1、第二編 函數(shù)與基本初等函數(shù),2.1 函數(shù)及其表示,要點梳理 1.函數(shù)的基本概念 （1）函數(shù)定義 設A，B是非空的 ，如果按照某種確定的對應 關系f,使對于集合A中的 一個數(shù)x,在集合B中,數(shù)集,任意,基礎知識 自主學習,都有 的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:AB為 從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xA. (2)函數(shù)的定義域、值域 在函數(shù)y=f(x),xA中，x叫做自變量,x的取值范圍A 叫做函數(shù)的 ；與x的值相對應的y值叫做函數(shù) 值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的 .顯 然，值域是集合B的子集. (3)函數(shù)的三要素： 、 和 . (4)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的 和 完 全

2、一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的 依據(jù).,唯一確定,定義域,值域,定義域,值域,對應關系,定義域,對應關系,2.函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有： 、 、 . 3.映射的概念 設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則f， 使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中 確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為 從集合A到集合B的一個映射. 4.由映射的定義可以看出，映射是 概念的推廣，函 數(shù)是一種特殊的映射，要注意構成函數(shù)的兩個集合A, B必須是 .,解析法,圖象法,列表法,都有唯,一,函數(shù),非空數(shù)集,基礎自測 1.設集合M=x|0 x2，N=y|0y2，那么下面 的4個圖形

3、中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關系的 有 ( ) A. B. C. D. 解析 由映射的定義，要求函數(shù)在定義域上都有圖 象，并且一個x對應著一個y，據(jù)此排除，選C.,C,2.給出四個命題： 函數(shù)是其定義域到值域的映射；f（x）= 是函數(shù)；函數(shù)y=2x（xN）的圖象 是一條直線；f（x）= 與g(x)=x是同一個函數(shù). 其中正確的有（） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析 由函數(shù)的定義知正確. 滿足f（x）= 的x不存在，不正確. 又y=2x（xN)的圖象是一條直線上的一群孤立的 點，不正確. 又f（x）與g（x）的定義域不同，也不正確.,A,3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是 ( ),解

4、析 排除A； 排除B； 當 即x1時,y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C. 故選D. 答案 D,4.函數(shù) 的定義域為 . 解析 若使該函數(shù)有意義，則有 x-1且x2,其定義域為x|x-1且x2.,x|x-1且x2,5.已知f（ ）=x2+5x,則f(x)= . 解析,題型一 求函數(shù)的定義域 【例1】（2009江西理，2）函數(shù) 的定義域為（） A.（-4，-1）B.（-4，1） C.（-1，1）D.（-1，1 求函數(shù)f(x)的定義域，只需使解析式有 意義，列不等式組求解. 解析,思維啟迪,C,題型分類 深度剖析,探究提高 （1）求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函 數(shù)解析式所含運算有意義為準則,

5、列出不等式或不等 式組，然后求出它們的解集，其準則一般是： 分式中，分母不為零； 偶次方根中，被開方數(shù)非負； 對于y=x0，要求x0； 對數(shù)式中，真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1； 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實際問題 的約束. （2）抽象函數(shù)的定義域要看清內(nèi)、外層函數(shù)之間的 關系.,知能遷移1 (2008湖北)函數(shù) 的定義域為（） A.（-，-42，+） B.（-4，0）（0，1） C.-4，0）（0，1 D.-4，0）（0，1）,解析 答案 D,題型二 求函數(shù)的解析式 【例2】 （1）設二次函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)， 且圖象在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為

6、 ，求f(x)的解析式； （2）已知 （3）已知f(x)滿足2f(x)+ =3x,求f(x). 問題（1）由題設f（x）為二次函數(shù)， 故可先設出f（x）的表達式，用待定系數(shù)法求解； 問題（2）已知條件是一復合函數(shù)的解析式，因此 可用換元法；問題（3）已知條件中含x， ，可用 解方程組法求解.,思維啟迪,解 （1）f（x）為二次函數(shù)， 設f(x)=ax2+bx+c (a0)，且f(x)=0的兩根為x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. 由已知得c=1. 由、式解得b=2,a= ,c=1, f（x）= x2+2x+1.,探究提高 求函數(shù)解析式的常用方法有:(1)代入法， 用

7、g(x)代入f(x)中的x,即得到fg(x)的解析式； (2)拼湊法，對fg(x)的解析式進行拼湊變形， 使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊的所有 “g(x)”即可；(3)換元法，設t=g(x),解出x,代入 fg(x)，得f(t)的解析式即可；(4)待定系數(shù)法， 若已知f(x)的解析式的類型，設出它的一般形式,根 據(jù)特殊值，確定相關的系數(shù)即可；(5)賦值法，給變 量賦予某些特殊值，從而求出其解析式.,知能遷移2 （1）已知f( +1)=lg x，求f（x）； (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1) =2x+17，求f（x）； (3)設f(x)是R上的函數(shù)，且

8、f(0)=1,對任意x，yR 恒有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的表達式.,解 （1） （2）設f（x）=ax+b（a0），則 3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，故f（x）=2x+7. （3）方法一 f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）， 令y=x，得f（0）=f（x）-x（2x-x+1）， f（0）=1，f（x）=x2+x+1. 方法二 令x=0，得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,再 令y=-x,得f(x)=x2+x+1.,題型三 分段函數(shù) 【例3】設函數(shù)f

9、(x)= 若f(-4)= f(0),f(-2)=-2,則關于x的方程f(x)=x解的個數(shù)為 （） A.1 B.2C.3D.4 求方程f(x)=x的解的個數(shù)，先用待定系 數(shù)法求f（x）的解析式，再用數(shù)形結合或解方程.,思維啟迪,解析 由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, x0時，顯然x=2是方程f(x)=x的解;x0時，方程 f（x）=x即為x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.綜上，方 程f（x）=x解的個數(shù)為3. 答案 C 分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.解決分 段函數(shù)問題，關鍵要抓住在不同的段內(nèi)研究問題.如 本例，需分x0時，f（x）=x的解的個數(shù)和x0時

10、， f（x）=x的解的個數(shù).,探究提高,知能遷移3 設 則fg(3)=_, =_. 解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=32+1=7，,7,題型四 函數(shù)的實際應用 【例4】 （12分）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托 車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年 銷售量為1 000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高 產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增 加的比例為x(0x1)，則出廠價相應提高的比例為 0.75x, 同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年 利潤=(出廠價-投入成本)年銷售量. (1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比 例x的關系式；,（2

11、）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本 增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？ 準確理解題意，構建函數(shù)模型. 解 （1）依題意,本年度每輛摩托車的成本為1+x(萬 元)，而出廠價為1.2(1+0.75x) (萬元)， 銷售量為1 000(1+0.6x) (輛). 故利潤y=1.2(1+0.75x)-(1+x)1 000 (1+0.6x),4分 整理得y=-60 x2+20 x+200 (0x1).6分,思維啟迪,（2）要保證本年度利潤比上一年有所增加， 則y-(1.2-1)1 0000, 8分 即-60 x2+20 x+200-2000, 即3x2-x0.10分 解得0x ,適合0x1. 故為保證本

12、年度利潤比上年有所增加，投入成本增加 的比例x的取值范圍是0x .12分 函數(shù)的實際應用問題，要準確構建數(shù)學模 型，求得函數(shù)解析式后，要寫出函數(shù)的定義域（一般 情況下，都要受到實際問題的約束）.,探究提高,知能遷移4 （2009浙江，文15理14）某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：,若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為 元（用數(shù)字作答）.,解析 高峰時段的電價由兩部分組成，前50千瓦時電 價為500.568元，后150千瓦時為1500.598元.低 谷時段的電價由

13、兩部分組成，前50千瓦時電價為50 0.288元，后50千瓦時為500.318元，電價為50 0.568+1500.598+500.288+500.318= 148.4（元）. 答案 148.4,1.若兩個函數(shù)的對應關系一致，并且定義域相同,則 兩個函數(shù)為同一函數(shù). 2.函數(shù)有三種表示方法列表法、圖象法和解析 法，三者之間是可以互相轉化的；求函數(shù)解析式 比較常見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法 和解函數(shù)方程等，特別要注意將實際問題化歸為 函數(shù)問題，通過設自變量，寫出函數(shù)的解析式并 明確定義域，還應注意使用待定系數(shù)法時函數(shù)解 析式的設法，針對近幾年的高考分段函數(shù)問題要 引起足夠的重視.,思想方

14、法 感悟提高,方法與技巧,3.求用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時，常有以 下幾種情況： 若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R； 若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于 0的實數(shù)集； 若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi) 的式子大于或等于0的實數(shù)集合； 若f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù) 的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合； 若f（x）是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù) 的定義域應符合實際問題.,1.建立實際問題的函數(shù)式，首先要選定變量,而后尋 找等量關系，求函數(shù)解析式,但要根據(jù)實際問題確 定定義域. 2.判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足

15、“每 元有象”和“且象惟一”.但要注意：（1）A中不 同元素可有相同的象，即允許多對一,但不允許一 對多;(2)B中元素可無原象,即B中元素可有剩余.,失誤與防范,一、選擇題 1.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是 ( ),定時檢測,解析 答案 D,2.已知f(x)= 使f(x)-1成立的x的 取值范圍是 ( ) A.-4,2) B.-4,2 C.(0,2 D.(-4,2 解析,B,3.已知函數(shù)f(x)=lg(x+3)的定義域為M,g(x)= 的 定義域為N,則MN等于 ( ) A.x|x-3 B.x|-3-3,N=x|x2. MN=x|-3x2.,B,4.（2008山東）設函數(shù) 的值為（） 解

16、析,A,5.（2008陜西）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,則f(-3)等于( ) A.2 B.3C.6D.9 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+201 =f(0)+f(1),f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)1 =f(-1)+f(1)-2,f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2(-2)1 =f(-2)+f(1)-4,f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2(-3)1 =f(-3)+f(1)-6,f(-3)=6.

17、,C,6.已知函數(shù)f(x)的定義域為-1,5.在同一坐標系下, 函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的交點個數(shù)為 ( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.0個或1個均有可能 解析 f(x)的定義域為-1,5,而1-1,5， 點(1,f(1)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,而點 (1,f(1)又在直線x=1上，直線x=1與函數(shù)y=f(x) 的圖象至少有一個交點(1,f(1)。 根據(jù)函數(shù)定義知,函數(shù)是一個特殊的映射,即對于定 義域-1，5的任何一個元素,在其值域中只有唯一 確定的元素f(1)與之對應,故直線x=1與y=f(x)的圖 象有且只有一個交點.,B,二、填空題 7.某出租車公司規(guī)定“打的”收費

18、標準如下：3千米以 內(nèi)為起步價8元(即行程不超過3千米,一律收費8元), 若超過3千米除起步價外，超過部分再按1.5元/千米 收費計價,若某乘客再與司機約定按四舍五入以元計 費不找零錢,該乘客下車時乘車里程數(shù)為7.4,則乘客 應付的車費是 元. 解析 車費為8+（7.4-3）1.5=14.615（元）.,15,8.(2009北京文，12)已知函數(shù) 若f(x)=2,則x= . 解析 當x1時，3x=2,x=log32; 當x1時，-x=2,x=-2(舍去).,log32,9.函數(shù) 的定義域為_. 解析 要使f(x)有意義， f(x)的定義域為x|x4且x5.,x|x4且x5,三、解答題 10.求下列函數(shù)的定義域： 解 借助于數(shù)軸,解這個不等式組,得函數(shù)的定義域