1、文數 課標版,第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程,1.直線的傾斜角 (1)定義:當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l 向上方向 之間所成的角叫做直線l的傾斜角,當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它 的傾斜角為0. (2)范圍:直線l傾斜角的范圍是0,).,教材研讀,2.斜率公式 (1)若直線l的傾斜角90,則斜率k=tan . (2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k=.,3.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1、l2,若其斜率分別為k1、k2,則有l(wèi)1l2 k1=k2.特別地,當直線l1、l2不重合

2、且斜率都不存在時,l1與l2 平行. (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1、l2的斜率都存在,設為k1、k2,則有l(wèi)1l2k1k2=-1.當一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在時,兩條直線互相 垂直.,4.直線方程的五種形式,判斷下列結論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“”),(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率.() (2)直線的斜率越大,其傾斜角就越大.() (3)直線的斜率為tan ,則其傾斜角為.() (4)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等.() (5)經過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示.() (6)+=1表示所有不經過原點的直線.() (7)經過任意

3、兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.() (8)若直線l1l2,則其斜率k1=k2.() (9)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于-1.() (10)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2,為常數),若直線l1l2,則A1A2+B1B2=0.(),1.若直線x=2的傾斜角為,則() A.等于0B.等于C.等于D.不存在 答案C因為直線x=2垂直于x軸,所以傾斜角為.,2.直線x-y+a=0的傾斜角為() A.30B.6

4、0C.150D.120 答案B設直線的傾斜角為,則tan =, 0,),=.,3.過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為() A.1B.4C.1或3D.1或4 答案A由題意知=1(m-2),解得m=1.,4.如果AC0,-0, -0, 直線Ax+By+C=0經過第一、二、四象限,故選C.,5.過兩點A(0,1),B(-2,3)的直線方程為. 答案x+y-1=0 解析由兩點式可得直線方程為=,整理得x+y-1=0.,考點一直線的傾斜角與斜率 典例1(1)直線xsin +y+2=0的傾斜角的范圍是() A.0,)B. C.D. (2)直線l過點P(1,0),且與以A(2,1

5、),B(0,)為端點的線段有公共點,則直 線l的斜率的取值范圍為. 答案(1)B(2)(-,-1,+) 解析(1)設直線的傾斜角為,則有tan =-sin ,又sin -1,1,0,), 所以0或. (2)如圖,kAP=1,考點突破,kBP=-, 直線l的斜率k(-,-1,+).,易錯警示 由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由直線斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時,常借助正切函數y=tan x在和上的 單調性求解.應注意任何直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率.當傾斜角為時,直線斜率不存在.,變式1-1若將本例(2)中的條件“P(1,0)”改為“P(-1,0)”,則直線l斜率的取值范圍

6、是什么? 解析P(-1,0),A(2,1),B(0,), kAP=,kBP=. 如圖,可知直線l斜率的取值范圍為.,變式1-2若將本例(2)中的條件“P(1,0)”改為“P(0,1)”,則直線l斜率的取值范圍是什么?傾斜角的取值范圍是什么? 解析P(0,1),A(2,1),B(0,), kAP=0,直線BP的斜率不存在. 如圖,可知直線l斜率的取值范圍為0,+),傾斜角的取值范圍為.,變式1-3在本例(2)的條件下,若互換A,P兩點的坐標,即P(2,1),A(1,0),試求直線l斜率的取值范圍. 解析P(2,1),A(1,0),B(0,), kPA=1, kPB=. 如圖所示,直線l的斜率的取

7、值范圍為.,考點二兩條直線的平行與垂直 典例2已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)當l1l2時,求a的值; (2)當l1l2時,求a的值. 解析(1)解法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 當a=0時,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 當a1且a0時,兩直線方程可化為 l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), 由l1l2可得解得a=-1.,綜上可知,a=-1. 解法二:由l1l2知 即 a=-1. (2)解法一:當a=1時,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直

8、,故a=1不符合; 當a1時,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), 由l1l2得=-1a=. 解法二:l1l2, A1A2+B1B2=0,即a+2(a-1)=0,得a=.,方法技巧 兩直線平行或垂直的判定方法 (1)已知兩直線的斜率存在 兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不相等; 兩直線垂直兩直線的斜率之積為-1. (2)已知兩直線的斜率不存在 若兩直線的斜率不存在,當兩直線在x軸上的截距不相等時,兩直線平行;否則兩直線重合. (3)已知兩直線的一般方程 設直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C

9、10;l1l2A1A2+B1B2=0.該方法可避免對斜率是否存在進行討論.,2-1若直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,則實數m的值為() A.-1B.0C.1D.2 答案C直線l1:mx-y-2=0與直線l2:(2-m)x-y+1=0互相平行, 解得m=1.故選C.,2-2已知直線l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1l2,則a= () A.2或B.或-1 C. D.-1 答案B因為直線l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1l2, 所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0

10、, 解得a=或a=-1.故選B.,考點三求直線方程 典例3(1)求過點A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的的直線方程; (2)求經過點A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程; (3)求過A(2,1),B(m,3)兩點的直線l的方程. 解析(1)設所求直線的斜率為k,依題意k=-4=-.又直線經過點A(1, 3),因此所求直線方程為y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0. (2)當直線不過原點時,設所求直線方程為+=1(a0),將(-5,2)代入所 設方程, 解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0; 當直線過原點時,設所求直線方程為y=kx, 則-5k=

11、2,解得k=-,所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0. 故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0. (3)當m=2時,直線l的方程為x=2; 當m2時,直線l的方程為=, 即2x-(m-2)y+m-6=0. 將m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2, 所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.,易錯警示 (1)在求直線方程時,應選擇適當的形式,并注意各種形式的適用條件. (2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應判斷截距是否為零).,3-1根據所給條件求直線的方程: (1)直線過點(-

12、4,0),傾斜角的正弦值為; (2)直線過點(-3,4),且在兩坐標軸上的截距之和為12; (3)直線過點(5,10),且原點到該直線的距離為5. 解析(1)由題設知,該直線的斜率存在,故可采用點斜式. 設傾斜角為,則sin =(0). 從而cos =,則斜率k=tan =. 故所求直線方程為y=(x+4), 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.,(2)由題設知截距不為0,設直線方程為+=1, 又直線過點(-3,4),所以+=1,解得a=-4或a=9. 故所求直線方程為4x-y+16=0或x+3y-9=0. (3)當斜率不存在時,所求直線方程為x-5=0. 當斜率存在時,設斜率為k,則所求直

13、線方程為y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0. =5,解得k=. 所求直線方程為3x-4y+25=0. 綜上,所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.,考點四直線方程的綜合問題 典例4過點P(4,1)作直線l分別交x,y軸正半軸于A,B兩點. (1)當AOB面積最小時,求直線l的方程; (2)當|OA|+|OB|取最小值時,求直線l的方程. 解析設直線l:+=1(a0,b0), 因為直線l經過點P(4,1), 所以+=1. (1)+=12=, 所以ab16,當且僅當a=8,b=2時等號成立, 所以當a=8,b=2時,AOB的面積最小,此時直線l的方程為+=1,即x+4y-

14、8=0. (2)因為+=1,a0,b0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+9, 當且僅當a=6,b=3時等號成立, 所以當|OA|+|OB|取最小值時,直線l的方程為x+2y-6=0.,1.給定條件求直線方程的思路 (1)考慮問題的特殊情況,如斜率不存在的情況,截距等于零的情況. (2)在一般情況下準確選定直線方程的形式,用待定系數法求出直線方程. (3)重視直線方程一般形式的應用,因為它具有廣泛的適用性.,方法技巧,2.與直線有關的最值問題的解題思路 (1)借助直線方程,用y表示x(或用x表示y). (2)將問題轉化成關于x(或y)的函數. (3)利用函數的單調性或基本不等式求最值.,4-1已知直線l:k