關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令,式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為,將此結(jié)果代入上式，得,令 ，則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù) 與第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里 m n 。,當(dāng) n 是整數(shù)時， 及 為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。因此，要求 n 為整數(shù)。,根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng) 時， 。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括 或 時， ，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令,那么，電位微分方程的通解通常取為下列線