1、 1 計(jì)算固體力學(xué)作業(yè)（第十章）計(jì)算固體力學(xué)作業(yè)（第十章） 10.1 導(dǎo)出矩形非協(xié)調(diào)板單元矩陣（10.2.11）式的顯示表達(dá)式。 解： 已知 1ee wPC aNa =，其中 4321 NNNNN =，axx c / )（，byy c / )( = Ni := 1 8 () + i1() + i1() + + 2 i i 2 2 , 1 8 b i() + i1() + i1 2 () i11 8 a i() i1() + i1 2 () + i1, 即： 又， 2 2 2 1234 2 2 (,) 2 x BLNN NNN y x y = ， 0 10 10 1 00 2 DD = , 3

2、0 2 12(1) Et D = , 0 30 ab eT ab D KB DBdxdy ab = 2 1 42 563 710111 10842 119563 1215161720211 1513201842 16142119563 172021121516710111 20181513 0 0 00 00 00 m mm mmm mmmm mmmm mmmmm mmmmmmm mmmmmm mmmmmmm mmmmmmmmmm mmmmm + + + + + + + + + + + 對(duì)稱 11842 21191614119563 0 000 mmm mmmmmmmmm + + 22 222

3、2 123 22 21 63030,8(1)40,8(1)40 ba mmbamab ab =+=+=+ 22 456 22 31230,31230,30 ab mbbmaamab ba =+=+= 22 2222 789 22 21 63015,8(1)20,2(1)20 ba mmbamab ab = += += + 2222 101112 2222 31215,3330,21 61515 abba mbbmaam baab = +=+= 2 2222 131415 2 2(1)10,2(1)10,3315 a mbamabmbb b =+=+= + 222 22 161718 222 3

4、315,21 61530,2(1)20 bba maammba aab = += += + 22 22 192021 22 8(1)20,3330,31215 ab mabmbbmaa ba =+=+= + 10.2 如果三角形板單元的位移函數(shù)是 3 9 22 8 3 7 2 65 2 4321 )(yxyyxxyxyxyx+ 驗(yàn)證當(dāng)單元的兩條邊分別平行于坐標(biāo)軸且長(zhǎng)度相等時(shí)，決定參數(shù) 1 ， 2 ， ， 9 的代 數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是奇異的。 解： 設(shè)三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為( 11 ,x y)， 22 (,)xy， 33 (,)xy，并代入以下各式： 3 223223 123456789 () i

5、iiiiiiiiiiii waa xa ya xa x ya ya xa x yx ya y=+ ()i xi w y = 22 35689 2(2)3 iiiiii aa xa ya xx ya y+ 22 24578 ()23(2) iyiiiiiii w aa xa ya xax yy x = + 將上列方程組表示成矩陣形式： e Ca=，其中 C 的表達(dá)式如下： 此時(shí)， C 矩陣的秩為 9。 當(dāng)三角形板單元的兩條邊分別平行于坐標(biāo)軸且長(zhǎng)度相等時(shí)， 即： 13213211 ,xxyy yxxy=+，此時(shí)，C 矩陣變?yōu)椋?此時(shí) C 矩陣的秩變?yōu)?8，即 C 是奇異的。 4 10.3 利用單元

6、位移函數(shù)的完備性確定（10.2.19）式的常數(shù) C 的數(shù)值。 解： 因?yàn)?123 ,L L L的線性組合表示單元的剛體位移，所以在常應(yīng)變情況下可以去掉 （10.2.19）式中的 112233 LLL+，即為： 22 421123913123112223331 ().()L LCL L LL LCL L LL LL LL L+=+ 整理左邊的式子，得到： 4236131253281213731 92123112223331 ()()()()() () LCLLCLL LLCLLCLL LLCL LCLL LL LL LL L + +=+ 所以， 4236131 ()()LCLLCL+= 再將各個(gè)

7、節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)代入上式，從而得到： 4646 1 () 2 CC+= 10.4 有一四邊固支的方形薄板，取其 1/4 用 8 結(jié)點(diǎn) Mindlin 板單元進(jìn)行分析，用減縮積分方 法時(shí) 44 網(wǎng)格仍發(fā)生剪切鎖死（如圖 10.12 所示） ，而采用假設(shè)剪切應(yīng)變方法時(shí)，僅用 33 網(wǎng)格也未發(fā)生剪切鎖死（如圖 10.15 所示） ，試用 s K奇異性的充分條件（10.4.13）式加以驗(yàn) 證。 解：采用減縮積分法時(shí)， 16 4 2128,65 3(98) 3(77) 1 2128 ss Mn dN= = + + = 利用假設(shè)剪切應(yīng)變法時(shí)， ()()9 3 254

8、,40 376355269 ss Mn dN= = + += 所以，用減縮積分 44 網(wǎng)格時(shí)仍發(fā)生剪切鎖死，而采用假設(shè)剪切應(yīng)變方法時(shí)，用 33 網(wǎng)格計(jì)算也不會(huì)發(fā)生剪切鎖死。 10.5 同上題分析的四邊固支的方板受均布載荷 q 作用。板邊長(zhǎng) L，厚度 t。由于對(duì)稱取 1/4 進(jìn)行分析，網(wǎng)格分別取 22，44，66；L/t 分別取 100，300，500；對(duì) 4 節(jié)點(diǎn)，8 節(jié)點(diǎn)， 9 節(jié)點(diǎn)的 Mindlin 板單元是否發(fā)生剪切鎖死情況進(jìn)行檢驗(yàn)并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。 解： 10.6 問(wèn)題同題 10.5，只是板的四邊改為簡(jiǎn)支。 解： 10.7 試從廣義變分角度，論證 Mindlin 板單元減縮積分方法和假

9、設(shè)剪切應(yīng)變方法的理論基 礎(chǔ)。 5 解： 10.810.8 導(dǎo)出 DKT 單元的（10.5.7）式中的矩陣 yx HH ,的顯式表達(dá)式。 解：DKT單元中， 66 11 , xixiyiyi ii NN = = 其中 111 (21)NLL=， 222 (21)NLL=， 333 (21)NLL=， 412 4NL L=， 523 4NL L=， 613 4NL L= 在角節(jié)點(diǎn)： () 0,(1,2,3) () ixi iyi w x Ci w y = （1） 在各邊中點(diǎn)： ()0,(4,5,6) 1 () 2 ksk nkninj w k s = =+ ， （2） ，當(dāng)4,5,6k=時(shí) , s

10、 n 表示各個(gè)邊界ij的法向和切向。 其中關(guān)系是 cossin sincos ijij xn ysijij = （3） 和 cossin sincos ijij xn yijijs = （4） 。 我 們 還 有 ： 3131 ()()() 2424 kiijj ijij www ww slsls = + （ 5 ）， 其 中 22 ()() ijijij lxxyy=+。 因此， 6 112233445566 1 xixixxxxxx i NNNNNNN = =+ 下面分別依次代入（4） ， （2） 、 （5） ， （3） 、 （1）并展開得到： 41241241212121122 1212

11、 13131 cossincos()sin()() ) 22424 xnsnn ww ww lsls =+ 因?yàn)? sin)cos ijij www sxy = + ，所以 6 12121121122122 1211211212122122 1212 22 1211212112212 1 cos(cossincossin) 2 3131 sin( sin)()cos() ( sin)()cos() ) 2424 1111 coscossincoscossi 2222 xyxy xyx wwww ww lxylxy =+ + =+ 122 121121121122122122 1212 n 31

12、1311 sinsinsinsinsinsin 244244 y xyxy ww ll + 將上式輪換，12，23 和 23，31 就可以得到其他的關(guān)系。 22 52322323223323233 232232233233 2323 1111 coscossincoscossin 2222 3131 sinsinsinsin 2424 xxyxy xx ww ll =+ + 22 63133131331131311 313313311311 2331 1111 coscossincoscossin 2222 3131 sinsinsinsin 2424 xxyxy xx ww ll =+ +

13、最后整理得到： 1 2 3 ,(1,2,3) i ee xxixi yi wa H aaaai a = 123 , xxxx HHHH= 22 1123112123131 1231 12122323 331111 sinsin,cossincossin, 222424 11 cossincossin 22 x H ll =+ + 22 2122312122323 1223 12122323 331111 sinsin,cossincossin, 222424 11 cossincossin 22 x H ll = + + 22 2233123233131 2323 23233131 33111

14、1 sinsin,cossincossin, 222424 11 cossincossin 22 x H ll = + + 7 10.9 證明修正正余能原理中單元交界面上的拉各朗日乘子( ) i s的力學(xué)意義應(yīng)是交界面上 的位移( ) i u s。 解： 根據(jù)修正的余能原理 1 2 c eeue mijklijkliiii e VSS CdVTdST u dS = 并利用 () , 1 2 ijklkliji jj i Cuu=+ 又由 ij 的對(duì)稱性知() , 1 2 i jj iijiji j uuu+= 從而有變分 , , c eeeue eeeue eueuee e mijklklij

15、iiiiii e VSSS i jijiiiijjijji e VSSS ijijiijjijjiiiiij j SSSSSV CdVTdSTdST u dS udVTdSn dSn u dS u ndSn dSn u dSTdSudV + = = = ()() , 0 e euee e e i iiijjijjiiiiij j e SSSV un dSnuudSTdSudV = = 由 ij 的任意性 e on S ii u= 10.10 導(dǎo)出矩形應(yīng)力雜交元的（10.6.24） 、 （10.6.26）及（10.6.29）等式的 L、P、R 矩陣 的顯式表達(dá)式。 解： 8 1234 56 78

16、910 1112 13141516 1718 19202122 2324 00000000 0000000000 00000000 0000000000 00000000 0000000000 00000000 0000000000 llll ll llll ll L llll ll llll ll = 23 171519 1 32 ss llll ll = + 23 281620 2 sss lllll lll =+ 23 391321 32 ss llll ll = 23 4101422 ss lllll ll = 5111823 1 s llll l = 6121724 s llll l = 9 2 2 2 2 3 3 32 32 22 2 2 22 1 1 1 3 2 3 2 1 2 1 2 T y x x y y x y x xxy yxy P xy xy y x xx y yxy x yxy x y xy x yx y = 10 1 1 1 1 T yAByABxBCxBCyDCyDCxADxAD xyAB yAB xyBC xBC xyDC yDC xyAD xAD TRVMVMVMVM x M M My M M xM M M y = = 11 22 22 2 2 33 33 232 223 222 2 2 222 11 11 1111 1 1 1 33 - 1