1、第三章 控制系統(tǒng)狀態(tài)方程求解31 線性連續(xù)定常齊次方程求解所謂齊次方程解，也就是系統(tǒng)的自由解，是系統(tǒng)在沒(méi)有控制輸入的情況下，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)方程為：(31)上式中，X是n1維的狀態(tài)向量，A是nn的常數(shù)矩陣。我們知道，標(biāo)量定常微分方程的解為：（32）與（32）式類(lèi)似，我們假設(shè)（31）的解X(t)為時(shí)間t的冪級(jí)數(shù)形式，即： (33)其中為與X（t）同維的矢量。將（33）兩邊對(duì)t求導(dǎo)，并代入（31）式，得：上式對(duì)任意時(shí)間t都應(yīng)該成立，所以變量t的各階冪的系數(shù)都應(yīng)該相等，即：即:（34）將系統(tǒng)初始條件代入（33），可得。代入（34）式可得：（35）代入（33）式可得（31）式的解

2、為：(36)我們記：（37）其中為一矩陣指數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)nn的方陣。所以（36）變?yōu)椋海?8）當(dāng)（31）式給定的是時(shí)刻的狀態(tài)值時(shí)，不難證明：（39）從（39）可看出，形式上是一個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)，且也是一個(gè)各元素隨時(shí)間t變化的nn矩陣。但本質(zhì)上，它的作用是將時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量轉(zhuǎn)移到t時(shí)刻的狀態(tài)矢量，也就是說(shuō)它起到了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用，所以我們稱(chēng)之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(The State Transition Matrix)，并記：（310）所以：【例31】 已知，求解：根據(jù)（37）式，32 的性質(zhì)及其求法性質(zhì)1： 【證】 根據(jù)的定義式（37），【證畢】性質(zhì)2：【證】：根據(jù)(37)式，即有：由性質(zhì)1及其

3、關(guān)系，:由式兩邊同時(shí)左乘，注意本身是一個(gè)nn的方陣，所以：即：從上式可知，矩陣指數(shù)函數(shù)的逆矩陣始終存在，且等于?！咀C畢】性質(zhì)3：若矩陣A，B可交換，即ABBA，那么，否則不成立?！咀C】 根據(jù)（37）式的定義，比較上述兩展開(kāi)式t的各次冪的系數(shù)可知，當(dāng)ABBA式，。【證畢】性質(zhì)4：【證】 因?yàn)樗陨鲜接疫叾囗?xiàng)式中，由于t是標(biāo)量，所以A可以左提或右提出來(lái)。所以：或 由此可知，方陣A及其矩陣指數(shù)函數(shù)是可交換的。【證畢】性質(zhì)4可用來(lái)從給定的矩陣中求出系統(tǒng)矩陣A，即：（311）【例32】 已知某系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣，求系統(tǒng)矩陣A解：根據(jù)（311）式性質(zhì)5：若矩陣A為一對(duì)角陣，即A=，那么也是對(duì)角陣，且【證】 按

4、照（37）定義式，并注意所以有：【證畢】性質(zhì)6：若nn方陣A有n個(gè)不相等的特征根，M是A的模態(tài)矩陣，則有：（312）【證】 考慮齊次方程的解，其解為：（313）我們對(duì)齊次方程作線性變換XMZ，則有：，即：，且，所以：即，兩邊左乘M得：（314）比較（313）和（314），因此有:上式經(jīng)常用來(lái)求?！咀C畢】【例33】 已知 ，求解：所以 的特征向量滿(mǎn)足：求得：同理，求得：所以，模態(tài)陣，根據(jù)（312）式，性質(zhì)7：若為mimi的約當(dāng)塊，即那么有：（315）【證】不難驗(yàn)證，ABBA，即A，B可交換。所以根據(jù)性質(zhì)3，又根據(jù)性質(zhì)5，又根據(jù)（37）：性質(zhì)8：若約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣式中為mimi階約當(dāng)塊，那么：(31

5、6)(證明略)。性質(zhì)9：若nn階矩陣A有重特征根，是將A轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J的變換陣，即，那么有：（317）（證明略）。（317）式經(jīng)常用來(lái)求有重特征根的矩陣的。【例34】 已知 ，求解： 根據(jù)第二章有關(guān)內(nèi)容，可知：設(shè)，則得： 得：得：， 根據(jù)（317）式：性質(zhì)10：設(shè)A=, B=, 則有=*=（證略）。性質(zhì)11：矩陣指數(shù)可表示為有限項(xiàng)之和 （318）其中當(dāng)A的n個(gè)特征根互不相等時(shí)，滿(mǎn)足：(319)即滿(mǎn)足：（320）若A有n重特征根，不妨設(shè)為重根，這時(shí)（320）只有個(gè)獨(dú)立方程，剩下的個(gè)方程，可由下列關(guān)系添加： （321）【證】 下面只證明A有n個(gè)不相等特征根的情況。根據(jù)凱利哈密頓(CayleyH

6、amilton)定理，方陣A滿(mǎn)足其本身的特征方程，即：所以：也就是說(shuō)，所有都可以表示為線性代數(shù)和。將代入的定義式（37），經(jīng)整理可得：（322）下面再求的關(guān)系式。因?yàn)锳有n個(gè)不同的特征根，并設(shè)M為A的模態(tài)矩陣，則有： （323）代入（322）得：（324）又根據(jù)（312）式， 所以可得：（325） 即： 所以，（320）式得到證明。【例35】已知，利用凱利哈密頓定理求。解： 在例33中我們求得A矩陣，有兩個(gè)不同的根，根據(jù)（319）式代入（318）式得：性質(zhì)12：矩陣指數(shù)函數(shù)可用拉氏反變換法求得：（3-26）【證】：考慮，在初始條件下的解：對(duì)兩邊取拉氏變換，得：拉氏反變換，得：例36：利用拉氏反

7、變換法求，其中。解： =33 線性連續(xù)定常非齊次狀態(tài)方程求解線性定常非齊次狀態(tài)方程為：， (327）從物理意義上看，系統(tǒng)從時(shí)刻的初始狀態(tài)開(kāi)始，在外界控制的作用下運(yùn)動(dòng)。要求系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)，就必須求解（327）。采用類(lèi)似于齊次標(biāo)量定常微分方程的解法，（327）式可寫(xiě)成：兩邊同時(shí)左乘，得：根據(jù)矩陣微積分知識(shí)，上式進(jìn)一步有：兩邊同時(shí)在區(qū)間積分，得：兩邊同時(shí)左乘，并整理得：即：（328）當(dāng)初始時(shí)刻時(shí)，（328）變?yōu)椋海?29）從（328）和（329）可知，非齊次狀態(tài)方程（327）的解由兩部分組成，第一部分是在初始狀態(tài)作用下的自由運(yùn)動(dòng)，第二部分為在系統(tǒng)輸入的作用下的強(qiáng)制運(yùn)動(dòng)。當(dāng)為幾種典型的控制輸入時(shí)

8、，（329）有如下形式。1 脈沖信號(hào)輸入，即：時(shí)即：（330）2 階躍信號(hào)輸入，即（331）3 斜坡信號(hào)輸入，即，可以求得：（332）【例37】求下列狀態(tài)方程在單位階躍函數(shù)作用下的輸出：解：根據(jù)（331）式其中， ， K=1在例36中已求的：其狀態(tài)軌跡圖可以MABLAB方便地繪出，如圖31所示：%Example Example 3-7grid;xlabel(時(shí)間軸);ylabel(x代表x1，-*代表x2);t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,x,t,x2,*)end圖31 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

9、34 連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式的離散化數(shù)字計(jì)算機(jī)處理的是時(shí)間上離散的數(shù)字量，如果要采用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行控制，就必須將連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化。另外，在最優(yōu)控制理論中，我們經(jīng)常要用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化控制，同樣也需要先進(jìn)行離散化。設(shè)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為： （333）系統(tǒng)離散化的原則是：在每個(gè)采樣時(shí)刻，其中T為采樣周期），系統(tǒng)離散化前后的保持不變。而采樣的方法是在t=kT時(shí)刻對(duì)U(t)值采樣得U(kT)，并通過(guò)零階段保持器，使的值在時(shí)間段保持不變。根據(jù)上述離散化原則，我們有離散化后的動(dòng)態(tài)方程為：上述輸出方程應(yīng)該很容易理解，它表示kT時(shí)刻離散系統(tǒng)的輸出Y(kT)和輸入U(xiǎn)(kT)及其

10、系統(tǒng)狀態(tài)量X(kT)的關(guān)系，它應(yīng)該與離散化前的關(guān)系一樣。下面我們根據(jù)離散化原理求出離散系統(tǒng)狀態(tài)方程，即求出。根據(jù)連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程求解公式（328），我們假設(shè)，并求時(shí)刻的狀態(tài)，由（328）式，并注意在時(shí)段不變：其中：，它只與采樣周期T 有關(guān)，令 ，則：時(shí)，時(shí)，它也只與采樣周期T有關(guān)。在下面的書(shū)寫(xiě)中，我們忽略時(shí)刻中的符號(hào)，直接用k代表kT時(shí)刻。所以我們有連續(xù)系統(tǒng)離散化公式：（334）其中：【例38】試將下列狀態(tài)方程離散化解：當(dāng)時(shí)，在MATLAB中，語(yǔ)句C2D可直接求出連續(xù)系統(tǒng)的離散化方程。%Example 3-8 Continuous to discrete systemA=0 1;0 -2;B=

11、0;1;T=0.01G,H=c2d(A,B,T)end運(yùn)行結(jié)果為：G =1.00000.009900.9802H = 0.00000.009935 離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解離散時(shí)間狀態(tài)方程求解一般有兩種方法：遞推法（迭代法）和Z變換法。前者對(duì)定常、時(shí)變系統(tǒng)都適用，而后者只適用于定常系統(tǒng)。我們只介紹遞推法。對(duì)于線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：（335）依次取，得：當(dāng)初始時(shí)刻為h時(shí)，同理可推出：與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)方程解類(lèi)似，記：，或，稱(chēng)它們?yōu)殡x散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。所以離散系統(tǒng)的解可記為：（336）或 （337）【例39】求解 例38中所求得的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程，假設(shè)解：如果用（336）式求出顯式解，那么其工作量是巨大的。我們可以在MATLAB中，直接通過(guò)遞推法求出各值。，我們?nèi)蓚€(gè)不同