1、1,3.2 邊緣分布 1. 邊緣分布函數(shù) 2. 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布 3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布,2,二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量X和Y是一維隨機(jī)變量, 它們各有其分布，稱為(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣分布.,本節(jié)主要討論二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣分布律和二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù).,3,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別記為FX(x)和FY(y).,注意：由聯(lián)合分布可以決定邊緣分布，反過來，由邊緣分布決定不了聯(lián)合分布。但當(dāng)分量獨立時就可以決定。,聯(lián)合分布可以確定邊緣分布,1.

2、 邊緣分布函數(shù),4,解 (X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù),5,對于二維離散型隨機(jī)變量(X,Y), 分量X,Y的分布列（律）稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的關(guān)于X和Y的邊緣概率分布或分布列（律）.,設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為 P(X=xi ,Y=yj)Pij , i,j=1,2,., 則 P(X=xi)=,2. 二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布,(i=1,2,.),6,同理:,一般地, 記:,P(X=xi),Pi .,P(Y=yj),P. j,(j=1,2,.),其分布表如下:,7,X,Y,.,8,解,P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4) , (ij

3、) 于是(X,Y)的分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律為,9,例: 把3個白球和3個紅球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中. 記落入第1號盒子的白球個數(shù)為X , 落入第2號盒子的紅球個數(shù)為Y. 求(X,Y)的分布律和關(guān)于X和Y的邊緣分布律.,解 顯然有,又因為事件X=i與事件Y=j相互獨立, 所以有,10,用表格可如下表示,11,解 在不放回抽樣下（上節(jié)課例題），列表如下：,12,在放回抽樣下，兩次抽取相互獨立，故,P(X=0,Y=0)= P(X=0) P(Y=0)=3/5 3/5 =9/25,類似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25， P(X=1,Y=1)

4、=4/25， 列表如下,13,注：由此例可見，不同的聯(lián)合分布可有著相同的邊緣分布，從而邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布！,14,3. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布,對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y), 設(shè)其概率密度函數(shù)為f (x,y)，分布函數(shù)為F(x,y)，則有,15,分別稱fX(x), fY(y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。,記,邊緣密度函數(shù)完全由聯(lián)合密度函數(shù)所決定.,16,例 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布 , 其中 D=(x,y) , x2+y21 , 求X ,Y的邊緣密度函數(shù)fX(x)和fY(y).,解 (1)由題意得:,-1,1,

5、當(dāng)|x|1時 , f (x,y)=0 , 所以 , f X(x)=0,當(dāng)|x|1時,所以,17,注意:均勻分布的邊緣密度不再是一維均勻分布,同理,18,例 設(shè)(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）兩個邊緣概率密度.,解 (1),所以，c = 24/5,19,(2),注意積分限,注意取值范圍,同理,20,即,注意：在求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度時，往往要對聯(lián)合概率密度在一個變量取值范圍上進(jìn)行積分. 當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分段函數(shù)的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限 .,21,例 設(shè)隨機(jī)變量X和Y具有聯(lián)合概率密度,求邊緣概率密度fX(x)和fY(y).,解,22,例 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為, 求隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)； 求概率P(X+Y1).,解 (1)x0時, fX(x)=0; x0時, fX(x)=,所以, P(X+Y1)=,y=x,x+y=1,1/2,23,例 求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù).,解 已知,為了計算方便，設(shè),24,積分中的被積函數(shù)恰好是服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量的密度函數(shù),則(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為,25,由此可見：二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是