1、第四章 力學(xué)量用算符表示,算符的一般性質(zhì) 算符的本征值和本征函數(shù) 物理量的平均值 厄密算符 對(duì)易算符 坐標(biāo)算符，動(dòng)量算符，角動(dòng)量算符，哈密頓算符 守恒量 交換算符, 宇稱,算符的一般性質(zhì) (1),算符的定義,算符的一般性質(zhì) (2),線性算符-凡滿足下列運(yùn)算規(guī)則的算符稱為線性算符,u1 ,u2是任意兩個(gè)函數(shù)， c1 ,c2是任意常數(shù),算符的一般性質(zhì) (3),算符相加,算符乘法,算符的一般性質(zhì) (4),單位算符,單位算符,逆算符,逆算符的定義,逆算符,算符的函數(shù) (1),算符的函數(shù)的定義,算符,n階導(dǎo)數(shù),算符的函數(shù) (2),例如,算符的本征值和本征函數(shù) (1),本征值和本征函數(shù)的定義,算符(Q數(shù))

2、,本征方程,算符的本征值和本征函數(shù) (2),若n1，則稱這一本征函數(shù)無簡(jiǎn)并。,若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)于n個(gè)本征函數(shù)，則稱這一本征函數(shù)是n度簡(jiǎn)并的。,物理量的平均值 (1),任意物理量的平均值(期待值),和我們以往學(xué)到的平均值的概念不同，這里的平均值不是對(duì)時(shí)間的平均，而是對(duì)大量處于同一狀態(tài)下的體系們?cè)谕粫r(shí)刻測(cè)量得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。,物理量的平均值 (2),某一物理量對(duì)應(yīng)的算符為A, 并且粒子處于A的本征函數(shù)u描述的狀態(tài)下。若測(cè)量此物理量，則所測(cè)值為確定值，并且是A的這個(gè)本征態(tài)u所對(duì)應(yīng)的本征值。,厄密算符,厄密算符的定義,厄密算符的平均值 (1),在任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值都是實(shí)數(shù)。 在任何狀態(tài)下平均

3、值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄密算符。,厄密算符的平均值 (2),在實(shí)驗(yàn)上可以觀測(cè)的力學(xué)量所相應(yīng)的算符必為厄密算符。,測(cè)量力學(xué)量F時(shí)， 所有可能出現(xiàn)的值， 都是相應(yīng)的線性厄密算符 的本征值。,量子力學(xué)的基本假設(shè),厄密算符的本征值和本征函數(shù),厄密算符的本征值必為實(shí)數(shù)。 厄密算符額屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此正交。,對(duì)易算符,對(duì)易括號(hào)的定義,對(duì)易算符-當(dāng)兩個(gè)算符滿足下式，則稱這兩個(gè)算符對(duì)易,差別,對(duì)易規(guī)則,對(duì)易規(guī)則,對(duì)易算符的共同本征函數(shù),若兩算符對(duì)易，如自由粒子的 和 ，則此兩算符可以有共同的本征函數(shù)，且這兩個(gè)算符所代表的力學(xué)量在它們的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，可同時(shí)有確定值,若兩個(gè)算符不對(duì)易，如

4、和 ，則沒有共同的本征函數(shù)，于是也不能同時(shí)有確定值。,海森伯不確定關(guān)系,力學(xué)量用算符來表達(dá) (1),在實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)某力學(xué)量F， 它的可能取值就是算符 的某一個(gè)本征值。,力學(xué)量之間的關(guān)系也通過相應(yīng)的算符之間的關(guān)系反映出來。例如兩個(gè)算符 與 , 在普遍的情況下，可以同時(shí)具有確定的觀測(cè)值的必要條件為,力學(xué)量用算符來表達(dá) (2),坐標(biāo)算符,坐標(biāo)算符,坐標(biāo)算符是厄密算符,坐標(biāo)的平均值,坐標(biāo)的平均值(期待值),空間幾率分布 (已歸一化),動(dòng)量算符 (1),動(dòng)量算符,動(dòng)量算符是厄密算符,動(dòng)量算符 (2),動(dòng)量的平均值 (1),動(dòng)量的平均值 (一維定態(tài)情況),動(dòng)量的平均值 (2),動(dòng)量的平均值 的一般表示,粒子

5、的動(dòng)量在p到p+dp之間的幾率 為,問題是：,動(dòng)量的平均值 (3),傅立葉變換：,動(dòng)量的平均值 (4),動(dòng)量的平均值 (5),角動(dòng)量算符 (1),角動(dòng)量算符,角動(dòng)量算符是厄密算符,角動(dòng)量算符 (2),角動(dòng)量算符 在球坐標(biāo)中的表示,角動(dòng)量算符 (3),角動(dòng)量算符 在球坐標(biāo)中的表示,坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系,坐標(biāo)算符 ， 之間相互對(duì)易。,動(dòng)量算符 ， ， 之間相互對(duì)易。,量子力學(xué)的基本對(duì)易式 (1),量子力學(xué)的基本對(duì)易式 (2),角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 (1),角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 (2),角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 (3),角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 (4),角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系 (5),定義 ，,角動(dòng)量算符

6、的對(duì)易關(guān)系 (6),本征方程,坐標(biāo)算符的本征值和本征函數(shù),本征值(C數(shù)),狄拉克函數(shù),狄拉克函數(shù),動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù),動(dòng)量算符的本征函數(shù)不簡(jiǎn)并。,能量算符的本征值和本征函數(shù),此能量算符二度簡(jiǎn)并,描述一維自由粒子(質(zhì)量為m)的能量算符,哈密頓算符,描述定態(tài)三維粒子(質(zhì)量為m)的能量算符,考慮勢(shì)能與時(shí)間不關(guān)的情況,哈密頓算符,哈密頓算符的本征值和本征函數(shù),哈密頓算符 的本征方程,即為定態(tài)薛定諤方程,哈密頓算符和薛定諤方程,三維薛定諤方程,哈密頓算符,角動(dòng)量 的共同本征函數(shù)(1),L2和Lz的共同本征函數(shù)-球諧函數(shù),L2的本征值,角動(dòng)量 的共同本征函數(shù)(2),球諧函數(shù) (1),球諧函數(shù) (2

7、),氫原子的波函數(shù) (1),中心勢(shì)能,氫原子的波函數(shù) (2),n為主量子數(shù) l為軌道量子數(shù) m為磁量子數(shù),力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化 (1),為表述方便，定義一個(gè)量子體系的兩個(gè)任意波函數(shù)的標(biāo)積：,力學(xué)量平均值,以時(shí)間t為變量,力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化 (2),力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化 (3),守恒量 (1),凡滿足 的不顯含t的力學(xué)量F，稱為體系的一個(gè)守恒量。,在體系的任何態(tài)下，守恒量F的平均值不隨時(shí)間改變。,在體系的任何態(tài)下，守恒量F的幾率分布不隨時(shí)間改變。,守恒量 (2),若在初始時(shí)刻(t=0), 守恒量F具有確定值，則以后任何時(shí)刻它都有確定值，即體系將保持在F的同一本征態(tài)。由于這個(gè)特點(diǎn)，我

8、們稱它的量子數(shù)為好的量子數(shù)。,設(shè)體系H不顯含t, 則H是守恒量，即能量守恒。,交換算符 (1),定義交換算符Pij,交換算符 (2),Pij為厄米算符,交換算符 (3),Pij和哈密頓量H對(duì)易,全同粒子和全同性原理 (1),全同粒子是具有相同質(zhì)量,相同電荷,相同自旋等性質(zhì)的微觀粒子.,全同性原理:設(shè)由N個(gè)全同粒子組成的多粒子體系,體系的狀態(tài)波函數(shù)為(1 i j N,t),如果交換其中任意二個(gè)全同粒子, 即變?yōu)?1 j i N,t),但并不引起任何測(cè)量結(jié)果的改變,即交換后和交換前都表示同一物理狀態(tài).,全同粒子和全同性原理 (2),|(1 i j N,t)|2表示在時(shí)刻t, 第1個(gè)粒子在位置1,

9、第i個(gè)粒子在位置i, 第j個(gè)粒子在位置j的幾率密度。,|(1 j i N,t)|2表示在時(shí)刻t, 第1個(gè)粒子在位置1, 第i個(gè)粒子在位置j, 第j個(gè)粒子在位置i的幾率密度。,全同粒子和全同性原理 (3),描述全同粒子組成的體系的狀態(tài)的波函數(shù)必定是交換算符的本征態(tài)。,玻色子和費(fèi)米子,實(shí)驗(yàn)說明自旋量子數(shù)為整數(shù)的全同粒子必須以對(duì)稱波函數(shù)來描述,這些粒子稱為玻色子,如光子,介子,粒子等,自旋量子數(shù)為半整數(shù)的全同粒子必須以反對(duì)稱的波函數(shù)來描述,這些粒子稱為費(fèi)米子,如電子,質(zhì)子,中子等.,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (1),我們先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的由二個(gè)全同粒子組成的體系,在這個(gè)體系中粒子之間不存在相互作用，因此

10、這個(gè)體系的哈密頓量可表示為,粒子之間不存在相互作用,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (2),我們用m,n來表示不同的能態(tài)是簡(jiǎn)化的方法，在具體問題中，一個(gè)能態(tài)由完備的多個(gè)量子數(shù)來表示。,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (3),m(1)n(2), m(2)n(1)都為H(1 2) 的本征函數(shù), 本征值都為Em+En,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (4),m(1)n(2)表示粒子1處于能態(tài)m, 同時(shí)粒子2處于能態(tài)n m(1)n(2)不滿足全同性原理, 不是交換算符的本征態(tài)，因此不是真正的物理態(tài).,同樣m(2)n(1)也不是真正的物理態(tài).,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (5),真正的物理態(tài)為交換算符P12的本征函數(shù),二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (6),一個(gè)粒子處在能態(tài)m, 另一粒子處在能態(tài)n,二個(gè)全同粒子體系波函數(shù) (7),泡利原理,二個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系的波函數(shù)為反(1,2),宇稱 (1),宇稱是描述空間反演運(yùn)算的物理量,宇稱算符I,宇稱 (2),I為厄米算符,宇稱算符的本征值和本征態(tài),空間反演不變性與宇稱守恒 (1),空間反