1、6-1 工程中的彎曲變形問題 6-2 撓曲線的微分方程 6-3 用積分法求彎曲變形 6-4 用疊加法求彎曲變形 6-5 簡單超靜定梁 6-6 提高彎曲剛度的一些措施,研究變形目的 建立剛度條件，解決剛度問題 建立變形協(xié)調(diào)條件，解決超靜定問題 為振動計算奠定基礎(chǔ),6-2 撓曲線的微分方程,撓曲線： 在對稱彎曲情況下，變形后梁的軸線為xoy平面內(nèi)的一條曲線，此曲線稱為撓曲線。 撓度： 梁的任一截面形心的豎直位移稱為撓度。 撓曲線的方程式： w=f(x),轉(zhuǎn)角：彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，梁的橫截面變形前垂直于軸線，變形后垂直于撓曲線。故,撓度w和轉(zhuǎn)角是

2、度量彎曲變形的兩個基本量。 撓度與轉(zhuǎn)角符號規(guī)定：在圖示坐標(biāo)中，撓度向上為正，反時針的轉(zhuǎn)角為正。,此式為撓曲線的近似微分方程。,（g）,式（e）中 ，于是式（e）可寫成,（f）,此為撓曲線的微分方程，適用于彎曲變形的任意情況，它是非線性的。在小變形的情況下，梁的撓度w一般都遠(yuǎn)小于跨度，撓曲線w =f(x)是一非常平坦的曲線，轉(zhuǎn)角也是一個非常小的角度，于是, 適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。,討論：,6-3 用

3、積分法求彎曲變形,撓曲線的近似微分方程為：,積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：,再積分一次得撓度方程為：,邊界條件： 在撓曲線的某些點上，撓度或轉(zhuǎn)角有時是已知的這類條件稱為邊界條件。,連續(xù)條件： 撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線，在撓曲線的任一點上有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角這就是連續(xù)條件。,剛度條件：,積分常數(shù)C、D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。,位移邊界條件,光滑連續(xù)條件,彈簧變形,1. 積分法 優(yōu)點：可以求得撓曲線的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，因此可求任意截面的轉(zhuǎn)角和撓度,是最基本的方法。,6-4 用疊加法求彎曲變形,缺點：計算比較麻煩。,2. 疊加法 在小變形，線彈性前提下（材料服從胡克定律），撓曲線的微

4、分方程是線性的（即與彎矩是一次關(guān)系）：,小變形前提下，計算彎矩時用梁變形前的位置，彎矩與載荷是線性關(guān)系。對幾種不同載荷，彎矩可以疊加，上面方程的解也可以疊加，撓度與轉(zhuǎn)角也可以疊加，均與載荷成線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁上有多個載荷作用時，可以分別求出每一載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作用時的變形，這就是彎曲變形的疊加法。,設(shè)梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為w，則有：,若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為Mi(x) ，轉(zhuǎn)角為i，撓度為wi，則有：,由彎矩的疊加原理知：,所以，,故,由于梁的邊界條件不變，因此,重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用

5、時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。,疊加法前提, 力與位移之間呈線性關(guān)系（應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系） 小變形,為了便于工程計算，把簡單基本載荷作用下梁的撓曲線方程，最大撓度，最大轉(zhuǎn)角計算公式編入手冊，以便查用。P188-1,6-5 簡單超靜定梁,例6-5-1 試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。,解：建立靜定結(jié)構(gòu),確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)。,=,A,B,幾何方程變形協(xié)調(diào)方程,+,=,物理方程變形與力的關(guān)系,+,=,補充方程,求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）,幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：,解：建立靜定結(jié)構(gòu),=,例6-5-1結(jié)構(gòu)如圖

6、，求B點反力。,LBC,C,=,+,=,LBC,C,+,物理方程變形與力的關(guān)系,補充方程,求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）,從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出，彎曲變形與彎矩大小、跨度長短、支座條件，梁截面的慣性矩I、材料的彈性模量 E 有關(guān)。故提高梁剛度的措施為：,6-6 提高彎曲剛度的一些措施,（1）改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩數(shù)值 （2）增加支承，減小跨度，撓度與跨度3次方成正比，跨度減少一半，撓度減少為原來的1/8 （3）選用合適的材料，增加彈性模量 （4）選擇合理的截面形狀，提高慣性矩 I ，如工字形截面、空心截面等。,一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值,改變支座形式,改變載荷類型,二、選擇合理的截面形狀提高I,三 、選用高強度材料，提高許用應(yīng)力值,同類材料，“E”值相差不多，“b”相差較大，故換用同類材料只能提高強度，不能