1、1、晶體結構與空間點陣 2、晶向、晶面及指標 3、晶面間距 4、晶面族 5、倒易點陣,第二章 晶體學基礎,燕山大學材料科學與工程學院 材料現(xiàn)代分析測試方法課程教學團隊 王利民教授/博導,通過本章學習，掌握表達晶體周期性結構與它的點陣的各種概念；掌握晶面指數(shù)與晶向指數(shù)的標定，晶面間距與晶面夾角的表達；倒易點陣。, 晶體結構周期性與點陣。 7個晶系和14種Bravias空間格子。 晶胞，晶帶，晶向，晶面，晶面間距，晶面夾角。 (4) 倒易點陣,學時- 2學時,2.1.1 空間點陣（Space Lattice）,晶體結構的幾何特征是其結構基元（原子、離子、分子或其它原子集團）一定周期性的排列。通常將

2、結構基元看成一個相應的幾何點，而不考慮實際物質內容。 這樣就可以將晶體結構抽象成一組無限多個作周期性排列的幾何點。這種從晶體結構抽象出來的，描述結構基元空間分布周期性的幾何點，稱為晶體的空間點陣。幾何點為陣點。,2.1、晶體結構與空間點陣,點陣點是代表結構基元在空間重復排列方式的抽象的點。如果在晶體點陣中各點陣點位置上，按同一種方式安置結構基元，就得整個晶體的結構。 所以可簡單地將晶體結構示意表示為：,晶體結構 = 點陣 + 結構基元,結構基元,在晶體的點陣結構中每個陣點所代表的具體內容，包括原子或分子的種類和數(shù)量及其在空間按一定方式排列的結構，稱為晶體的結構基元。結構基元是指重復周期中的具體

3、內容。,點陣點,2.1.2 基本矢量與晶胞,一個結點在空間三個方向上，以a, b, c重復出現(xiàn)即可建立空間點陣。重復周期的矢量a, b, c稱為點陣的基本矢量。 由基本矢量構成的平行六面體稱為點陣的單位晶胞。,同一個點陣可以由不同的平行六面體晶胞疊成。即可以任意選擇不同的坐標系與基本矢量來表示。 為了表達最簡單，應該選擇最理想、最適當?shù)幕臼噶孔鳛樽鴺讼到y(tǒng)。即是以結點作為坐標原點，（1）選取基本矢量長度相等的數(shù)目最多、（2）其夾角為直角的數(shù)目最多，且（3）晶胞體積最小。這樣的基本矢量構成的晶胞稱為布拉菲（BRAVAIS）晶胞。,布拉菲晶胞,每一個點陣只有一個最理想的晶胞即布拉菲晶胞。,2.1.

4、3 布拉菲點陣,法國晶體學家A. Bravais研究表明，按照上述三原則選取的晶胞只有14種，稱為14種布拉菲點陣。 14種布拉菲點陣分屬7個晶系中。,14種空間點陣形式,按晶胞中陣點位置的不同可將14種布拉菲點陣分為四類： 簡單(P) 體心(I) 面心(F) 底心(C),陣點坐標的表示方法：以晶胞的任意頂點為坐標原點，以與原點相交的三個棱邊為坐標軸，分別用點陣周期（a, b, c）為度量單位。,晶胞中的原子計數(shù),在晶胞不同位置的原子由不同數(shù)目的晶胞分享： 頂角原子： 1/8 棱上原子：1/4 面上原子：1/2 晶胞內部： 1,簡單點陣 （P）,只在晶胞的頂點上有陣點，每個晶胞只有一個陣點，陣

5、點坐標為000,體心點陣，I 除8個頂點外，體心上還有一個陣點，因此，每個陣胞含有兩個陣點，000，1/2 1/2 1/2,面心點陣。F 除8個頂點外，每個面心上有一個陣點，每個陣胞上有4個陣點，其坐標分別為000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2,底心點陣，C 除八個頂點上有陣點外，兩個相對的面心上有陣點，面心上的陣點為兩個相鄰的平行六面體所共有。因此，每個陣胞占有兩個陣點。陣點坐標為000，1/2 1/2 0,2.1.4 點陣常數(shù),平行六面體的三個棱長a、b、c和及其夾角、，可決定平行六面體尺寸和形狀，這六個量亦稱為點陣常數(shù)。,按點陣參數(shù)可將晶體點陣分為七個晶

6、系。,七個晶系及有關特征,七個晶系及有關特征,2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指標,2.2.1 晶向與晶向指標 任意兩結點的結點列稱為晶向。與此晶向相對應，一定有一組相互平行而且具有同一重復周期的結點列。,晶體學中陣點平面與陣點直線的空間取向分別用晶面指數(shù)與晶向指數(shù)來表示。,或者：（1）在一族相互平行的陣點直線中引出過坐標原點的陣點直線。 （2）在該直線上任取一點，量出坐標，并用點陣周期a, b, c表示。 （3）將三個坐標值用同一個數(shù)乘或除，劃歸互質整數(shù)，并加方括號。,晶向的表示方法： 取其中通過原點的一根結點列，求該列最近原點的結點的指數(shù)，u, v, w, 并用方括號標記uvw。,晶向指數(shù)的

7、確定,建立坐標系，結點為原點，三棱為方向，點陣常數(shù)為單位 ； 在晶向上任兩點的坐標(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若平移晶向或坐標，讓在第一點在原點則下一步更簡單)； 計算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 化成最小、整數(shù)比u：v：w ； 放在方括號uvw中，不加逗號，負號記在上方 。,紅線由兩個結點的坐標之差確定,在點陣中由結點構成的平面稱為晶面。 空間點陣劃分為平面點陣的方式是多種多樣的. 不同的劃法劃出的晶面(點陣面)的陣點密度是不相同的. 意味著不同面上的作用力不相同. 所以給不同面以相應的指標(hkl)。,2.2.2 晶面及晶面指標,國際上通用的是密勒（Mi

8、ller）指數(shù)，即用三個數(shù)字來表示晶面指數(shù)。,標定方法： (1)在一組相互平行的晶面中任選一個晶面，量出它在三個坐標軸上的截距，并用點陣周期a，b，c來度量。假設截距為r，s，t。 (2)取截距的倒數(shù) 1/r，1/s，1/t。 (3)將這些倒數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，把他們化為三個簡單整數(shù)h，k，l， ，并用圓括號括起來。使hkl = 1/r1/s1/t。 則(h k l)就是待標晶面的晶面指數(shù)。,我們說（553）晶面，實際是指一組平行的晶面。,習 題,（1）截距r、s、t分別為3，3，5,（2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5,（3）最小公倍數(shù)15，,（4）于

9、是，1/r，1/s，1/t分別乘15得到5，5，3，,因此，晶面指標為（553）。,1，所有相互平行的晶面，其晶面指數(shù)相同，或者三個符號均相反?？梢姡嬷笖?shù)所代表的不僅是某一晶面，而且代表著一組相互平行的晶面。 2，晶面指數(shù)中h、k、l是互質的整數(shù)。 3，最靠近原點的晶面與X、Y、Z坐標軸的截距為 a/h、b/k、c/l。,晶面指數(shù)特征：,即與原點位置無關；每一指數(shù)對應一組平行的晶面。,立方晶系幾組晶面及其晶面指標。 （100）晶面表示晶面與a軸相截與b軸、c軸平行； （110）晶面表示與a和b軸相截，與c軸平行； （111）晶面則與a、b、c軸相截，截距之比為1:1:1,(100) (11

10、0) (111) 在點陣中的取向,思考題,晶體的晶面指數(shù)的個數(shù)有上限嗎？例如（111，100，1）這樣的晶面有嗎？,理論上講，晶面指數(shù)的個數(shù)是無限的，只要能找到極端復雜的晶胞。但對實際的一個晶體，晶面的數(shù)目是一定的。,如果取a1、a2、和c為晶軸，按上述三軸定向的方法確定面指數(shù)，六個柱面的面指數(shù)為：（100）、（010）、（1(-)10）、（1(-)00）、（01(-)0）、（11(-)0）。但是，這種方法所確定的晶面指數(shù)不能顯示出六次對稱及等同面的特征。因此，對六方晶系往往采用四軸定向方法，稱為密勒-布拉菲指數(shù)。 選取四個坐標軸，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之間的夾角為120，c軸與

11、這個平面垂直。這樣求出的晶面指數(shù)由四個數(shù)字組成，用（hkil）表示。其中前三個數(shù)字存在如下關系： h+k=-i 用四軸定向方法求出的六個柱面的晶面指數(shù)為：（101(-)0）、（011(-)0）、（1(-)100）、（1(-)010）、（01(-)10）、（11(-)00）。,六方體系的晶面指數(shù),這樣的晶面指數(shù)可以明顯地顯示出六方對稱及等同晶面的特征。,六方晶系的晶面和晶向指數(shù)表示方法與其它晶系不同。,六方晶系中如果用三軸定向表示晶向指數(shù)用UVW，四軸定向的晶向指數(shù)用uvtw來表示。三軸和四軸晶向指數(shù)之間的關系：,六方體系的晶向指數(shù),它與晶胞參數(shù)和晶面指標有關。,一組平行晶面（hkl）中兩個相鄰

12、平面間的垂直距離稱為晶面間距，用dhkl表示。,2.3、晶面間距d (hkl),晶面與晶面間距是晶體X射線衍射結構分析中所圍繞的內容。,立方晶系,六方晶系,面間距 dhkl 與晶胞點陣參數(shù)之間的關系,（hkl）代表一組相互平行的晶面, 任意兩個相鄰的晶面的面間距都相等。,對正交晶系,5-1,5-2,5-3,晶面指標越高, 面間距越小, 晶面上粒子的密度（或陣點的密度）也越小. 只有（h*k*l*）小, dh*k*l*大, 即陣點密度大的晶面（粒子間距離近, 作用能大, 穩(wěn)定）才能被保留下來.,習 題,金屬鎳立方晶胞中（111）晶面的晶面間距d111為2.035，求其（220）晶面間距d220。

13、,2.4 晶面族,晶面族：在同一晶體點陣中，有若干組晶面是可以通過一定的對稱變化重復出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間距與晶面上結點分布完全相同。這些空間位向性質完全相同的晶面的集合，稱為晶面族,表示方法：用hkl表示。,例如：立方晶系中100晶面族包括六個晶面 （100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1） 注意，在其他晶系中，通過數(shù)字位置互換而得到的晶面不一定屬于同一晶面族，例如，正方晶系中a=bc，因此，100晶面族分為兩組，一個包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一個包含（001）（00-1）兩個晶面。,思考：為什么要強調晶面族的概念？與衍射分

14、析有什么關系？,2.5、倒易點陣 （教學難點）,2.5.1 為什么要引入倒易點陣概念, 天下本無事，庸人自擾之？, 非常有用,1、考試要考；考研更要考,2、能簡化（1）晶面與晶面指數(shù)表達；（2）衍射原理的表達；（3）與實驗測量結果直接關聯(lián)，尤其是電子衍射部分。,倒易點陣是在晶體點陣的基礎上按一定對應關系建立起來的空間幾何圖形，是晶體點陣的另一種表達形式。為了區(qū)別有時把晶體點陣空間稱為正空間。倒易空間中的結點稱為倒易點。,2.5.2 倒易點陣的概念、表達形式,1、倒易點陣的定義 （倒易點陣與正點陣的轉換關系）,倒易點陣參數(shù)： a* 、b*、 c*； *、*、*,其中，a 、b、 c；、為正點陣參

15、數(shù),因此，倒易點陣的基本矢量垂直于正點陣中異名矢量構成的平面。a*垂直于b與c兩個矢量構成的平面。同樣b*（或c*）垂直于a與c（a與b）兩個矢量構成的平面。,如果*=*=*=90o，,或者，a*垂直（100）晶面； b*垂直（010）晶面； c*垂直（001）晶面。,（1）,（2）,倒易點陣參數(shù)的方向與大小,倒易點陣是晶體結構周期性在傅立葉空間中的數(shù)學抽象。如果把晶體點陣本身理解為周期函數(shù)，則倒易點陣就是晶體點陣的傅立葉變換，反之晶體點陣就是倒易點陣的傅立葉逆變換。 所以，倒易點陣只是晶體點陣在不同空間(波矢空間)的反映。,2、倒易點陣的本質,2.5.3 倒易矢量,1、定義： 從倒易點陣原點

16、向任一倒易陣點所連接的矢量叫倒易矢量，表示為： r* = ha* + kb* + lc*,倒易陣點用它所代表的晶面指數(shù)標定。,倒易點陣,正點陣,立方正空間點陣的倒易變換,2、倒易矢量的兩個基本性質,（1） 倒易矢量的方向垂直于正點陣中的（hkl）晶面。,（2）倒易矢量的長度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)。,如果正點陣與倒易點陣具有同一坐標原點，則正點陣中的一個晶面在倒易點陣中就變成了一個陣點（倒易點）。正點陣中晶面取向和面間距只須倒易矢量一個參量就能表示。,從倒易矢量的定義,OM垂直于晶面，交點為M，于是有：,證明2：倒易矢量的長度等于（hkl）晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)。,因為

17、性質一成立，則有倒易矢量垂直于ABC面，即倒易矢量在OM方向上， 這樣可以通過有倒易矢量給出單位矢量。,為OM方向上的單位矢量,3、用倒易矢量推導晶面間距和晶面夾角的計算公式,晶面間距計算公式 晶面夾角計算公式,晶面間距計算公式：,已知r* = ha* + kb* + l c*，則 :,立方晶系,晶面夾角計算公式,已知 r1* = h1a* + k1b* + l1 c* r2* = h2a* + k2b* + l2 c* 則,晶面夾角可以用晶面法線間的夾角來表示。 因此，兩個晶面（h1klll）（h2k2l2）間的夾角可以用它們所對應的倒易矢量r1* 與r2*間的夾角來表示。,對于立方體系：,同樣需要三個基本矢量之間的夾角,習題,1，在