1、,3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,平均變化率,函數(shù)y=f(x)從x1到x2平均變化率為:,平均變化率的幾何意義： 割線的斜率,導(dǎo)數(shù)的概念, 求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是:,問題1 平面幾何中我們是怎樣判斷直線是否 是圓的割線或切線的呢？,問題2 如圖直線l1是曲線C的切線嗎? l2呢?,思考:切線應(yīng)該怎么定義,下面來看導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x) 的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的 任意一點,Q(x0+x,y0+y) 為P鄰近一點,PQ為C的割線, PM/x軸,QM/y軸,為PQ的 傾斜角.,斜率!,P,Q,割線,切線,T,請看當(dāng)點Q沿著曲線逐漸向點P接近

2、時,割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,動態(tài)演示,設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).,注：曲線的切線,并不一定與曲線只有一 個交點, 可以有多個,甚至可以有無窮多個., 表示什么？,思考,已知曲線y=f(x)上兩點，,根據(jù)切線定義可知： ， 割線 切線 ，那么割線 的斜率 ？,結(jié)合 ，割線 切線 ， 則切線 的斜率 可以表示怎么表示？,斜率!,

3、在上面的研究過程中，某點的割線斜率和切線斜率與某點附近的平均變化率和某點的瞬時變化率有何聯(lián)系？,（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：,函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(x0,f(x0)處的切線的斜率 ， 即：,曲線在點(x0,f(x0)處的切線的方程為：,因此,切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲線在某點處的切線方程 的基本步驟: 求出切點P的坐標； 求切線的斜率，即函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)； 利用點斜式求切線方程.,例2.試求過點 且與曲線 相切直線方程,求過點P與曲線相切的直線方程的步驟：,1設(shè)f(x0)0，則曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線() A不存在B與x軸平行

4、或重合 C與x軸垂直 D與x軸斜交 答案：B,2已知曲線y2x2上一點A(2,8)，則A處的切線斜率為() A4 B16 C8 D2,C,3曲線y2x21在點P(1,3)處的切線方程為_ 答案：4xy10,4已知曲線y3x2，求在點A(1,3)處的曲線的切線方程,例2 如圖, 它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù),的圖象. 根據(jù)圖象, 請描述、比較,曲線 在 附近的變化情況.,t4,t3,例2,解:可用曲線 h(t) 在 t0 , t1 , t2 處的切線刻畫曲線 h(t) 在上述三個時刻附近的變化情況.,(1)當(dāng) t = t0 時, 曲線 h(t) 在 t0 處的切線 l0 平行于 x 軸.

5、故在 t = t0 附近曲線比較平坦, 幾乎沒有升降.,(2)當(dāng) t = t1 時, 曲線 h(t) 在 t1 處的切線 l1 的斜率 h(t1) 0 .故在t = t1 附近曲線下降,即函數(shù) h(t) 在 t = t1 附近單調(diào)遞減.,(3)當(dāng) t = t2 時, 曲線 h(t) 在 t2處的切線 l2 的斜率 h(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲線下降,即函數(shù) h(t) 在t = t2 附近也單調(diào)遞減.,從圖可以看出，直線 l1 的傾斜程度小于直線 l2 的傾斜程度，這說明 h(t) 曲線在 l1 附近比在 l2 附近下降得緩慢,血管中藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度,從圖象上看

6、,它表示,曲線在該點處的切線的斜率.,函數(shù)f(t)在此時刻的導(dǎo)數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）,以簡單對象刻畫復(fù)雜的對象,抽象概括：,是確定的數(shù),是的函數(shù),導(dǎo)函數(shù)的概念：,在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù),什么是導(dǎo)函數(shù)?,由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時,f(x0) 是一個確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:,f (x0)與f (x)之間的關(guān)系：,1、y=f /(x)是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),注意：,2、f /(x0)是y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)值,也即f (x)在點x0處的函數(shù)值,（是一個函數(shù)）,（是一個常數(shù)）,如何求函數(shù)y=f(x)

7、的導(dǎo)數(shù)?,看一個例子:,例5.已知 ,求,歸納小結(jié),通過觀察跳水問題中導(dǎo)數(shù)的變化情況,你得到了哪些結(jié)論?,(1)以直代曲：大多數(shù)函數(shù)就一小段范圍看，大致可以看作直線，某點附近的曲線可以用過該點的切線近似代替； (2)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負的關(guān)系 ； (3)曲線的變化快慢及切線的傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系 .,練習(xí)1：在例2中，描述函數(shù) h(t) 在t3和t4附近增（減） 以及增（減）快慢的情況。,練習(xí)2,（2）曲線,在點P（1，3）處的切線方程為（ ）,A,B,（1）如果曲線,在點,處的切線方程為,，那么（ ）,A,B,不存在,小結(jié):,2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,3.求切線方程的步驟,1.曲線切線的定義,1、了解切線的概念,掌握切線斜率是一種特殊的