1、第四節(jié) 逆矩陣及伴隨矩陣,1 逆矩陣（P110，定義2.9）,一 基本概念,1.互逆矩陣可換，是同階方陣。,即：若 成立，則 也成立。,2.逆矩陣唯一。,3.零矩陣不可逆；單位矩陣與其自身互為逆陣。,4.,注：,2 奇異矩陣：,【P111，例2】,【P111，例3】,【例】,1,3 伴隨矩陣,二 逆矩陣存在定理,1.矩陣 可逆的充要條件是,2.若A可逆，則,【P114，例4】,【P115，例5】,【P117，例6】,2,三 轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣的運算性質(zhì),【例】,3,使得 呢?,使得,即,對于任意非零的數(shù) ，如果存在另一個數(shù) ，,倒數(shù)：,則說 是 的倒數(shù).,一、逆矩陣產(chǎn)生的背景,矩陣:,

2、運算中的 1 ，,矩陣 ，,在矩陣的運算中，,單位陣 相當(dāng)于數(shù)的乘法,那么，對于矩陣，是否存在另一個,4,1、逆矩陣的概念,例如 設(shè),使得,則說矩陣 是可逆的，,并把矩陣 稱為 的一個,逆矩陣，,記作,對于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 ，,定義2.4.1,5,6,事實上，若設(shè) 和 都是 的逆矩陣，,則有,可得,所以 的逆矩陣是唯一的。,7,2 奇異矩陣與非奇異矩陣,設(shè),是奇異矩陣,是非奇異矩陣,8,定義2,設(shè) 為 階方陣， 的行列式 的元素 的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣稱為矩陣 的伴隨矩陣。,即,記為,3 伴隨矩陣,9,解：,【P114，例4】,求 的伴隨矩陣。,10,逆矩陣的存在定理

3、：,證明：,若 可逆，,矩陣 可逆的充要條件是,且當(dāng)A可逆時,11,12,按逆矩陣的定義得,牢記：,記住了嗎？,13,若 可逆，則,證明：,14,若 可逆，則 也可逆，,且,證明：,15,若 、 是同階可逆陣，則 也可逆，,且,證明：,特別有：,（反序定律）,16,證明：,求證,回顧,17,求證,證明：,18,求證,證明,19,20,若 可逆，則 也可逆，,且,證明：,求證,21,求證,證明,22,求證,證明,原命題得證,23,【P111，例2】,證明矩陣,證明：,的逆矩陣為,故，原命題得證,24,【P111，例3】,，求證A可逆，并求其逆矩陣.,證明：,故，A可逆，且,25,【例】,可逆，并求它們的逆矩陣.,由,證明,26,由,還可以得到,但是，等式右端為0的這個結(jié)論對于本題沒有用處。 我們希望等式右端應(yīng)該為E或者kE。,27,解：,【P115，例5】,28,【P117，例6】,設(shè)A是非奇異矩陣，且AB=AC,求證：B=C,將AB=AC 兩端同乘以 得,證明：由于A是非奇異矩陣，故 存在。,即,從而,同理，A 可逆時，由 AB