1、第三章 多維隨機變量及其概率分布,3.1 多維隨機變量及其聯(lián)合概率分布,第三章作業(yè)題,P158 1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40,有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述不夠，例如,1、 在打靶時,命中點的位置是由一對r.v(兩個坐標)來確定的.,2、 飛機的重心在空中的位置是由三個r.v (三個坐標）來確定的等等.,3、研究某年齡段兒童的身體發(fā)育情況，同時考慮身高、體重、肺活量、血壓等指標,4、研究某日的天氣狀況，同時考慮最高溫度、最大濕度、最大風力等指標。,設(shè)隨機試驗E的樣本空間是. =()和=()都是定義在上的隨機變量,由它們構(gòu)成的

2、變量(,),稱為二維隨機變量. 二維隨機變量(,)的性質(zhì)不僅與 及 的性質(zhì)有關(guān),而且還依賴于 和的相互關(guān)系,因此必須把(,)作為一個整體加以研究.,一、多維隨機變量的概念,定義：設(shè)（ ,）是二維隨機變量，對于任意實數(shù) ,二元函數(shù)： 稱為二維隨機變量（ ,）的聯(lián)合分布函數(shù)。,二、二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),二維隨機變量（,）, 和的聯(lián)合分布函數(shù),如果把(,)看成平面上隨機點的坐標. 取定x,y R1， F(x,y)就是點(,)落在平面上的以(x,y) 為頂點而位于該點左下方的無限矩形區(qū)域內(nèi)的概率. 見右圖.,由上面的幾何解釋,易見: 隨機點(,)落在矩形區(qū)域: x 1 x 2, y1y2 內(nèi)的概

3、率,Px 1 x 2 ,y1y2 =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1),說明,二維分布函數(shù)F(x ,y)的四條基本性質(zhì) 1. F(x ,y)是單變量x ,y的非減函數(shù). 即 yR1取定,當x 1x 2時, F(x 1, y)F(x 2, y). 同樣, x R1取定,當y1 y2時, F(x , y1)F(x , y2).,2. x , y R1 有 0F(x , y)1,yR1, F(-,y)=0， xR1, F(x,-)=0， F(-,-)=0， F(,)=1,其中:,3、F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0)

4、 即F(x ,y)關(guān)于x 右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)。 4、Px 1 x 2 ,y1y2 =F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)0,3.2二維離散型隨機變量及其聯(lián)合概率分布列,如果二維隨機變量(,)的每個分量都是離散型隨機變量,則稱(,)是二維離散型隨機變量. 二維離散型隨機變量(,)所有可能取的值也是有限個或可列無窮個.,一、聯(lián)合分布列,聯(lián)合分布列也可以用表格表示.,1、多維超幾何分布,設(shè)某總體共有N個元素，其中有Ni個元素具有特征Ai, 1ik,現(xiàn)從中隨機取出n個元素，求其中有mi個具有特征Ai的概率,用i表示n個元素中具有特征Ai的個數(shù),二、常見多

5、維分布,2、多項分布-二項分布的推廣,設(shè)每次試驗共有k種不同的可能結(jié)果,將該實驗獨立地重復n次，用 1, 2, k表示 發(fā)生的次數(shù)，則( 1, 2, k)服從多項分布，其聯(lián)合分布列為,例：設(shè)隨機變量 在1，2，3，4四個數(shù)中等可能地取一個值，另一個隨機變量在1 中等可能地取一個整數(shù)值，試求（，）的聯(lián)合分布列。并計算P( ),例,設(shè)有10件產(chǎn)品,其中7件正品,3件次品. 現(xiàn)從中任取兩次,每次取一件產(chǎn)品,取后不放回.令: =1： 若第一次取到的產(chǎn)品是次品. =0： 若第一次取到的產(chǎn)品是正品. =1： 若第二次取到的產(chǎn)品是次品. =0： 若第二次取到的產(chǎn)品是正品. 求: 二維隨機變量( ,)的聯(lián)合分

6、布列.,例、設(shè) E(),令,求(1,2)的聯(lián)合分布列,一、二維聯(lián)合概率密度函數(shù),設(shè)二維隨機變量( ,)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y).如果存在一個非負函數(shù)p(x ,y),使得對任意實數(shù)x ,y,總有,則稱( ,)為連續(xù)型隨機變量,p(x ,y)為二維隨機變量的聯(lián)合概率密度.,3.3二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度函數(shù),（ ,）,對二維連續(xù)型r.v( ,)，其聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系如下：,在 p (x ,y)的連續(xù)點,例：設(shè)二維隨機變量( ,)具有概率密度：,（1）求概率P( 1); (2) 求概率,P( );,二、 兩種常用的多維連續(xù)型概率分布,定義,設(shè)D是平面上的有界區(qū)域,其面積為

7、d,若二維隨機變量( ,)的聯(lián)合密度函數(shù)為:,則( ,)稱 服從D上的均勻分布.,1、二維均勻分布,解:,例,設(shè)(,)服從圓域 x2+y24上的均勻分布. 計算P(,)A, 這里A是圖中陰影部分的區(qū)域,圓域x2+y24的面積d=4 區(qū)域A是x=0,y=0和x+y=1三條直線所圍成的三角區(qū)域,并且包含在圓域x2+y24之內(nèi),面積=0.5 P(,)A=0.5/4=1/8,若二維隨機變量（,）具有概率密度,記作（ ,）N( ),2、 二維正態(tài)分布,1、n維隨機變量或n為隨機變量：,E是一個隨機試驗，它的樣本空間是=e,設(shè),是定義在上的隨機變量，由它們構(gòu)成一個n維 變量，叫做n維隨機變量或n為隨機變量

8、,2、隨機變量的分布函數(shù)或聯(lián)合分布函數(shù)：,3.4 邊際分布與 隨機變量的獨立性,一、 邊際分布,二維隨機變量(,)作為一個整體,具有分布函數(shù)F(x,y). 其分量和也都是隨機變量,也有自己的分布函數(shù),將其分別記為F (x ),F(y). 依次稱為 和的 邊際分布函數(shù). 而把F(x,y)稱為 和的 聯(lián)合分布函數(shù).,1、隨機變量的邊際分布函數(shù),F (x )=Px =Px ,=F(x ,) F(y)=Py=P ,y=F(,y),和的邊際分布函數(shù),本質(zhì)上就是一維隨機變量和的分布函數(shù).之所以稱其為邊際分布是相對于(,)的聯(lián)合分布而言的. 同樣地,聯(lián)合分布函數(shù)F(,)就是二維隨機變量(,)的分布函數(shù),之所

9、以稱其為聯(lián)合分布是相對于其分量 或的分布而言的.,注意,求法,例: 設(shè)( ,)的聯(lián)合分布函數(shù)為 求關(guān)于 和的邊際分布函數(shù) (0).,一般，對離散型 r.v ( , )，,則( ,)關(guān)于 的邊際分布列為,( ,)關(guān)于 的邊際分布列為, 和 的聯(lián)合分布列為,2、 二維離散型隨機變量的邊際分布列,例 1,求表中( ,)的分量 和的邊際分布.,把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上:,3、二維連續(xù)隨機變量的邊際密度函數(shù), 和的聯(lián)合概率密度為,則( , )關(guān)于 的邊際密度函數(shù)為,( , )關(guān)于的邊際密度函數(shù)為,例 設(shè)隨機變量 和具有聯(lián)合概率密度,求邊際概率密度,課堂練習 設(shè)二維隨機變量 (, ) 的密度函數(shù)為,求：1

10、、邊緣密度函數(shù) 2、計算概率P+1.,例、設(shè)( ,)的聯(lián)合密度函數(shù)為,求（1）邊際密度函數(shù),（2）,例,若( ,)服從矩形區(qū)域axb.cyd 上均勻分布,兩個邊際概率密度分別為:,注 上題中和都是服從均勻分布的隨機變量.但對于其它(不是矩形)區(qū)域上的均勻分布,不一定有上述結(jié)論.,例,設(shè)(,)服從單位圓域x2+y21 上的均勻分布,求: 和的邊際概率密度.,解:,當x1時,當-1x1時,（注意積分限的確定方法）,由和在問題中地位的對稱性,將上式中的改為,就得到的邊際概率密度:,（ ,）N( ), N(0,1) , N(0,1),說明,對于確定的1,2,1,2 ,當不同時，對應了不同的二維正態(tài)分布

11、。,對這個現(xiàn)象的解釋是:邊際概率密度只考慮了單個分量的情況,而未涉及與之間的關(guān)系.,( 1 ,2)N(1,2, ,) 1 2 (與參數(shù)無關(guān)),與之間的關(guān)系這個信息是包含在( ,)的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的. 因此,聯(lián)合,邊際,？,二、隨機變量的獨立性,離散型（定理1）：,連續(xù)型（定理2）：,例: 袋中有2個白球，3個黑球，從袋中（1）有放回地；（2）無放回地 取二次球，每次取一個，令 試問 與是否相互獨立？,解:(1)有放回地取球,容易驗證，對一切 i, j=0,1， 有P =i,=j=P =iP=j 故 、 相互獨立。,(2) 無放回地取球,P =0,=0P =0P=0 故 、 不相互獨立。,

12、例 設(shè)( ,)具有概率密度,解:p (x )=, p(x ,y)=p (x ) p(y), 因而 ,是相互獨立的。,p(y)=,問 ,是否相互獨立?,解：二維正態(tài)隨機變量（, ）概率密度為,其邊緣密度分別為,“充分性”:當,故與相互獨立。,“必要性”: 如果，獨立，于是應有,即為,解得,n 維 r.v.,1. 聯(lián)合分布函數(shù),若連續(xù),2. 邊際分布,相互獨立,例 設(shè)( ,)的概率密度是,求 (1) c的值,（2）判斷和是否相互獨立,課堂練習,c =24/5,3.5 多維隨機變量函數(shù)的概率分布,在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論:,我們先討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布問

13、題，然后將其推廣到多個隨機變量的情形.,當隨機變量 1, 2, , n的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) i=gi( 1, 2, , n), i=1,2,m 的聯(lián)合分布?,例 、設(shè)( ,)的聯(lián)合分布列為,求，1=, 2=min( ,)的分布列,一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布,例 若 、 獨立，P( =k)=ak , k=0,1,2, P(=k)=bk , k=0,1,2, ,求= +的分布列.,解:,=a0br+a1br-1+arb0,由獨立 性,此即離散型 卷積公式,r=0,1,2, ,解：依題意,由卷積公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷積公式,即服從參數(shù)為 的泊松分布.,r =

14、0,1，,1)確定=g(,)的值域； 2)分段計算 的分布函數(shù),連續(xù)型：分布函數(shù)法,3),二、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布,變量變換法 （詳見下一節(jié)）,1、M=max ( ,)及N=min( ,)的分布,設(shè) ，是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為F (x )和F(y),我們來求M=max ( ,)及N=min( ,)的分布函數(shù).,三、次序統(tǒng)計量及其概率分布,又由于 和 相互獨立,于是得到M=max ( ,)的分布函數(shù)為:,即有 FM(z)= F (z)F(z),FM(z)=P(Mz),=P( z)P(z),=P( z,z),由于M=max ( ,)不大于z等價于 和都不大于z，故有,

15、分析：,P(Mz)=P( z,z),類似地，可得N=min( ,)的分布函數(shù)是,下面進行推廣,即有 FN(z)= 1-1-F (z)1-F(z),=1-P( z,z),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P( z)P(z),設(shè) 1, n是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為,我們來求 M=max ( 1, n)和N=min( 1, n)的分布函數(shù).,(i =1，, n),用與二維時完全類似的方法，可得,N=min( 1, n)的分布函數(shù)是,M=max ( 1, n)的分布函數(shù)為:,特別，當 1, n相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x )以及密度函數(shù)p(x)，有 (P143,

16、定理5),FM(z)=F(z) n; pM(z)=n F(z) n-1p(z); FN(z)=1-1-F(z) n pN(z)=n 1-F(z) n-1p(z);,需要指出的是，當 1, n相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x )時, 常稱,M=max ( 1, n)，N=min( 1, n),為極值 .,由于一些災害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值.,如圖所示.設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1 ,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為: (1)串聯(lián). (2)并聯(lián).,例,解:,設(shè)L1,L2的壽命分別為 ，.其概率密度函數(shù)分別為:,其中 0,0,且. 分別對以上

17、兩種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度函數(shù).,先求 ,的分布函數(shù):,(1)串聯(lián). Z=min , FZ(z)=1-1-F (z)1-F(z),(2)并聯(lián). Z=Max , FZ(z)=F (z)F(z),3.6 多維連續(xù)型隨機變量變換的概率分布,一、變量變換的雅可比方法,要求有3個,1、 有唯一反函數(shù),2、有連續(xù)偏導數(shù),3、雅克比行列式,則,例、設(shè) 和獨立同分布，都服從N(,2),求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v),增補變量法,可增補一個變量2 = g2(X, Y) ，,若要求 1 = g1(X, Y) 的密度 p1(y1) ，,先用變量變換法求出 (1, 2)的聯(lián)合密度p (y1, y2)

18、，,然后再由聯(lián)合密度p (y1, y2)，去求出邊際密度p1(y1),用此方法可以求出卷積公式、差的公式、積的公式、商的公式,設(shè) 和的聯(lián)合密度為 p (x ,y), 求Z= +的密度.,解: Z= +的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P( + z),這里積分區(qū)域D=(,): + z 是直線 + =z 左下方的半平面.,例如、兩個隨機變量和的分布 （方法一）,化成累次積分,得,固定z和,對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令x =u-y,得,變量代換,交換積分次序,由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z= +的概率密度為:,由 和的對稱性, pZ (z)又可寫成,以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.,特別，當 和獨立，設(shè)( ,)關(guān)于 ,的邊際密度分別為px ( ) , py() , 則上述兩式化為:,這兩個公式稱為卷積公式 .記為：,兩個隨機變量和的分布 （方法二） 變量變換方法：,例，設(shè) ,是兩個相