1、第二單元 彈性力學(xué)有限元法基本原理（一）,第一節(jié) 里茲法的有限元形式 由于需要在整個(gè)求解區(qū)域上假設(shè)試探函數(shù)，經(jīng)典里茲法在解決實(shí)際問題時(shí)，尤其是幾何形狀復(fù)雜的二、三維問題，具有局限性。 解決上述問題的辦法是在求解區(qū)域上分片假設(shè)試探函數(shù)。 下面以一維直桿的分析為例子，研究基于里茲法的有限元位移法基本原理和求解過程。,離散化 考慮圖2-1（a）所示的一維直桿結(jié)構(gòu)，桿的總長度為3L。載荷與圖1-4相同。桿分為三個(gè)子區(qū)域，稱為單元。單元之間的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。這一步驟稱為離散化。節(jié)點(diǎn)位移是問題的基本未知量。,（a）一維直桿的分域（截面積A，彈性模量E，軸向受力） （b）桿的有限單元,圖2-1,分片假設(shè)單元

2、上位移試探函數(shù),是待定常數(shù)。,首先按如下形式假定分片位移場,為了使得上述假設(shè)位移場是“許可位移”，上述多項(xiàng)式待定系數(shù)必須滿足一定約束關(guān)系（3個(gè)），顯然，該問題的獨(dú)立參量（廣義坐標(biāo)）只有3個(gè)。 把上述假設(shè)的分段線性位移場代入勢(shì)能泛函： 分段計(jì)算上式積分，再應(yīng)用駐值條件，可立即求出待定系數(shù)，位移場就完全確定，進(jìn)而可求出各單元應(yīng)力。,上述是原理上的里茲法有限元形式求解過程，其關(guān)鍵是采用分片多項(xiàng)式擬合全域上的可能位移場分片試探函數(shù)。 這個(gè)做法正體現(xiàn)了有限元法的實(shí)質(zhì)。,上面形式的分片位移試探函數(shù)有下列缺點(diǎn)： 必須對(duì)它進(jìn)行調(diào)整，使其滿足連續(xù)條件和邊界約束條件； 多項(xiàng)式系數(shù)作為廣義坐標(biāo)缺乏明顯的物理意義。

3、因此，上述不是通常意義上標(biāo)準(zhǔn)的有限元形式，仍然具有局限性，如對(duì)于二維以上的問題使各單元之間分片多項(xiàng)式保持連續(xù)性很難處理。 下面用節(jié)點(diǎn)位移未知量作為待定參數(shù)（廣義坐標(biāo)），得到其標(biāo)準(zhǔn)有限元形式。,重新構(gòu)造單元內(nèi)位移試探函數(shù),矩陣形式為：,是插值基函數(shù)矩陣，稱為“形函數(shù)”矩陣。,稱為單元1的節(jié)點(diǎn)位移列陣。,對(duì)單元1有：,其中：,離散結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)位移分量是問題的基本未知量。 在每個(gè)單元內(nèi)通過對(duì)節(jié)點(diǎn)位移插值，分片建立位移試探函數(shù)：,其它兩個(gè)單元也有同樣的插值位移試探函數(shù)：,單元2：,單元3：,同上,每個(gè)單元中，位移試探函數(shù)是位置坐標(biāo)的簡單函數(shù)（線性），任意一點(diǎn)函數(shù)值取決于單元節(jié)點(diǎn)位移，且在單元節(jié)點(diǎn)上試探

4、函數(shù)值等于待定節(jié)點(diǎn)位移。,單元上的位移試探函數(shù)又稱為單元位移模式。,顯然，在使用插值試探函數(shù)情況下，整個(gè)桿上，由各單元位移函數(shù)拼接而成的試探位移場是連續(xù)的。只要我們記住 ，得到的就是可能位移場。這樣的位移試探場以未知節(jié)點(diǎn)位移作為待定參量（廣義坐標(biāo)）。 下面進(jìn)一步實(shí)施里茲法求解。,計(jì)算離散系統(tǒng)的勢(shì)能泛函,單元應(yīng)變表達(dá)式：,得到單元上應(yīng)變表達(dá)式：,由應(yīng)變位移關(guān)系：,上式就是用節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)單元應(yīng)變的公式。,或,計(jì)算一個(gè)單元內(nèi)應(yīng)變能(單元1）：,其中：,稱為桿單元?jiǎng)偠染仃嚒?由于單元的幾何、物理參數(shù)相同，上述單元應(yīng)變能表達(dá)式對(duì)于3個(gè)單元相同，只是節(jié)點(diǎn)位移列陣的分量不同。,載荷與上節(jié)例題相同：,載荷在三

5、個(gè)單元內(nèi)局部坐標(biāo)下的表達(dá)式分別為：,， ，,按外力功的積分式，分別計(jì)算三個(gè)單元的外力功 第1單元外力功為：,同理，第2、3單元外力功分別為：,和,計(jì)算單元上外力的功：,為了適應(yīng)矩陣形式運(yùn)算，將單元?jiǎng)菽芫仃嚤磉_(dá)式中的 用整體節(jié)點(diǎn)位移向量 代替，同時(shí)單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)展成總體規(guī)模（44）。則各單元相加后系統(tǒng)總勢(shì)能為：,系統(tǒng)總勢(shì)能等于三個(gè)單元應(yīng)變能之和減去三個(gè)單元外力功。,應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：,即劃去第一個(gè)方程，解出其余三個(gè)方程得到：,即：,引入約束條件：,簡寫為：,得到有限元求解方程系統(tǒng)平衡方程：,單元應(yīng)力由公式 得到。,結(jié)合單元位移模式 就得到整體上近似位移場。,圖2-2 受軸向力桿的精確結(jié)果和有限元

6、結(jié)果,本問題有限元解與精確解的比較如圖2-2所示。,有限元解與經(jīng)典里茲解對(duì)比,第二節(jié) 常應(yīng)變?nèi)切螁卧馄矫鎲栴} 上一節(jié)以受軸向力的彈性桿為例討論了有限元位移法的基本原理和步驟，揭示了有限元法的本質(zhì)特征。 本節(jié)討論將該方法推廣到解決彈性力學(xué)平面問題。彈性區(qū)域離散化采用3節(jié)點(diǎn)三角形單元（T3單元）。,1、結(jié)構(gòu)離散化 連續(xù)求解區(qū)域劃分為有限個(gè)三角形區(qū)域（單元）； 或者連續(xù)體離散為有限個(gè)小單元的結(jié)合體，單元之間在節(jié)點(diǎn)處連接。 問題的未知量轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)位移。,圖2-3 二維區(qū)域離散化,2、單元位移模式及插值函數(shù) 從離散結(jié)構(gòu)中取出一個(gè)典型的分片區(qū)域（單元），研究二維區(qū)域上分片多項(xiàng)式假設(shè)位移場（單元位移模式

7、）。 單元如圖2-4所示。單元節(jié)點(diǎn)采用局部編號(hào)i，j，m（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)自由度（位移分量）：,圖2-4 三節(jié)點(diǎn)三角形單元,稱為單元節(jié)點(diǎn)位移列陣。,（i,j,m）,則每個(gè)單元六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量：,在單元的三角形區(qū)域構(gòu)造簡單位移試探函數(shù)。 采用x，y的一次多項(xiàng)式：,是待定系數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。,顯然，用這種形式的單元位移模式構(gòu)造整個(gè)求解區(qū)域上的許可位移場將非常困難。,解決辦法：將上述多項(xiàng)式系數(shù)廣義坐標(biāo)代換為單元節(jié)點(diǎn)位移廣義坐標(biāo)（插值法）。,將三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入上述位移多項(xiàng)式：,解上述方程，用節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)多項(xiàng)式系數(shù)：,（A為三角形單元的面積。）,定義上面方程的系數(shù)行列式為D：,用公式法（克

8、萊姆法則）解出廣義坐標(biāo) 得：,上式中， 系數(shù) 分別是行列式D第i,j,m行第1，2，3列元素的代數(shù)余子式，其值取決于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。,其中,（i，j，m）,稱為單元的插值基函數(shù)或形函數(shù)。,同理，對(duì)y方向位移函數(shù)作代換，可求得廣義坐標(biāo) ：,每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)形函數(shù)。,位移模式的矩陣形式為：,式中：,稱為單元的形函數(shù)矩陣,3、形函數(shù)的性質(zhì)和幾何意義,1）相應(yīng)于某節(jié)點(diǎn) i 的形函數(shù)在i節(jié)點(diǎn)上值為1，在j，m節(jié)點(diǎn)上值為0。,2）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)之和等于1，即：,提示：三個(gè)形函數(shù)只有兩個(gè)獨(dú)立。該性質(zhì)保證各節(jié)點(diǎn)函數(shù)值相同時(shí)，插值得到單元上任意一點(diǎn)函數(shù)值亦相同。,3）推論： 對(duì)三節(jié)點(diǎn)單元，形函數(shù)在單元內(nèi)部和邊界

9、上均為線性函數(shù)，形函數(shù)在單元一條邊上的值，只跟邊端點(diǎn)位置有關(guān)，與第三點(diǎn)位置無關(guān)；某節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)在對(duì)邊上 恒為0。,4）形函數(shù)的幾何意義,圖2-5 形函數(shù)的幾何意義,根據(jù)三角形單元形函數(shù)的上述性質(zhì)也可以推斷，單元的假定位移在內(nèi)部和邊界上都線性分布，邊界上的位移只跟兩端節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)，保證了整個(gè)求解區(qū)域上位移的連續(xù)性。,4、用節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)單元應(yīng)變和應(yīng)力,矩陣 稱為單元應(yīng)變矩陣，其子塊為：,單元位移模式確定后，很容易得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變和應(yīng)力的表達(dá)式。 應(yīng)用彈性力學(xué)平面問題幾何方程的矩陣形式，得到：,將形函數(shù)分別代入上式，最后求得應(yīng)變矩陣如下：,（i, j, m）,該應(yīng)變矩陣的元素取決于節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

10、，是常數(shù)矩陣。因此，單元內(nèi)應(yīng)變、應(yīng)力是常數(shù)。該單元稱為常應(yīng)變單元。,單元應(yīng)力根據(jù)平面問題的物理方程得到：,其中：,稱為應(yīng)力矩陣。將平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題的彈性矩陣代入，就可以具體計(jì)算出應(yīng)力矩陣。,至此，已完成在二維彈性體區(qū)域上構(gòu)造位移試探函數(shù)，并做好計(jì)算系統(tǒng)總勢(shì)能的準(zhǔn)備。,5、利用最小勢(shì)能原理建立有限元求解方程,彈性力學(xué)平面問題的總勢(shì)能泛函表達(dá)式如下：,其中：,t 彈性體厚度；,平面問題體積力向量；,邊界面力向量。,應(yīng)用前面在整個(gè)求解區(qū)域上分片假設(shè)的位移場（位移模式），在有限元離散模型上對(duì)上述總勢(shì)能泛函進(jìn)行分片計(jì)算（對(duì)各單元區(qū)域積分）并求和：,在上式中定義：,參考前面受軸向力桿的例題，對(duì)上式作

11、如下形式上的處理，把單元相關(guān)的矩陣（列陣）變換到整體規(guī)模，即：,把上面定義的矩陣符號(hào)代入勢(shì)能表達(dá)式得到：,對(duì)單元?jiǎng)偠染仃?和單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣 ，根據(jù)單元局部節(jié)點(diǎn)編號(hào)i, j, m所對(duì)應(yīng)的整體節(jié)點(diǎn)號(hào)，重新產(chǎn)生具有結(jié)構(gòu)總自由度規(guī)模的相應(yīng)矩陣： 和 ； 勢(shì)能表達(dá)式中的單元節(jié)點(diǎn)位移列陣 換成結(jié)構(gòu)整體位移列陣 。,則上面勢(shì)能表達(dá)式立刻成為：,式中定義 ：,系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)載荷列陣,則總勢(shì)能寫成：,系統(tǒng)整體剛度矩陣（總剛度矩陣）,上式就是用有限元模型上所有離散節(jié)點(diǎn)未知場函數(shù)值（節(jié)點(diǎn)位移）表達(dá)的系統(tǒng)總勢(shì)能泛函。,應(yīng)用最小總勢(shì)能原理，由駐值條件：, 系統(tǒng)有限元平衡方程,該方程反映了有限元離散結(jié)構(gòu)的總體平衡。其物理

12、解釋是: 離散結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)的平衡節(jié)點(diǎn)所受彈性力和外力之間的平衡。,對(duì)于平面應(yīng)力問題，剛度矩陣一個(gè)子塊計(jì)算如下：,( r,s=i, j, m),6、單元?jiǎng)偠染仃嚰捌湫再|(zhì),對(duì)于三節(jié)點(diǎn)三角形單元，應(yīng)變矩陣是常數(shù)，所以單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算如下：,由上述剛度矩陣子塊計(jì)算公式，立刻得到：,其中：,討論：單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x 為了考察單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x，用最小勢(shì)能原理建立一個(gè)單元的平衡方程：,式中，單元節(jié)點(diǎn)位移和單元節(jié)點(diǎn)載荷分量為：,因此導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚨囊粋€(gè)重要性質(zhì)：,性質(zhì)1：對(duì)稱性,方程反映了單元節(jié)點(diǎn)上力的平衡節(jié)點(diǎn)外力(方程右端)和節(jié)點(diǎn)內(nèi)力(方程左端)的平衡。,上式節(jié)點(diǎn)平衡方程中如果令 ， 則得到：,

13、因此，單元平衡方程的展開形式為：,所以，單元?jiǎng)偠染仃嚨谝涣性氐奈锢硪饬x是，第一個(gè)自由度位移為1，其它自由度位移為0時(shí)，要保持平衡須加在單元各節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力分量。顯然，單元?jiǎng)偠染仃囋乇碚鲉卧獎(jiǎng)傂缘拇笮?，稱為剛度系數(shù)。 由于這些節(jié)點(diǎn)力組成平衡力系，因此有：,其它各列元素的物理意義可以用同樣的方法理解，都代表一個(gè)平衡力系。因此單元?jiǎng)偠染仃嚨男辛惺街禐?。得到單元?jiǎng)偠染仃嚨牧硪粋€(gè)性質(zhì)：,性質(zhì)2：奇異性,奇異性的物理解釋：單元受節(jié)點(diǎn)力作用平衡時(shí), 不能確定單元的節(jié)點(diǎn)位移。因?yàn)閱卧峡梢辕B加任意的剛體位移。,單元?jiǎng)偠染仃嚨牧硪粋€(gè)性質(zhì)：,性質(zhì)3：主對(duì)角元素恒正,物理含義：使單元的某節(jié)點(diǎn)在某自由度方向產(chǎn)生

14、一定位移，必須在該節(jié)點(diǎn)上施加相同方向的力。,7、單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣,對(duì)于彈性力學(xué)有限元法，單元載荷主要有兩類：體力和面力 平面問題相應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力計(jì)算式已從勢(shì)能表達(dá)式中得到：,體力：,面力：,需要針對(duì)不同分布形式的單元力，具體計(jì)算上述積分。 計(jì)算要點(diǎn)：形函數(shù)、體力、面力用與積分變量相同的參數(shù)表示。,其中， 和 分別為平面問題的體力集度分量列陣和面力集度分量列陣。,8、系統(tǒng)總剛度矩陣和總節(jié)點(diǎn)載荷列陣的組集,依據(jù)下列公式：,關(guān)鍵是如何把單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣轉(zhuǎn)換成其擴(kuò)大形式： 和 ：,舉例如下：,根據(jù)單元局部節(jié)點(diǎn)號(hào)i,j,m對(duì)應(yīng)的整體節(jié)點(diǎn)號(hào)，將單元?jiǎng)偠染仃嚒卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣的各節(jié)

15、點(diǎn)相關(guān)子塊在擴(kuò)大后的矩（列）陣中重新“對(duì)號(hào)入座”。,有限元模型中某單元i,j,m為3，8，2。單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣的分塊形式為：,擴(kuò)大后的單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷列陣分別為：,實(shí)際程序?qū)嵤r(shí)，根據(jù)上述原理，直接將單元信息的各個(gè)“子塊”“對(duì)號(hào)入座”到結(jié)構(gòu)總剛度陣和結(jié)構(gòu)總載荷列陣中：,單元2：,9、系統(tǒng)總剛度矩陣的性質(zhì),結(jié)構(gòu)總剛度矩陣又稱整體剛度矩陣或總剛度矩陣。由前面知它是由單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大后疊加（相加）而成。因此，結(jié)構(gòu)剛度矩陣必然具有與單元?jiǎng)偠染仃囅嘁恢碌奈锢硪饬x。,1）結(jié)構(gòu)總剛度矩陣元素的物理意義,結(jié)構(gòu)剛度矩陣任一元素 的物理意義：結(jié)構(gòu)第j個(gè)自由度位移分量為1，而其他位移

16、分量皆為0時(shí)，需在第i個(gè)自由度方向施加的力。,結(jié)構(gòu)總剛度矩陣每一列元素代表有限元結(jié)構(gòu)上某一個(gè)作用在所有自由度上的平衡力系的所有分量。,2）對(duì)稱性,由單元?jiǎng)偠染仃嚱M集成結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的方法可以看出，單剛擴(kuò)大到整體規(guī)模后對(duì)稱性保持不變。因此總剛度矩陣對(duì)稱性保持不變。,3）奇異性,由總剛矩陣元素物理意義或總剛度矩陣的集成原理，單元?jiǎng)偠染仃嚨钠娈愋员厝粚?dǎo)致總剛度矩陣的奇異性。 力學(xué)意義：推導(dǎo)有限元平衡方程過程中，沒有考慮節(jié)點(diǎn)位移約束，其平衡構(gòu)形可以迭加任意剛體位移。所以節(jié)點(diǎn)外力給定，不能從該方程求出唯一的節(jié)點(diǎn)位移。必須對(duì)方程進(jìn)行約束處理，引入位移邊界條件。,一般而言，總剛度矩陣中非零元素很少，大多數(shù)元

17、素為零，稱為稀疏矩陣。有限元模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，非零元素所占比例越小。 有限元模型中屬于同一單元的節(jié)點(diǎn)稱為相關(guān)節(jié)點(diǎn)。 稀疏性的原因：從單元?jiǎng)偠染仃嚡B加成總剛度矩陣的過程或從總剛度矩陣元素的物理意義看，只有相關(guān)節(jié)點(diǎn)之間才有非零剛度關(guān)聯(lián)，而無論有限元模型規(guī)模大小，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)節(jié)點(diǎn)數(shù)量總是有限的。因此，總剛度矩陣中大量的元素必然為零，稀疏性是必然的。,4）稀疏性,如果模型的節(jié)點(diǎn)編號(hào)有規(guī)則，非零元素將分布在以主對(duì)角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)。顯然，對(duì)有限元方程的求解，這個(gè)性質(zhì)非常重要。 衡量帶狀特性的指標(biāo)是半帶寬。 半帶寬在有限元方程求解技術(shù)中是一個(gè)重要參數(shù)，它關(guān)系到求解中的存儲(chǔ)量和計(jì)算時(shí)間。半帶寬越小越好

18、。 圖2-6、圖2-7分別為一個(gè)有限元結(jié)構(gòu)和相應(yīng)結(jié)構(gòu)剛度矩陣非零元素分布。,5）非零元素帶狀分布,圖2-6 有限元網(wǎng)格,圖2-7 總剛度矩陣非零元素的稀疏性 和帶狀分布,總之，有限元結(jié)構(gòu)剛度矩陣的上述性質(zhì)是有限元法固有的特點(diǎn)，也是有限元法的優(yōu)越性在計(jì)算技術(shù)上的體現(xiàn)，沒有這些特性，就不會(huì)有有限元如今的發(fā)展和廣泛應(yīng)用。,應(yīng)用基于最小勢(shì)能原理的里茲法求解位移近似解的前提是假設(shè)位移場是許可位移，必須滿足邊界位移約束。前面導(dǎo)出有限元方程過程中，尚未引入邊界節(jié)點(diǎn)的約束條件，這也導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)剛度矩陣的奇異性。 引入位移邊界條件最直接的方法是在勢(shì)能表達(dá)式中進(jìn)行。從數(shù)學(xué)上看，與在有限元方程中引入位移邊界條件是等價(jià)的。 有限元法中位移邊界條件的形式是邊界節(jié)點(diǎn)上的給定位移值（零值或非零值）。,10、系統(tǒng)有限元平衡方程引入位移邊界條件,在方程中引入位移邊界條件的方法（P52 或 P 73) 直接代入法。該方法可處理零位移或非零位移約束。但需要對(duì)方程重新組合，編程困難。 總剛對(duì)角元素置“1”法。處理簡單方便，但只能處理零位移約束。 總剛對(duì)角元