1、第四章 隨機變量的數(shù)字特征與特征函數(shù),前面討論了隨機變量及其分布. 如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,在實際問題中，概率分布是較難確定的. 在實際應(yīng)用中，有時并不需要知道隨機變量的所有性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.更重要的是一些分布可以由它的某些數(shù)字特征完全刻畫.,因此，在對隨機變量的研究中，確定隨機變量的某些數(shù)字特征是非常重要的.,最常用的數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。,4.1數(shù)學(xué)期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x), 在數(shù)軸上取很密的點x0x1x2, 則X落在小區(qū)間xi, xi+1)的概率是,在小區(qū)間 xi, x

2、i+1)上,受此啟發(fā)，定義,定義 設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f (x), 如果,收斂，則稱,為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E(X)或 EX,即,函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,可見，XN(,2),則其數(shù)學(xué)期望為。后面例題的計算使用了這一結(jié)論。,(3)設(shè)(X,Y)的分布律為,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)5，6為不等式,注：性質(zhì)3和4可推廣到任意有限個隨機變量的場合。,P144例12,利用性質(zhì)求 XB(n,p), E(X)=?,柯西-許瓦茲不不等式,方差和矩,二、方差性質(zhì),性質(zhì)可推廣到n個獨立隨機變量的情況。,矩,契比雪夫不等式,性質(zhì)4可由契比雪夫不等式推出,見p151,三、矩,隨機變量的矩是常見的數(shù)字

3、特征。數(shù)學(xué)期望和方差是它的特例。,定義：設(shè)X為隨機變量，對任意正整數(shù)k，分別稱,K階原點矩,K階原點絕對矩,K階中心矩,K階中心絕對矩,N維隨機變量也可以定義其數(shù)學(xué)期望和方差。以二維為例,有協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。,4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),N維隨機變量也可以定義其數(shù)學(xué)期望和方差。以二維為例。,問題1 二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差分別反映了它的各分量的平均值和相對于各自數(shù)學(xué)期望的分散程度。如何反映各分量之間的相互聯(lián)系呢？,問題2 另外，在實際問題中，?？紤]用一個隨機變量X的線性函數(shù)來近似表示另一個隨機變量Y，那么，何時能而何時不能？如果能，如何衡量與描述近似程度的優(yōu)劣？,下面根據(jù)獨立性來尋求反映X和

4、Y相關(guān)程度的量,分析：對于相互獨立的隨機變量X,Y，有E(XY)=E(X)E(Y),從而,反之則說明，當EX-E(X)Y-E(Y)0時，X與Y一定不相互獨立，這說明EX-E(X)Y-E(Y)在一定程度上反映了X和Y的相關(guān)程度。,通過例子說明EX-E(X)Y-E(Y)在一定程度上反映了X和Y的相關(guān)程度,討論：設(shè)后者能用前者的線性變換表示，其形式為,其中t為常數(shù),用所產(chǎn)生的均方差來衡量近似程度。所產(chǎn)生的均方差為,例：設(shè)X,Y的數(shù)學(xué)期望、方差均存在，則以下兩個隨機變量為標準化(無量綱化)的，,問：后者能用前者的線性函數(shù)表示嗎？近似程度如何？,顯然，當 時，均方差最小，其值為,既決定了反映近似程度的均

5、方差的最小值，又同時與X、Y有關(guān)，故其本身就能反映X、Y的近似程度，于是作如下定義,一、協(xié)方差,定義 對二維隨機變量(X,Y)，若E(X),E(Y),EX-E(X)Y-E(Y) 都存在，則稱EX-E(X)Y-E(Y)為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記作cov(X,Y)，即,顯然，協(xié)方差也可以表達為,P155例1,P155例2,協(xié)方差的大小與使用的度量單位有關(guān)，如何避免度量單位的影響？,二、相關(guān)系數(shù),用協(xié)方差描述隨機變量之間的相關(guān)程度有一個明顯的不足，就是協(xié)方差的大小與使用的度量單位有關(guān)，例如kX和kY之間的統(tǒng)計關(guān)系與X和Y之間的統(tǒng)計關(guān)系應(yīng)該是一樣的，但其協(xié)方差卻擴大了k2倍，即Cov(kX,kY)=

6、k2cov(X,Y).為了避免隨機變量本身因本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個隨機變量進行標準化，即無量綱化,隨機變量的標準化（無量綱化）：令,衡量X*,Y*之間相互關(guān)系的協(xié)方差為：,顯見，cov(X*,Y*)與cov(X,Y)構(gòu)成線性關(guān)系，也能反映X和Y間的相互關(guān)系，且因其無量綱，從而不會因單位不同而影響對相互關(guān)系的度量。,定義相關(guān)系數(shù),定義：設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，D(X)0,D(Y)0，稱,為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)，有時也記為,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,二維r.v.是協(xié)方差，那，n維r.v.呢？,三、協(xié)差陣,n維隨機變量的重要數(shù)字特征是協(xié)差陣。,定義：設(shè)(X1,X2, ，X

7、n)為n維隨機變量，且,則稱矩陣,為n維隨機變量(X1,X2, ，Xn)的協(xié)差陣。,4.5 特征函數(shù),一、特征函數(shù)的定義,1.復(fù)隨機變量,如果隨機變量X和Y都是實值隨機變量，則稱E=X+iY為復(fù)(值)隨機變量，其中i為虛單位。,2.特征函數(shù)的定義,設(shè)X是(實值)隨機變量，則對任意實數(shù)t，,稱為隨機 變量X的特征函數(shù)，其中i為虛單位。,離散型r.v.和連續(xù)型r.v.的特征函數(shù),3.離散型隨機變量的特征函數(shù),設(shè)離散型隨機變量X的分布律為,則X 的特征函數(shù)為,4.連續(xù)型隨機變量的特征函數(shù),設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度f (x)，則X的特征函數(shù)為,XB(n,p)， 特征函數(shù)=?,X服從泊松分布， 特征

8、函數(shù)=?,X服從均勻分布， 特征函數(shù)=?,特征函數(shù)的性質(zhì),二、特征函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)5:特征函數(shù)與矩的關(guān)系,或,用特征函數(shù)計算矩求導(dǎo)數(shù)比較簡便。,用定義計算矩求級數(shù)或積分比較繁瑣。,P171例6,特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系,四、特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系,則對f(x)的連續(xù)點x1, x2，有,有定理可見，隨機變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是以一對應(yīng)的，因此特征函數(shù)同樣可以完整地描述一個隨機變量。Z在概率論中，概率分布于特征函數(shù)的一一對應(yīng)性，是特征函數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。,定理4.5.2：設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為 ，特征函數(shù)為,定理4.5.2：隨機變量X的分布函數(shù)被它的特征函數(shù)唯一地確定。,例1:一盒晶體管10

9、0支,其直流放大倍數(shù)值與相應(yīng)的個數(shù)如下：,的平均值：,一般，若隨機變量X的分布律為,則X的平均值為,例,某種產(chǎn)品每件表面上的疵點數(shù)服從參數(shù),的泊松分布,若規(guī)定疵點數(shù)不超過 1 個為一等品,值 10 元;,疵點數(shù)大于 1 個不多于 4 個為二等品,價值 8 元;,疵點數(shù)超過 4 個為廢品,求:,(1) 產(chǎn)品的廢品率;,(2) 產(chǎn)品價值的平均值.,解,由題意知,價,價,因為,所以產(chǎn)品的廢品率為,所以產(chǎn)品價值的平均值為,例4(p139):設(shè)XB(n,p)，求E(X).,解：,如果求和中沒有k，則求和結(jié)果為1（概率的歸一性）。希望把k取掉。先具體化組合數(shù),求和結(jié)果為1(概率歸一性),也可用另一法求得此

10、結(jié)果，見p150例6,例2(p138):設(shè)X(),試求E(X).,解：X的分布律,后面還可利用特征函數(shù)的性質(zhì)來求得此EX，見p171例6.,解：,解：,用分部積分法,例10 假設(shè)市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X(單位為噸)，它在2000,4000內(nèi)服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品1噸可為國家掙得外匯3萬元，但若銷售部出去而囤積于倉庫，則每噸需浪費保養(yǎng)費1萬元。問應(yīng)組織多少貨源才能使國家平均收益最大？,解：以代表某年準備出口此種產(chǎn)品的數(shù)量，Y為國家收益，則,X的概率密度為：,在準備貨源為X噸時，國家平均收益為：,可見，當組織貨源=3500噸時，國家平均收益E(Y)最大。,解：由于

11、X,Y獨立同分布服從N(0,1)，所以X,Y的聯(lián)合概率密度為,例12 將不同地址的N封信隨機地裝入寫有相應(yīng)的N個不同地址的信封中去，求碰對地址信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,解：令X為碰對地址的信件數(shù)。又令,第i封信碰對信封的概率為,可見，平均來說，N封信里只有1封信能碰對地址。,例: 設(shè)XB(n,p)，求E(X).,解：題中的 X是n此試驗中A(出現(xiàn)概率為p)出現(xiàn)的次數(shù)。令,顯然，,獨立同分布于參數(shù)為p的二點分布，即Xi的分布律為,契比雪夫不等式,此不等式稱為契比雪夫不等式。,契比雪夫不等式是概率論諸多不等式中基本和重要的一個，從它可以看出，方差越小，隨機變量的取值就以越大的概率集中在數(shù)學(xué)期望的附近，方差的大小確實刻畫了隨機變量取值相對于數(shù)學(xué)期望的分散程度。,契比雪夫不等式的證明,例1(p155)：X和Y的聯(lián)合分布律及邊緣分布律如下表，求cov(X,Y).,解：根據(jù)協(xié)方差的公式,答案,例2(p155):設(shè)(X,Y)在三角形區(qū)域,內(nèi)服從均勻分布，試求cov(X,Y).,