1、第三節(jié) 有阻尼的自由振動,阻尼有各種來源。 兩物體之間的干摩擦， 在潤滑表面之間的滑動摩擦， 氣體或液體等介質(zhì)阻尼以及材料的內(nèi)阻尼等。,在無阻尼的自由振動中，由于機(jī)械能守恒，系統(tǒng)保持等幅振動。實(shí)際上，在振動時，系統(tǒng)中不可避免地存在著阻尼，振幅將會隨時間的延長而衰減，逐漸趨于零，因此阻尼對振動的影響不可忽略。,一、粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動,定義: 粘性阻尼物體沿潤滑表面滑動或在流體中低速運(yùn)動時的阻尼。,粘性阻尼力,為粘性阻尼系數(shù),標(biāo)準(zhǔn)型：,無阻尼系統(tǒng)的固有頻率,阻尼系數(shù),阻尼比,令,導(dǎo)入本征方程為：,本征值：,粘性阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為：,方程通解的性質(zhì)分三種情況討論：本征值依賴于阻尼比,1.欠

2、阻尼狀態(tài),常數(shù)A1、A2由初始條件決定，,方程通解可表示為：,有阻尼振動的初始幅值 有阻尼振動的初相角 有阻尼振動的固有頻率 結(jié)論：有阻尼振動的固有頻率小于無阻尼振動的固有頻 率，是系統(tǒng)固有的物理參數(shù)。 有阻尼振動的周期大于無阻尼振動的周期,由于阻尼作用引起能量耗散，在欠 阻尼的情況下，阻尼使無阻尼自由 振動的固有周期增加，頻率降低。 當(dāng) 時，阻尼對頻率或周期的影響可以忽略，但它對振幅按幾何級數(shù)衰減，即,即,相鄰兩個振幅之比減縮系數(shù)，非常明顯地反映阻尼造成的衰減效果，記做，,實(shí)際計(jì)算時，常用對數(shù)系數(shù)，,一般為：,用途：此公式在振動實(shí)驗(yàn)中有重要應(yīng)用 （利用實(shí)驗(yàn)測出對數(shù)減縮并換算出阻尼比） 當(dāng) 時

3、，,在單自由度欠阻尼自由振動線性系統(tǒng)中，常用兩種方法求對數(shù)減縮率：,例題1 系統(tǒng)衰減振動的振幅在10次振動的過程中，由A1=3cm縮小到A2=0.06cm，求對數(shù)減縮率。,解：,例題2,對于阻尼較小 的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)中有時可用半振幅方法測定相對阻尼系數(shù)在振幅衰減曲線的包絡(luò)線 上已測得相隔N個周期的兩點(diǎn) 、 之間幅值減小一 半，試確定 。,解：振幅衰減曲線的包絡(luò)線方程為,設(shè) 、 兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為 、 則,當(dāng) 時可近似為,N是周期數(shù),此式對工程估算微弱阻尼系統(tǒng)的 值很方便的。 例如 在衰減曲線的 點(diǎn) 測出經(jīng)過2.25個周期的 點(diǎn)測出,注意：公式使用范圍為幅值減小一半,2.臨界阻尼狀態(tài),通解：,初

4、始值,可以看出：,時，,指數(shù)衰減運(yùn)動，非振動。,3.過阻尼狀態(tài),通解：,可以看出：,時，,是指數(shù)衰減運(yùn)動，非振動。,例題1,由彈簧k、阻尼器c及質(zhì)量為m的勻質(zhì)桿，組成的系統(tǒng)如圖。 試求： 系統(tǒng)的動力學(xué)方程； 發(fā)生自由振動的條件； 最大初始轉(zhuǎn)角； 不產(chǎn)生振動的條件； 對數(shù)減縮率。,解：（1）由動量矩定理,系統(tǒng)的動力學(xué)方程：,（2）由上式得：,發(fā)生自由振動的條件：,（3）原長處,根據(jù),（4）不產(chǎn)生振動的條件：,（5）對數(shù)減縮率,等效粘性阻尼,阻尼的主要作用是轉(zhuǎn)移系統(tǒng)的能量。當(dāng)無簡諧激勵作用 時，由于阻系統(tǒng)能量的損失，導(dǎo)致自由振動幅值的衰減；當(dāng)有 簡諧激勵作用時，由于簡諧激勵不斷做功，對系統(tǒng)輸入的能

5、量 平衡阻尼引起的能量損失，簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時等幅振動。 等效阻尼的原則是令在一個周期內(nèi)， (1) 非粘性阻尼耗散的能量與等效粘性阻尼耗散的能量相等 (2) 具有相同的簡諧運(yùn)動幅值。 實(shí)用意義： 將復(fù)雜的阻尼機(jī)理用等效粘性阻尼替代，簡化了分析過程。,當(dāng)系統(tǒng)作簡諧振動時，粘性阻尼在一個周期內(nèi)耗散的能量,近似利用無阻尼振動規(guī)律,得：,遵循庫侖定律，即摩擦力與接觸物體間的正壓力 成正比，與運(yùn)動方向相反。,1.干摩擦阻尼,為摩擦因數(shù),為符號函數(shù)，定義為：,導(dǎo)出：,得出，等效阻尼系數(shù)與振幅成反比，即:,平方阻尼 在低粘度流體介質(zhì)中以較大速度運(yùn)動的物體，阻力接近于與速度平方成正比，與運(yùn)動方向相反。,為阻力系數(shù),得出，等效阻尼系數(shù)與振幅成正比，即：,結(jié)構(gòu)阻尼所耗散的能量等于滯環(huán)曲線所圍的面積，其面積與振幅的平方成正比。,等效粘阻系數(shù)可代入與粘性阻尼有關(guān)的方程計(jì)算出自由振動規(guī)律，在工程實(shí)踐中，它也可通過實(shí)驗(yàn)測出。,結(jié)構(gòu)阻尼 結(jié)