1、第 2 章習(xí)題及解答 2-1 建立圖 2-33 所示各機(jī)械系統(tǒng)的微分方程 （其中為外力，、為位移； 為彈性系數(shù)，為阻尼系數(shù)，為質(zhì)量；忽略重力影響及滑塊與地面的摩擦） 。 )(tF)(tx)(ty kfm 圖 2-33 系統(tǒng)原理圖 解. （a）以平衡狀態(tài)為基點(diǎn)，對(duì)質(zhì)塊m進(jìn)行受力分析（不再 考慮重力影響） ，如圖解 2-1(a)所示。根據(jù)牛頓定理可寫(xiě)出 2 2 )()( dt yd m dt dy ftkytF= 整理得 )( 1 )( )()( 2 2 tF m ty m k dt tdy m f dt tyd =+ （b）如圖解 2-1(b)所示， 取 A,B 兩點(diǎn)分別進(jìn)行 受力分析。對(duì) A

2、點(diǎn)有 )()( 1 11 dt dy dt dx fxxk= （1） 對(duì) B 點(diǎn)有 yk dt dy dt dx f 2 1 )(= （2） 聯(lián)立式（1） 、 （2）可得： dt dx kk k y kkf kk dt dy 21 1 21 21 )(+ = + + (c) 如圖解 2-1(c)所示，取 A,B 兩點(diǎn)分別進(jìn)行受力分析。對(duì) A 點(diǎn)有 2 2 )()( dt xd myxktF= (3) 對(duì) B 點(diǎn)有 圖解 2-1(c) 2 2 )( dt yd myxk= （4） 聯(lián)立式（3） 、 （4）消去中間變量x可得： 42 422 2 ( ) d yK d yK F t dtm dtm

3、+= 2-2 應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗方法求圖 2-34 所示各無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 （a） （b） （c） 圖 2-34 無(wú)源網(wǎng)絡(luò) (a) 應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗概念可寫(xiě)出 )()( 1 1 )( 1 1 sUsI cs R cs R sU cr + + = （1） 2 )( )( R sUc sI= （2） 聯(lián)立式（1） 、 （2） ，可解得： CsRRRR CsRR sU sU r c 2121 12 )1 ( )( )( + + = 微分方程為: r r c c u CRdt du u RCR RR dt du 121 21 1 += + + 圖解 2-2（b） (b) 由圖解 2-2（b）可寫(xiě)出 CssI

4、sIsIRsU cRRr 1 )()()()(+= （3） )()( 1 )(sRIsRI Cs sI cRc = （4） CssIsIRsIsU cRcc 1 )()()()(+= （5） 聯(lián)立式（3） 、 （4） 、 （5） ，消去中間變量和，可得： )(sIC)(sIR 13 12 )( )( 222 222 + + = RCssCR RCssCR sU sU r c 微分方程為 r rr c cc u RCdt du CRdt du u RCdt du CRdt du 222 2 222 2 1213 +=+ (c) 由圖解 2-2（c）可寫(xiě)出 11222 ( )( )( )()( )

5、 r UsR I sIsLsR Is=+ (6) )()()( 1 221 sIRLssI Cs += (7) )()( 22 sIRsUc= (8) 聯(lián)立式（6） 、 （7） 、 （8） ，消去中間變量和，可得： )( 1 sI)( 2 sI 圖解 2-2(c) )()()( )( 2121 2 1 2 RRsCRRLLCsR R sU sU r c + = 微分方程為 2 12122 2 11 cc cr duduLR R CRRR uu dtR LCdtR LCR LC + += 1 2-3 證明圖 2-35 中所示的力學(xué)系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)（即有相同形式的 數(shù)學(xué)模型）

6、。 圖 2-35 系統(tǒng)原理圖 解 (a) 取A、B兩點(diǎn)分別進(jìn)行受力分析，如圖解2-2(a)所示。對(duì)A點(diǎn)有 )()()( 1122 yyfyxfyxk&=+ (1) 對(duì) B 點(diǎn)有 圖解 2-3(a) 1111 )(ykyyf= & & (2) 對(duì)式（1） 、 （2）分別取拉氏變換，消去中間 變量，整理后得 1 y )( )( sX sY = 1)( 1)( 1 2 2 2 1 12 21 21 2 2 1 12 21 21 + + s k f k f k f s kk ff s k f k f s kk ff (b) 由圖可寫(xiě)出 sC R sUc 2 2 1 )( + = sC R sC R s

7、C R sUr 1 1 1 1 1 2 1 1 1 )( + + 整理得 )( )( sU sU r c = 1)( 1)( 212211 2 2121 2211 2 2121 + + sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR 比較兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果設(shè) 11 1 kR =， 22 1 kR =， 11 fC =，則兩系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)相同，所以兩系統(tǒng)是相似的。 22 fC = 2-4 如圖 2-36 所示，二極管是一個(gè)非線性元件，其電流和電壓之間的關(guān)系為 d i d u 14 0.026 10(1) d ie = d u ，假設(shè)電路在工作點(diǎn)(0)2.39uV=，處做微小變 化，試推導(dǎo)i

8、f的線性化方程。 3 (0)2.19 10iA = () dd u= 3 (0)2.19 10iA =解 將代入 ) 1(10 026. 0/14 = d u d ei 圖 2-36 二極管電路 解得 Vud679. 0 0 = 將在(，)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)， 并取一次近似，有 ) 1(10 026. 0/14 = d u d ei 0d u 0 i d u dd ueiiii d +=+= 026. 0/14 00 0 026. 0 1 10 0/0.026 14 1 100.085 0.026 d u dd ieu = d u 即在(，)附近 0d u 0 i)( dd ufi =的線性化方

9、程為0.085 dd iu=。 2-5 假設(shè)某容器的液位高度與液體流入量滿足方程h r Q r Q S h Sdt dh1 =+ ，式中 S 為液位容器的橫截面積，為常數(shù)。若與在其工作點(diǎn)附近做微量變化，試 導(dǎo)出關(guān)于的線性化方程。 h r Q),( 00 hQr h r Q 解 將h在處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)并取一次近似 0 h h h hh dt hd hh h +=+= 0 00 2 1 | 0 （1） 代入原方程可得 )( 1 ) 2 1 ( )( 0 0 0 0 rr QQ S h h h Sdt hhd +=+ + （2） 在平衡工作點(diǎn)處系統(tǒng)滿足 00 0 r Qh dt dh =+ （3）

10、式(2） ，(3)相減可得h的線性化方程 r Qh hdt hd S=+ 0 2 圖 2-37 單擺系統(tǒng) 2-6 圖 2-37 是一個(gè)單擺運(yùn)動(dòng)示意圖。圖中，l為擺桿長(zhǎng)度， 為擺角，擺錘質(zhì)量為m。試建立單擺系統(tǒng)的微分方程，并將其 線性化。 解 由圖 2-37，根據(jù)牛頓定律，在不施加外力的情況下，可寫(xiě) 出單擺的運(yùn)動(dòng)方程： 2 2 2 sin0 d mlmgl dt +=，即 2 2 sin0 dg dtl += 將上式中非線性項(xiàng)sin在平衡點(diǎn)0 0 =附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)， 取一次近似有 0 00 sin sinsin|sincos d dt 0 =+=+ 將0 0 =代入上式，得： 0 sins

11、in= 。代入原方程可得線性化后的單擺方程 2 2 0 dg dtl += 2-7 求圖 2-38 所示各信號(hào))(tx的象函數(shù))(sX。 圖 2-38 信號(hào)圖 解 （a） Q)(2)( 0 tttx+= )(sX= st e ss 0 2 12 + （b） Q 11 ( )1 1(1)(1)2 1(3)(3) 22 x ttttt= + 3 22 11 ( )()(2) 22 ss ee X sss ss =+ （c） Q)()()()( 321 ttcttcbttabatx+= = )(sX)()( 1 321 ststst ceecbeaba s + （d） = Q)(tx)( 4 ) 2

12、 ( 4 ) 2 ( 44 2222 Tt T T t T T t T t T + )21 ( 4 )( 2 22 Ts s T ee sT sX += 2-8 求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。 (1) 1 )( = s e sX s (2) 2 2 ( ) 9 X s s = + (3) )3()2( 1 )( 3 + = sss sX (4) )22( 1 )( 2 + + = sss s sX 解 (1) 1 )( = t etx (2) 原式 = 22 23 33s + ttx3sin 3 2 )(= (3) 原式 32 11311 2(2)4(2)8(2)243(3)sssss + +

13、x（t） 24 1 3 1 8 3 44 3222 2 + tttt eee t e t (4) 原式 1) 1( 1 2 1 1) 1( 1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 222 + + + + = + ss s sss s s )(tx )cos(sin 2 1 2 1 tte t + 2-9 已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 ，試求系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。 tt eetc += 2 21)( 解 單位階躍輸入時(shí)，有 s sR 1 )(=，依題意 sss s sss sC 1 )2)(1( 23 1 1 2 21 )( + + = + + + = )2)(1( 23 )

14、( )( )( + + = ss s sR sC sG tt ee ss LsGLtk = + + + = 211 4 2 4 1 1 )()( 2-10 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) 23 2 )( )( 2 + = sssR sC ， 且初始條件為， 1)0(=c0)0(=c& 試求系統(tǒng)在輸入)( 1)(ttr=作用下的輸出。 )(tc 解 系統(tǒng)的微分方程為 )(2)(2 )( 3 )( 2 2 trtc dt tdc dt tcd =+ （1） 考慮初始條件，對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換，得 s sCssCssCs 2 )(23)(3)( 2 =+ （2） 2 2 1 41 )23( 23 )( 2 2

15、+ + + = + + = ssssss ss sC tt eetc 2 241)( += 2-11 求圖 2-39 所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )( )( sU sU r c 。 圖 2-39 有源網(wǎng)絡(luò) 解 (a) 根據(jù)運(yùn)算放大器 “虛地”概念，可寫(xiě)出 1 2 )( )( R R sU sU r c = (b) 2 2112 12 1 1 1 1 1 ( )(1)(1) 1 ( ) 1 c r R UsC sR C sR C s UsR C s R C s R C s + + = = + 2 (c) )1 ( 1 1 )( )( 21 2 1 2 2 CsRR R R Cs R Cs R sU

16、 sU r c + = + = 2-12 某位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理框圖如圖 2-40 所示， 已知電位器最大工作角度330 0， 功率放大器放大系數(shù)為。 m Q 3 k （1） 分別求出電位器的傳遞函數(shù) 0 k，第一級(jí)和第二級(jí)放大器的放大系數(shù) 1 k， 2 k； （2） 畫(huà)出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖； （3） 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)( )( ) cr Q sQ s。 圖 2-40 系統(tǒng)原理框圖 解 (1) 電位器的傳遞函數(shù) 11 180 180 330 30 0 0 0 0 = = m Q E K 根據(jù)運(yùn)算放大器的特性，可分別寫(xiě)出兩級(jí)放大器的放大系數(shù)為 3 1010 1030 3 3 1 = =K， 2 1010

17、 1020 3 3 2 = =K (2) 可畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖解 2-12 所示： 圖解 2-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 (3) ) 1(1 1 ) 1( )( )( 321032 3210 + + + + + = sTs KKKKK sT KKKK sTs KKKKK sQ sQ m m m tm m m r c 1 1 1 3210 322 3210 + + + = s KKKKK KKKK s KKKKK T m tm m m 2-13 飛機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 2-41 所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù) )( )( sQ sQ r c 。 圖 2-41 飛機(jī)俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換可得

18、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 68. 0)42. 018. 1 ()7 . 09 . 0( )6 . 0(7 . 0 )( )( 23 + + = sKsKs s sQ sQ r c 2-14 已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù) )( )( sR sC 。 = = = = )()()( )()()()()( )()()()()( )()()()()()()( 34 3523 36122 87111 sXsGsC sGsGsCsXsX sXsGsXsGsX sCsGsGsGsRsGsX 解 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解 2-14 所示。 利用結(jié)構(gòu)圖等效化簡(jiǎn)或梅遜增益公式可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

19、8432174321543632 4321 1)( )( GGGGGGGGGGGGGGGG GGGG sR sC + = 圖解 2-14 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 2-15 繪制圖 2-42 RC 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖，求傳遞函數(shù) ( ) ( ) c r Us Us 圖 2-42 RC 無(wú)源網(wǎng)絡(luò) 解 應(yīng)用電路理論和復(fù)阻抗概念，可以繪出網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖解 2-15(a)所示。 如圖解 2-15(a) 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖繪出系統(tǒng)信號(hào)流圖，如圖解 2-15(b)所示。 圖解 2-15(b) 系統(tǒng)信號(hào)流圖 結(jié)構(gòu)圖中有 1 條前向通路，且與各個(gè)回路均有接觸，有 5 個(gè)回路，其中有 6 對(duì)兩兩不 接觸回路，

20、1 組三個(gè)不接觸回路 333 1 1 sCR P =，1 1 =， RCs LLL 1 521 =L， RCs La 5 = ， 222 6 sCR LL cb = ，= 333 1 sCR LLL fed 333222 165 1 sCRsCRRCs += 165 1 )( )( 222333 11 + = = RCssCRsCR P sU sU r c 2-16 試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡(jiǎn)求圖 2-43 所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )( )( sR sC 。 圖 2-43 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （a） 所以： HG GG sR sC 2 21 1)( )( = （b） 所以： 3213221 321 1)( )(

21、 GGGGGGG GGG sR sC + = （c） 所以： 2441321232121 41321 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGG sR sC + + = （d） 所以： 23212121 321 4 1)( )( HGGHGHGG GGG G sR sC + += 2-17 試?yán)L制圖 2-44 所示系統(tǒng)的信號(hào)流圖，求傳遞函數(shù) ( ) ( ) C s R s 。 圖 2-44 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 圖解 2-17 信號(hào)流圖 34321232143 4321 1)( )( HGGGGHGGHGG GGGG sR sC + = 2-18 繪制圖 2-45 所示信號(hào)流圖對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)

22、構(gòu)圖，求傳遞函數(shù) 5 1 ( ) ( ) Xs X s 。 圖 2-45 系統(tǒng)信號(hào)流圖 解 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解 2-18 所示。 圖解 2-18 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 5122334451224451225344344 12332344344244332233244 ( )(1) ( )1 + = + Xsa a a aa a aa aa aa X sa aa aaa a aa a a 2-19 應(yīng)用梅遜增益公式求 2-16 題中各結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 解 （a）圖中有 2 條前向通路，1 個(gè)回路 ，HGLGPGP 21222111 11= 1 1L= HG GGPP sR sC 2 212211

23、1)( )( = + = （b）圖中有 1 條前向通路，3 個(gè)回路 ， 21113211 1GGLGGGP= ，)(1 3213213322 LLLGGGLGGL+= 3213221 32111 1)( )( GGGGGGG GGGP sR sC + = = （c）圖中有 2 條前向通路，5 個(gè)回路 ，11 241213211 =GGPGGGP ， 414321323221211 GGLGGGLHGGLHGGL= ，)(1 54321245 LLLLLHGL+= 2441321232121 413212211 1)( )( HGGGGGGHGGHGG GGGGGPP sR sC + + = +

24、 = （d）圖中有 2 條前向通路，3 個(gè)回路 ，= 24213211 1GPGGGP ，)(1 32123231221211 LLLHGGLHGLHGGL+= 23212121 321 4 11 2 211 1)( )( HGGHGHGG GGG G P P PP sR sC + += += + = 2-20 應(yīng)用梅遜增益公式求圖 2-46 中各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 圖 2-46 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解 （a）圖中有 1 條前向通路，4 個(gè)回路 1 143211 =，GGGGP )(1 43212434 443213332121321 LLLLHGGL HGGGGLHGGGLHGGL += = ，

25、， 則有 243443213321132 432111 1)( )( HGGHGGGGHGGGHGG GGGGP sR sC + = = （b）圖中有 2 條前向通路，3 個(gè)回路，有 1 對(duì)互不接觸回路 ， 111243213211 111HGLGGPGGGP+= ， 3213213332111 HHHGGGLHGLHGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 則有 33113213213311 11433212211 1 )1 ( )( )( HGHGHHHGGGHGHG HGGGGGGPP sR sC + + = + = （c）圖中有 4 條前向通路，5 個(gè)回路 ， 1242321211

26、 GGPGPGGPGP= ， 2151242321211 GGLGGLGLGGLGL= ，)(11 43214321 LLLL+= 則有 + = 44332211 )( )(PPPP sR sC 2121 2121 21122211 122211 31 2 1GGGG GGGG GGGGGGGG GGGGGG + + = + + = （d）圖中有 2 條前向通路，5 個(gè)回路 ，11 2321211 =GPGGP ， 22135342132212121 HGHGLGLGGLHGGLHGL= ，)(1 54321 LLLLL+= 則有 + = 2211 )( )(PP sR sC 22133212

27、2112 321 1HGHGGGGHGGHG GGG + + = 2-21 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 2-47 所示，求傳遞函數(shù) )( )( sR sC ， ( ) ( ) E s R s 。 2 H 4 G 3 G 2 G 1 G 1 H 3 H 3 G 2 G 1 G 0 G 2 H 1 H （a） (b) 圖 2-47 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解（a）求 )( )( sR sC ，圖中有 2 條前向通路，3 個(gè)回路，有 1 對(duì)互不接觸回路 ， 1234213211 11LGGPGGGP= ， 3232321211 HGLHGLHGGL= ， 21321 )(1LLLLL+= 則有 213213223121

28、121343212211 1 )1 ( )( )( HHGGGHGHGHGG HGGGGGGGPP sR sC + + = + = 求 ( ) ( ) E s R s ，有 2 個(gè)前向通路，回路數(shù)不變，不變 1 1= P， 32231 1HGHG+=， 12342 HGHGP=，1= 則有 213213223121 123432232211 1 1 )( )( HHGGGHGHGHGG HGHGHGHGPP sR sE + + = + = （b）求 )( )( sR sC ，圖中有 4 個(gè)前向通路，7 個(gè)回路 11 GP = ， 3212 GGGP = ， 103 GGP = 32104 GG

29、GGP = ， 1 4321 = 11 GL= ， 3212 GGGL= ， 103 GGL= ， 32104 GGGGL= ， 1215 HGGL= 26 HL= ， 2327 HGGL= )(1 7654321 LLLLLLL+= 則有 + = 44332211 )( )(PPPP sR sC 23221213210103211 3210103211 1HGGHHGGGGGGGGGGGG GGGGGGGGGG + + = 求 ( ) ( ) E s R s ，有 1 條前向通路，回路數(shù)不變，不變 1 1= P， 22321211 1HHGGHGG+= 23221213210103211 2

30、23212111 1 1 )( )( HGGHHGGGGGGGGGGGG HHGGHGGP sR sE + + = = 2-22 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 2-48 所示，圖中為輸入信號(hào)，為干擾信號(hào)， )(sR)(sN 求傳遞函數(shù) )( )( sR sC ， )( )( sN sC 。 圖 2-48 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解（a）令0)(=sN，求 )( )( sR sC 。圖中有 2 條前向通路,3 個(gè)回路，有 1 對(duì)互不接觸回 路。 ，HGLGGPGGP 2123121211 111+= ， 31321221 GGLGGLHGL= ， 31321 )(1LLLLL+= 則有 HGGGGGGGHG HGG

31、GGGPP sR sC 32131212 231212211 1 )1 ( )( )( + + = + = 令，求 0)(=sR )( )( sN sC 。有 3 條前向通路，回路不變。 ，111 22142111 =GGGPLP ， 133143 1LGGGP= ， 31321 )(1LLLLL+= 則有 HGGGGGGGHG HGGGGGGGHGPPP sN sC 32131212 23142142332211 1 )1 (1 )( )( + + = + = （b）令0)(0)( 21 =sNsN，求 )( )( sR sC 。圖中有 1 條前向通路，1 個(gè)回路。 ， 1111 1 2 )

32、 1(2 1 2 L s sK L s Ks P= + + = + = 則有 ) 1(2) 12()( )( 11 + = = KsK KsP sR sC 令0)(0)( 2 =sNsR，求 )( )( 1 sN sC 。圖中有 1 條前向通路，回路不變。 ，1 11 = sP 則有 ) 1(2) 12( )2( )( )( 11 1 + + = = KsK ssP sN sC 令0)(0)( 1 =sNsR，求 )( )( 2 sN sC 。圖中有 1 條前向通路，回路不變。 ，1 2 2 11 = + = s K P 則有 ) 1(2) 12( 2 )( )( 11 2 + = = KsK KP sN sC （c）令，求 0)(=sN )( )( sR sC 。圖中有 3 條前向通路，2 個(gè)回路。 ，111 3421324321421 =GGGPGGPGGP ，)(1 21432421 LLGGLGGL+= 則有 4342 4214342332211 1)( )( GGGG GGGGGGGPPP sR sC + + = + = 令，求 0)(=sR )( )( sN