1、玉溪一中2020學(xué)年下學(xué)期高二年級期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得出結(jié)果.【詳解】由得，.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模，熟記運(yùn)算法則以及模的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.命題“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用全稱命題的否定方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈姆穸椋赃xA.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的

2、否定，一般處理策略是：先改變量詞，然后否定結(jié)論.3.設(shè)向量，若，則（ ）A. B. -1C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)即可得出，解出即可【詳解】故選：【點(diǎn)睛】考查主要考查向量坐標(biāo)的概念以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.某空間幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（ ）A. 三棱柱B. 三棱錐C. 四棱柱D. 四棱錐【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體是一個(gè)立放的四棱錐【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)立放的四棱錐，如圖所示；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，屬于基礎(chǔ)題5.正整數(shù)N除以正整數(shù)后的余數(shù)為，記為

3、，例如.如圖所示程序框圖的算法源于“中國剩余定理”，若執(zhí)行該程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，則輸出（ ）A. 28B. 31C. 33D. 35【答案】B【解析】【分析】先理解給出的定義，然后根據(jù)程序框圖尋求內(nèi)涵的規(guī)律，計(jì)算可求.【詳解】根據(jù)程序框圖可知，輸入，然后尋找除以3和5都余1的數(shù)，可知31符合要求，退出循環(huán)體，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識別，一般處理策略是逐步驗(yàn)算得出結(jié)果，或者觀察其含有的規(guī)律得出一般性結(jié)論求解.6.中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個(gè)人走378里

4、路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問最后一天走了（ ）A. 6里B. 12里C. 24里D. 96里【答案】A【解析】【分析】由題意可知該問題為等比數(shù)列的問題，設(shè)出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)， 依題意可求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，每天行走的路程構(gòu)造等比數(shù)列，記作數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得，則，最后一天走了6里，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知函數(shù)，若直線過點(diǎn)，且與曲線相切，則直線斜率為A. B. 2C. D. 【答案】B【解析

5、】【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得m，從而可得結(jié)果【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，則，可得切線的斜率為，所以，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，屬于中檔題. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn), 設(shè)出切點(diǎn)利用求解.8.已知圓的極坐標(biāo)方程為，圓心為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后結(jié)合平面解析幾何知識求解.【詳解】

6、因?yàn)閳A的極坐標(biāo)方程為，所以化為直角坐標(biāo)方程為，圓心為；因?yàn)辄c(diǎn)的極坐標(biāo)為，所以化為直角坐標(biāo)為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化，熟記轉(zhuǎn)化公式是求解關(guān)鍵.9.已知，則的最小值為（ ）A. B. 6C. D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合所給表達(dá)式特點(diǎn)，構(gòu)造均值定理的結(jié)構(gòu)，利用均值定理求解最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值定理的應(yīng)用，使用均值定理求解最值時(shí)，一要注意每一項(xiàng)必須為正實(shí)數(shù)，二是要湊出定值，三是要驗(yàn)證等號成立的條件，三者缺一不可，尤其是等號不要忘記驗(yàn)證.10.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用（萬元）2345銷售額

7、（萬元）25374454根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（ ）A. 61.5萬元B. 62.5萬元C. 63.5萬元D. 65.0萬元【答案】C【解析】【分析】先求出所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，求出，得到線性回歸方程，把代入即可求出答案?！驹斀狻坑深}意知，則，所以回歸方程為，則廣告費(fèi)用6萬元時(shí)銷售額為，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。11.已知三棱錐中，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出圖形，結(jié)合長度關(guān)系證明為直角三角形，確定球心，

8、求出半徑得到體積.【詳解】，為直角三角形；取中點(diǎn),如圖，則， 為三棱錐外接球的球心，且半徑；外接球的體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球的體積，此類問題的一般求解思路是：根據(jù)條件確定球心位置，然后求出半徑，代入公式可得體積；或者構(gòu)造模型借助模型求解.12.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上且，的面積為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)條件確定三角形為直角三角形，結(jié)合面積和雙曲線的定義可得的關(guān)系，從而可得離心率.【詳解】由，得所以為直角三角形且.因?yàn)榈拿娣e為，所以由得由雙曲線定義得，所以，即，故選C.【點(diǎn)睛】本題

9、主要考查雙曲線離心率的求解，求解離心率的關(guān)鍵是構(gòu)建的關(guān)系，三角形的形狀判斷及其面積的使用為解題提供了思考的方向.二、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若非零實(shí)數(shù)滿足條件，則下列不等式一定成立的是_ ； ；.【答案】【解析】【分析】可以利用不等式的性質(zhì)或者特殊值求解.【詳解】對于，若，則，故不正確；對于，若，則，故不正確；對于，若，則，故不正確；對于，由為增函數(shù)，所以，故正確；對于，由為減函數(shù)，所以，故正確；所以正確的有.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，不等式的正確與否一般是利用特殊值來驗(yàn)證.14.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_【答案】1【解析】【分析】作出可行域，平移目

10、標(biāo)函數(shù)得到最值點(diǎn)，聯(lián)立方程組得到最值點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)可得最值.【詳解】作出可行域如圖，平移目標(biāo)函數(shù)可知在點(diǎn)A處取到最大值，聯(lián)立得，代入得最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般步驟是先作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，得出最值點(diǎn)，求出最值.15.已知數(shù)列滿足 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_【答案】【解析】【分析】先對式子進(jìn)行變形得到可知為等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以所以是?為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，通過構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，如何構(gòu)造等差數(shù)列是求解這類問題的關(guān)鍵，一般是根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義

11、形式來進(jìn)行構(gòu)造，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.16.對于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】先對式子進(jìn)行變形，拆分為兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出它們的最值，根據(jù)集合之間的關(guān)系，進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，為增函?shù)，所以.令，因?yàn)?，所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；要使存在三個(gè)使得，則有所以，解得.故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，構(gòu)造函數(shù)是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，

12、第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.在中，角的對邊分別為， 且， 若.（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知，結(jié)合sinA0，sinB0，可求cosB，結(jié)合范圍0B，可得B的值；（2）由已知利用三角形的面積公式可求ac的值，由余弦定理得a+c4，聯(lián)立解得a，c的值，由正弦定理即可解得sinA的值【詳解】（1）在DABC中，sin(B+C) = sinA , 由正弦定理和已知條件得：sinAtanB = 2sinBsinA , 由于sinA 0 , sinB 0,

13、則有：cosB =, 又0Bc，得：a=3,c=1 , 由正弦定理得：,sinA = .【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題18.從甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，下面的莖葉圖記錄了這20名同學(xué)在2020年高考語文作文的成績（單位：分）.已知語文作文題目滿分為60分，“分?jǐn)?shù)分，為及格；分?jǐn)?shù)分，為高分”，且抽取的甲、乙兩班的10名同學(xué)作文平均分都是44分. （1）求的值；（2）若分別從甲、乙兩班隨機(jī)各抽取1名成績?yōu)楦叻值膶W(xué)生，請列舉出所有的基本事件；并求抽到的學(xué)生中，甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生

14、成績的概率.【答案】(1) ， (2) 【解析】【分析】（1）由平均數(shù)的計(jì)算公式，結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果；（1）用列舉法列舉“甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績”所包含的基本事件，以及“分別從甲、乙兩班隨機(jī)各抽取1名成績?yōu)楦叻值膶W(xué)生”所包含的基本事件總數(shù)，基本事件的個(gè)數(shù)比即是所求概率.【詳解】解：（1）因?yàn)榧椎钠骄鶖?shù)為44，所以，解得.同理，因?yàn)橐业钠骄鶖?shù)為44.所以，解得.（2）甲班成績不低于高分的學(xué)生成績分別為48，50，52，56共4人，乙班成績不低于高分的學(xué)生成績分別為50，52，57，58共4人，記表示從甲、乙兩班隨機(jī)各抽取1名學(xué)生的成績，其中前一個(gè)數(shù)表示從甲班隨機(jī)抽取1名學(xué)生的成績，后

15、一個(gè)數(shù)表示從乙班隨機(jī)抽取1名學(xué)生的成績.從甲、乙兩班隨機(jī)各抽取1名成績?yōu)楦叻值膶W(xué)生，共有種情況；其中，甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績的有，共3種；故由古典概型得，抽到的學(xué)生中，甲班學(xué)生成績高于乙班學(xué)生成績的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算公式，以及列舉法求古典概型的概率問題，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.19.如圖，在多面體中，為等邊三角形，,，點(diǎn)為邊的中點(diǎn).（1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而可證線面平行；（2）作出平面的垂線，找到直線與平面所成的角，結(jié)合直角三角形

16、可求.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，是平行四邊形，平面，平面，平面. （2）平面;平面，又等邊三角形，平面;由（1）知，平面,即有平面平面;取中點(diǎn)，連結(jié)，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角，過作，垂足為，連接. 平面平面，平面，平面. 為斜線在面內(nèi)的射影，為直線與平面所成角，在中， . 直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中的線面平行和線面角，直線和平面平行一般的求解策略有兩個(gè)：一是在平面內(nèi)尋求和直線平行的直線，利用直線和直線平行得出直線和平面平行，此類方法的難點(diǎn)是輔助線的作法；二是利用平面和平面平行來證明直線和平面平行.線面角的求解主要有定義法和向量法兩種.20.已知橢圓

17、的方程為：， 且平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)弦的中點(diǎn)為時(shí)，求直線的方程；（2）證明：平行四邊形的面積為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)可得，利用點(diǎn)差法可得斜率，從而可得方程；（2）設(shè)出直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，求出平行四邊形的面積表達(dá)式，得出定值.【詳解】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，兩式相減可得，即，直線的方程為，即；證明（2）：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，平行四邊形為菱形，易得設(shè)直線的方程為：與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)，將其代入得，即又，四邊形為平行四邊形. 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)在橢圓上，整理得點(diǎn)到直線的距離為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解和橢圓

18、中的定值問題，直線方程求解時(shí)，主要有待定系數(shù)法和點(diǎn)差法，點(diǎn)差法主要適用于已知弦中點(diǎn)求解方程的類型.橢圓的定值問題一般求解方法是：先求解目標(biāo)的表達(dá)式，結(jié)合其它條件把目標(biāo)式中未知量轉(zhuǎn)化為一個(gè)，一般都可以消去參數(shù)得到定值.21.已知函數(shù)，,令.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）若，且正實(shí)數(shù)滿足，求證：【答案】（）（0，1）；（）2；（）詳見解析.【解析】【分析】（I）先求得函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（II）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，這個(gè)最大值恒為非負(fù)數(shù)，由此求得整數(shù)的最小值.（III）當(dāng)時(shí)，化簡，利用構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)求其最小

19、值，證得【詳解】解：（）f（x）的定義域?yàn)椋簒|x0，f（x）x，（x0），由f（x）0，得：0x1，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）（）F（x）f（x）+g（x）lnxmx2+x，x0，令G（x）F（x）（mx1）lnxmx2+（1m）x+1，則不等式F（x）mx1恒成立，即G（x）0恒成立G（x）mx+（1m），當(dāng)m0時(shí)，因?yàn)閤0，所以G（x）0所以G（x）在（0，+）上是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)镚（1）ln1m12+（1m）+1m+20，所以關(guān)于x的不等式G（x）0不能恒成立，當(dāng)m0時(shí)，G（x），令G（x）0，因?yàn)閤0，得x，所以當(dāng)x（0，）時(shí)，G（x）0；當(dāng)x（，+）時(shí)，G（x）0，

20、因此函數(shù)G（x）在x（0，）是增函數(shù)，在x（，+）是減函數(shù)，故函數(shù)G（x）的最大值為：G（）lnm（1m）1lnm，令h（m）lnm，因?yàn)閔（m）在m（0，+）上是減函數(shù)，又因?yàn)閔（1）0，h（2）ln20，所以當(dāng)m2時(shí)，h（m）0，所以整數(shù)m的最小值為2（）m1時(shí)，F(xiàn)（x）lnxx2+x，x0，由F（x1）F（x2），得F（x1）+F（x2）0，即lnx1x1+lnx2x20，整理得：（x1+x2）x1 x2ln（x1 x2），令tx1x20，則由（t）tlnt，得：（t），可知（t）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+）上單調(diào)遞增，所以（t）（1）1，所以（x1+x2）1，解得：x1+x21，或x1+x21，因?yàn)閤1，x2為正整數(shù)，所以：x1+x21成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.（二）選考題：共10分,請考生在第22，23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計(jì)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），