1、本征值問題,9.1 特殊函數(shù)的常微分方程,在三維空間使用球座標(biāo)或柱座標(biāo)。,球極座標(biāo),邊界,柱坐標(biāo),一、正交曲線座標(biāo)系中的拉普拉斯方程,直角坐標(biāo)系中的拉普拉斯算子：,柱座標(biāo)：,球座標(biāo),（見附錄6）,二、拉普拉斯方程的分離變量,1. 球座標(biāo)：,分離變量,歐拉形方程,a.,解：,b.,球方程,再令,b1.,自然的周期邊界條件：,b2.,l-階締合勒讓德方程,b3.,l-階勒讓德方程,u 是軸對稱的，對的轉(zhuǎn)動不改變 u 。,2. 柱座標(biāo)：,分離變量,a.,b.,c1.,c2.,c2.1.,貝塞耳方程,上下底的非齊次邊界條件,c2.2.,虛宗量貝塞耳方程,上下底的齊次邊界條件,三、波動方程的分離變量,a

2、.,令,振動方程,亥姆霍茲方程,四、熱傳導(dǎo)方程的分離變量,a.,令,亥姆霍茲方程,增長或衰變的方程,五、亥姆霍茲方程,1. 球座標(biāo),球貝塞耳方程,它是 階貝塞耳方程,2. 柱座標(biāo),上下底的齊次邊界條件,9.2 常點(diǎn)鄰域的級數(shù)解法,線性常微分方程在指定初始條件下的級數(shù)解法。,對于復(fù)變函數(shù)：,一、定義,方程的常點(diǎn) ： 和 在其鄰域解析。否則為奇點(diǎn)。,二、常點(diǎn)鄰域的級數(shù)解,定理：,方程的常點(diǎn) 的鄰域 中 和 解析，則在這個圓中存在 唯一點(diǎn)解析解 滿足初始條件 。,由于解的唯一性，可將此解寫為泰勒級數(shù)：,三、勒讓德方程度級數(shù)解法,化為標(biāo)準(zhǔn)形式：,是方程度奇點(diǎn),在 點(diǎn)的鄰域：,1.級數(shù)解,帶入方程,或,

3、遞推公式,系數(shù)的兩 個序列,兩個積分常量,是方程度奇點(diǎn)，這個級數(shù)解在這兩點(diǎn)是否收斂？,2. 解的收斂性,可以證明，當(dāng)解 是無窮級數(shù)時，不可能在兩點(diǎn)同時收斂。,如果解是多項(xiàng)式，即只有有限項(xiàng)，這樣的解可以在這兩點(diǎn)同時收斂。,由系數(shù)的遞推關(guān)系 可知：,當(dāng) 是偶數(shù)，則偶次項(xiàng)的系數(shù)在 以后為零。而奇次項(xiàng)的系數(shù)在 時為零。,當(dāng) 是奇數(shù)，則奇次項(xiàng)的系數(shù)在 以后為零。而偶次項(xiàng)的系數(shù)在 時為零。,這樣，得到 階勒讓德多項(xiàng)式。,3.自然邊界條件,解在 保持有限。,確定了勒讓德方程的解必須是多項(xiàng)式， 必須是整數(shù)。,“解在 保持有限”,因此是自然邊界條件，勒讓德方程變成本征值問題，本征函數(shù) 為勒讓德多項(xiàng)式， 是本征值

4、。,9.4 施圖姆劉維爾本征值問題,一定的邊界條件限制了常微分方程的解：僅當(dāng)方程的參數(shù)取特定的值時，滿足 邊界條件的解才存在。參數(shù)的特定值叫本征值，解叫本征函數(shù)，求解的問題就叫 本征值問題。,一、施圖姆劉維爾本征值問題,施圖姆劉維爾型方程：,化為施圖姆劉維爾型方程：,即二階常微分方程度最一般的形式：,例1,振動方程：,A 為一常數(shù)。,例2,勒讓德方程,和,有限。,例3,埃爾米特方程,增長不超過,標(biāo)準(zhǔn)形式,例：,超幾何方程：,特點(diǎn)：,端點(diǎn)是 的一級零點(diǎn)。,自然邊界條件決定：,二、本征值問題,不加證明,如 連續(xù)或最多以 和 為一階極點(diǎn)，則存在無限 多個本征值：,及無限多本征函數(shù),2. 所有本征值,證：,第一類、第二類邊界條件及自然邊界條件決定右邊一、二項(xiàng)為零。,第三類齊次邊界條件：,所以,即,3. 對應(yīng)于不同的本征值的 本征函數(shù)帶權(quán) 正交：,本征值與本征函數(shù)一一對應(yīng)：,證：,第一、第二類齊次邊界條件