1、成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 知識 與 技能 不等式和絕對值不等式不等式和絕對值不等式 課型新授課 1 理解用兩個實數差的符號來規(guī)定兩個實數大小的意義，建立不等式 研究的基礎。 2 掌握不等式的基本性質，并能加以證明；會用不等式的基本性質判 斷不等關系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重 難 點 單元 課時 計劃 重點：重點：應用不等式的基本性質推理判斷命題的真假；代數證明，特別是反證法。 難點：難點：靈活應用不

2、等式的基本性質。 教 學 過 程 設 計 一、新課引入一、新課引入： 生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉化為數學問題：a 克糖水中含有 b 克糖 (ab0)，若再加 m(m0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為 證 批 注 bb m ，加入 m 克糖 后的糖水濃度為，只要 aa m b mb 即可。怎么證呢? a ma 二、不等式的基本性質二、不等式的基本性質： 1、實數的運算性質與大小順序的關系： 數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數 軸上的表示可知： a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 得出結論：要比較兩個實數的大小，只要

3、考察它們的差的符號即可。 2、不等式的基本性質： 、如果 ab，那么 ba，如果 bb。(對稱性) 、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。 、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。 推論：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d 、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb 0，那么a b 、如果 ab 0，那么na 三、典型例題三、典型例題： 例 1、比較(x 3)(x 7)和(x 4)(x 6)的大小。 分析：通過考察它們的差與0 的大小關系，得出這兩個多項式的大小關系。 例 2、已知a b,c

4、d，求證：a c bd 例 3、已知 ab0，cd0，求證： 四、課堂練習四、課堂練習： 1：已知x 3，比較x 11x與6x 6的大小。 2：已知 ab0，cd1) b (nN，且 n1)。 a d b c 。 ba 。 a cb d 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 重 難 點 單元 課時 計劃 知識 與 技能 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 基本不等式基本不等式 課型新授課 1.學會推導并掌握均值不等式定理； 2.能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。 能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過

5、程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重點：重點：均值不等式定理的證明及應用。 難點：難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。 教 學 過 程 設 計 一、知識學習：一、知識學習： 定理定理 1 1：如果a、bR，那么ab2ab（當且僅當ab時取“”號） 證明：ab2ab（ab） 當ab時， （ab） 0，當ab時， （ab） 0 所以， （ab） 0即ab2ab 由上面的結論，我們又可得到 定理定理 2 2（基本不等式）（基本不等式） ：如果a，b是正數，那么 2 2 2 22 2 22 22 批 注 ab 2 ab（當且僅當 ab時取“”號） 證明：（a） （b） 2ab ab2ab，即 22 ab 2

6、2 ab ab顯然，當且僅當ab時， 說明：1）我們稱 ab ab 2 為a，b的算術平均數，稱ab為a，b的幾何平均 數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均 數. 2）ab2ab和 2 2 ab 2 ab成立的條件是不同的：前者只要求a，b 都是實數，而后者要求a，b都是正數. 3） “當且僅當”的含義是充要條件. 4）幾何意義. 二、例題講解：二、例題講解： 例 1 已知x，y都是正數，求證： （1）如果積xy是定值P，那么當xy時，和xy有最小值 2P； 1 2 （2）如果和xy是定值S，那么當xy時，積xy有最大值S 4 證明：因為x，y都是正數，所以 （

7、1）積xy為定值P時，有 xy 2 xy xy 2 Pxy2P 上式當xy時，取“”號，因此，當xy時，和xy有最小值 2P . S1 2 （2）和xy為定值S時，有xyxyS 24 1 2 上式當x=y時取“”號，因此，當x=y時，積xy有最大值S. 4 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件： ）函數式中各項必須都是正數; )函數式中含變數的各項的和或積必須是常數； ）等號成立條件必須存在。 例 2 ：已知a、b、c、d都是正數，求證： （abcd） （acbd）4abcd 分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯系，從而正 確運用，同時加強對均值不等

8、式定理的條件的認識. 證明：由a、b、c、d都是正數，得 abcd 2 abcd0，acbd 2 acbd0， （abcd）（acbd） abcd 4 即（abcd） （acbd）4abcd 例 3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800m ，深為 3m， 如果池底每 1m 的造價為 150 元，池壁每 1m 的造價為 120 元，問怎樣設計水池 22 3 能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然 后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得 l240000

9、720（x1600）2400007202 x x1600 x 240000720240297600 1600 當x，即x40 時，l有最小值 297600 x 因此，當水池的底面是邊長為 40m 的正方形時，水池的總造價最低，最低 總造價是 297600 元. 評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函 數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適 用條件. 三、課堂練習：三、課堂練習：課本 P91練習 1，2，3，4. 四、課堂小結：四、課堂小結： 通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平 均數的定理，并會應用它證明一些不

10、等式及求函數的最值， ，但是在應用時，應 注意定理的適用條件。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè) 課本 P10習題 1.1 第 5，6，7 題 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 知識 與 技能 三個正數的算術三個正數的算術- -幾何平均不等式幾何平均不等式 課型新授課 1能利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式， 解決最值問題； 2了解基本不等式的推廣形式。 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重 難 點 單元 課時 計劃 重點：重

11、點：三個正數的算術-幾何平均不等式 難點：難點：利用三個正數的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式， 解決最值問題 教 學 過 程 設 計 一、知識學習：一、知識學習： 批 注 a b c 3 定理定理 3 3：如果：如果a,b,cR，那么，那么 abc。當且僅當 。當且僅當a b c時，時， 3 等號成立。等號成立。 推廣： a 1 a 2 a n n a 1a2 a n 。當且僅當a1 a2 an時，等 n 號成立。 語言表述：n 個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 思考： 類比基本不等式， 是否存在： 如果a,b,cR， 那么a b c 3abc （當且僅當a b c時，等號

12、成立）呢？試證明。 二、例題分析：二、例題分析： 例 1：求函數y 2x 2 333 2 3 (x 0)的最小值。 x 解一： y 2x 3121 2 2x2 332x2 334y min 334 xxxx x 33123 2 3 2 解二：y 2x 2 2x 2 6x當2x 即x 時 xx2x 2 3 ymin 2 6 12 2 3312 26324 2 上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？ 變式訓練變式訓練 1 1 若a,b R 且a b,求a 1 的最小值。 (a b)b 由此題，由此題， 你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要_ 例 2

13、：如下圖，把一塊邊長是 a 的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形， 再把它的邊沿名著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多 少時，才能使盒子的容積最大？ 變式訓練變式訓練 2 2已知：長方體的全面積為定值，試問這個長方體的長、寬、高 各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值 由例題，我們應該更牢記由例題，我們應該更牢記 一一 _ _ 二二 _ _ 三三 _ _，三者缺一不可。另，三者缺一不可。另 外，由不等號的方向也可以知道：積定外，由不等號的方向也可以知道：積定_，和定，和定_._. 三、鞏固練習三、鞏固練習 1.函數y 3x 12 (x 0)的最小值是 ( ) 2x A.

14、6B.6 6C.9D.12 2.函數y 4x 2 16 的最小值是_ (x21)2 2)的最大值是（ ） 42 3函數y x (2 x )(0 x A.0B.1C. 1632 D. 2727 xyz2 4.(2009 浙江自選)已知正數x, y,z滿足x y z 1，求4 4 4的最小 值。 5（2008，江蘇，21）設a,b,c為正實數，求證： 四、課堂小結：四、課堂小結： 通過本節(jié)學習，要求大家掌握三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平 均數的定理，并會應用它證明一些不等式及求函數的最值， ，但是在應用時，應 注意定理的適用條件。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè) P10習題 1.1 第 11，1

15、2，13 題 教 學 反 思 111 abc 2 3 a3b3c3 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 知識 與 技能 了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法， 會進行簡單的應用。 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數學思維方法，體會轉化和數形 結合的數學思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 絕對值三角不等式絕對值三角不等式 課型新授課 重 難 點 單元 課時 計劃 重點：重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解

16、和運用。 難點：難點：絕對值三角不等式的發(fā)現和推導、取等條件。 教 學 過 程 設 計 一、復習引入：一、復習引入： 關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一 類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。 1請同學們回憶一下絕對值的意義。 批 注 x，如果x 0 x 0，如果x 0 。 x，如果x 0 幾何意義：在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對 值。 2證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質 之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質： （1）a a，當且僅當a 0時等號成立，a a.當且僅當a 0時等號 成立。

17、（2）a a ，（3）a b ab，（4） 2 a b a (b 0) b 那么a b a b ? a b a b ? 二、講解新課：二、講解新課： 結論：a a b b a a b b（當且僅當abab0 0時，等號成立.） 已知a a, ,b b是實數，試證明：a a b b a a b b（當且僅當abab0 0時，等號成立.） 方法一：證明:1 .當ab0 時, 2. 當aba，對一切實數x都成立，求實數a的取值 范圍。 四、課堂練習四、課堂練習：解下列不等式： 1、 22x1 1. 2、413x 1 03、 32x x4. 4、 x1 2 x. 5、x2 2x 4 16、x21 x

18、2. 7、 x x2 4 8、 x1 x3 6. 9、 x x1 2 10、x x 4 2. 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè)：課本課本 2020 第第 6 6、7 7、8 8、9 9 題。題。 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 知識 與 技能 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法 課型新授課 1、結合已經學過的數學實例，了解直接證明的三種基本方法：比較法、 分析法和綜合法。 2、了解分析法和綜合法的思考過程。 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)

19、造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重 難 點 單元 課時 計劃 重點：重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。 難點：難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。 教 學 過 程 設 計 一、引入一、引入： 1、要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式 的性質： 批 注 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 2、所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據不等式的性質或已知的不等式， 逐步推導出要證的不等式。 3、分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已 知中。前一種是“由因及果” ，后一種是“執(zhí)果索因”

20、。打一個比方：張三在山 里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法” ；而 張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法” 。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、設a,b都是正數，且a b，求證：a b a b ab。 3322 例 2、若實數x 1，求證：3(1 x x ) (1 x x ) . 證明：采用差值比較法： 2422 3(1 x2 x4) (1 x x2)2 =33x 3x 1 x x 2x 2x 2x =2(x x x 1) =2(x 1) (x x 1) =2(x 1) (x ) . 2 22 242423 43 1 2 2 3 4 13 x 1,從而(x

21、 1)2 0,且(x )2 0, 24 2(x 1) (x ) 0, 3(1 x x ) (1 x x ) . 討論：若題設中去掉x 1這一限制條件，要求證的結論如何變換？ abba 例 3、已知a,b R ,求證a b a b . 2422 2 1 2 2 3 4 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關于a,b對稱，不妨設a b 0. a b 0 a b a b a b (a abbabbabbab) 0 ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設a b 0, aabbaa 1,a b 0, ba ( )ab1.故原不等式得證。 ba b

22、b 例 4、已知a,b,c 0，且不全相等。求證： a(b c ) b(c a ) c(a b ) 6abc 222222 分析：用綜合法。 例 5、設a 0,b 0，求證a b a b ab . 證法一分析法 要證a b a b ab成立. 只需證(a b)(a ab b ) ab(a b)成立，又因a b 0， 只需證a ab b ab成立，又需證a 2ab b 0成立， 即需證(a b) 0成立.而(a b) 0顯然成立. 由此命題得證。 證法二綜合法 22 22 3322 3322 2222 (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab 注意到a 0,b 0，即a

23、b 0， 3322 由上式即得(a b)(a ab b ) ab(a b)，從而a b a b ab 22 成立。 議一議：根據上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？ 例 6、 已知 a， b， m 都是正數， 并且a b.求證： a ma （1） . b mb 證法一要證（1） ，只需證b(a m) a(b m)（2） 要證（2） ，只需證bm am（3） 要證（3） ，只需證b a（4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。 證法二因為b a,m是正數，所以bm am 兩邊同時加上ab得b(a m) a(b m)兩邊同時除以正數 b(

24、b m)得（1） 。 變式訓練、證明：a b c ab bc ca。 證法一： 因為 a b 2ab （2） 22 222 b c 2bc （3） c a 2ca （4） 所 以 三 式 相 加 得 2(a b c ) 2(ab bc ca) （5） 兩邊同時除以 2 即得（1） 。 證法二： 222 22 22 a2b2 c2(ab bc ca) 所以（1）成立。 111 (a b)2(b c)2(c a)2 0, 222 例 6、證明：(a b )(c d ) (ac bd) .（1） 證明（1）(a b )(c d ) (ac bd) 0（2） 22222 22222 a2c2b2c2

25、a2d2b2d2(a2c2 2abcd b2d2) 0（3） b2c2 a2d2 2abcd 0 （4） (bc ad)2 0 （5） （5）顯然成立。因此（1）成立。 例 7、已知a,b,c都是正數，求證a b c 3abc.并指出等號在什么 時候成立？ 分析：本題可以考慮利用因式分解公式 a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca) 著 手。 證明： a b c 3abc =(a b c)(a b c ab bc ca) = 由 222 333222 333 333 1 (a b c)(a b)2 (b c)2 (c a)2. 2 a,b,c 都是正數，所以于a b

26、c 0.而 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0， 可知a b c 3abc 0 即a b c 3abc（等號在a b c時成立） 333 探究探究：如果將不等式a b c 3abc中的a ,b ,c分別用a,b,c來代 333 333 333 替，并在兩邊同除以 3，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結果證明不等式： (1 a b)(1b c)(1 c a) 27，其中a,b,c是互不相等的正數， 且abc 1. 三、課堂小結三、課堂小結： 解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上 （或減去）一個數或代數式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）一個 正數或一個

27、正的代數式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也 是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。 四、課堂練習四、課堂練習： 1、已知x 0,求證：x 1 2. x 114 . xyx y a b. 2、已知x 0, y 0,x y,求證 3、已知a b 0,求證 a b 4、 已知a,b,c都是互不相等的正數， 求證(a b c)(ab bc ca) 9abc. 五、課后作業(yè)：五、課后作業(yè)： 課本課本 2525 頁第頁第 1 1、2 2、3 3、4 4 題。題。 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 反證法反證法 三 維 目 標 知識 與 技能 過程 與 方法

28、 情感態(tài) 度與價 值觀 課型新授課 通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步 驟，會用反證法證明簡單的命題。 會用反證法證明簡單的命題 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重 難 點 單元 課時 計劃 重點：重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。 難點：難點：會用反證法證明簡單的命題。 教 學 過 程 設 計 一、引入一、引入： 前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出 發(fā)，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式， 有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所

29、謂間接證明即是 指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它 的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方 法。 反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體 地說，反證法不直接證明命題“若 p 則 q” ，而是先肯定命題的條件 p，并否定 命題的結論 q，然后通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是 正確的。 利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟： 第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論； 第二步作出與所證不等式相反的假定； 批 注 第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果； 第四步斷定產生

30、矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原 證不等式成立。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、已知a b 0，求證：na 33 nb（nN且n 1） 例 1、設a b 2，求證a b 2. 證明：假設a b 2，則有a 2b，從而 a3 812b6b2b3, a b 6b 12b8 6(b 1) 2. 2 3322 3333 因為6(b 1) 2 2，所以a b 2，這與題設條件a b 2 矛盾，所以，原不等式a b 2成立。 例 2、設二次函數f (x) x px q，求證：f (1), f (2), f (3)中至少 有一個不小于 2 1 . 2 1 ，則 2 證明：假設f (1)

31、, f (2), f (3)都小于 f (1) 2 f (2) f (3) 2. （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有 f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2p q) (93p q) 2 （2） （1） 、 （2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。 注意注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有一個滿足某個 不等式時，通常采用反證法進行。 議一議議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通 常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及 與臨時假定矛盾等各

32、種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有 什么特點？ 例 3、設 0 a, b, c ,(1 c)a , 444 1 則三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 1(1a) a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 證：設 a 0,bc 0,則 b + c = a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛 盾，必有 a 0 同理可證：b 0,c 0 三、課堂練習三、課堂練習： 1、 利用反證法證明： 若已知 a， b， m 都是正數， 并且a b， 則 a ma . b mb 2、設 0

33、a, b, c 0，且 x + y 2，則 1 y1 x 和中至少有一個小于2。 yx 提示：反設 矛盾。 1 x1 y 2，2x, y 0，可得 x + y 2與 x + y 2 yx 四、課時小結：四、課時小結：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟： 第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論； 第二步作出與所證不等式相反的假定； 第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果； 第四步斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原 證不等式成立。 五、課后作業(yè)：五、課后作業(yè)： 課本課本 2929 頁第頁第 1 1、4 4 題。題。 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂

34、教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 重 難 點 單元 課時 計劃 知識 與 技能 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 不等式的證明方法之四：放縮法 課型新授課 1感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。 2探索用放縮法證明不等式的理論依據和技巧。 能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 1掌握證明不等式的兩種放縮技巧。 2體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。 教 學 過 程 設 計批 注 一、引入一、引入： 所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當地放大（或縮?。?，使之得出明 顯的不等量關系后，再應用不等

35、量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的 方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學習高等數學時用處 更為廣泛。 下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、若n是自然數，求證 證明： 1111 2. 2222123n 1111 ,k 2,3,4, ,n. k2k(k 1)k 1k 11111111 222211223(n 1)n123n = ( ) () ( 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 11 ) n 1n 1 2. n 1111 注意注意：實際上，我們在證明 2 2 2 2 2的過程中，已經得 123n 11111 到一個更強的

36、結論 2 2 2 2 2 ，這恰恰在一定程度上體現 n123n =2 了放縮法的基本思想。 1111 3. 112123123 n 111 證明：由 k1 ,（k是大于 2 的自然數） 123 k122 22 1111 得1 112123123 n 1 1 n 1111 2 3 1 3.11 2 3 n1 1 1 22222n1 1 2 例 2、求證：1 例3、若a,b,c,dR+，求證： 1 abcd 2 a b db c ac d bd a c 證：記 m = abcd a, b, c, dR+ a b db c ac d bd a c m abcd 1 a b c da b c ac d

37、 a bd a b c abcd m 2 1 m 2 時，求證：log n (n 1)log n (n 1) 1 證：n 2log n (n 1) 0, log n (n 1) 0 log n (n21) log n (n 1) log n (n 1) log n (n 1)log n (n 1) 22 log n n2 1 2 n 2 時, log n (n 1)log n (n 1) 1 三、課堂練習三、課堂練習： 2 2 2 11111 . n 1n 2n 32n2 1352n 11 2、設n為自然數，求證(2 )(2)(2) (2) . nnnnn! 1、設n為大于 1 的自然數，求證

38、 四、課時小結：四、課時小結： 常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式， （）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜担?，則分式的值放大； （）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè)：課本課本 2929 頁第頁第 2 2、3 3 題。題。 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 知識 與 技能 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 柯西不等式與排序不等式柯西不等式與排序不等式 課型新授課 認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維 柯西不等式及向量形式. 會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題， 體會運用

39、經典不等式的一 般方法發(fā)現具體問題與經典不等式之間的關系， 經過適當變形， 依據 經典不等式得到不等關系. 發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識。 重 難 點 單元 課時 計劃 重點重點：利用二維柯西不等式解決問題. 難點難點：如何變形，套用已知不等式的形式. 教 學 過 程 設 計 一、先學自研一、先學自研： 批 注 ab 1. 提問：二元均值不等式有哪幾種形式？ 答案： ab (a 0,b 0) 2 及幾種變式. 2. 練習：已知a、b、c、d為實數，求證(a2b2)(c2 d2) (acbd)2 證法： （比較法）(a2b2)(c2 d2)(ac bd)2

40、=.=(ad bc)2 0 二、講授新課：二、講授新課： 1.1. 柯西不等式：柯西不等式： 提出定理 1：若a、b、c、d為實數，則(a2b2)(c2 d2) (ac bd)2. 即二維形式的柯西不等式 什么時候取等號？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二： （綜合法）(a2b2)(c2 d2) a2c2 a2d2b2c2b2d2 (ac bd)2(ad bc)2 (acbd)2.（要點：展開配方） u rru r 證法三： （向量法）設向量m (a,b)，n (c,d)，則|m|a2b2， r |n|c2d2. u r ru r ru r ru r ru r ru r r

41、mn ac bd，且mn |m|n|cos m,n ，則|mn|m|n|. . 證法四： （函數法）設f (x) (a2b2)x22(ac bd)x c2 d2，則 f (x) (ax c)2(bx d)20 恒成立. 2(ac bd)24(a2b2)(c2 d2)0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式：a2b2g c2d2|acbd |或a2b2g c2d2|ac|bd | 或a2b2c2 d2 ac bd. u r u ru r u ru r u r 提出定理 2：設,是兩個向量，則|. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） u ru r u r 討論：上面時候等號成立

42、？（是零向量，或者,共線） 練習： 已知a、b、c、d為實數， 求證a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 證法： （分析法）平方 應用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構 造三角形） 2.2. 教學三角不等式：教學三角不等式： 出示定理 3：設x 1,y1,x2 ,y 2 R，則 x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2(x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2. 分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若x 1, y1,x2 , y 2 ,x 3 ,y 3 R，則結合以上幾何意義，可得到怎樣的三 角不等式？ 3、柯西不等式的應用 三、應用舉例：三、應用舉例： 例例 1 1：已知：

43、已知 a,ba,b 為實數，求證為實數，求證(a b )(a b ) (a b ) 4422332 說明：在證明不等式時，聯系經典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以 簡化運算。所以，經典不等式是數學研究的有力工具。 例題例題 2 2：求函數：求函數y 5 x 1 10 2x的最大值。 分析：利用不等式解決最值問題，通常設法在不等式的一邊得到一個常數，并 尋找不等式取等號的條件。這個函數的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。 （| acbd | 解：函數的定義域為【1，5】 ，且 y0 a2b2c2 d2） y 5x 12 5 x 52 ( 2)2( x 1

44、)2 ( 5 x)2 274 6 3 當且僅當 2 值6 3 x 1 55 x時，等號成立，即x 127 時，函數取最大 27 課堂練習：1. 證明: (x +y )(a +b )(a x+by ) 2.求函數y 3 x5 4 6 x的最大值. 例例 3.3.設設 a,ba,b 是正實數，是正實數，a+b=1a+b=1，求證，求證 分析： 注意到 2442222 11 4 ab 111111 有了(ab)()就可以用柯西不等式了。 (a b)()， ababab 鞏固練習鞏固練習 1：求函數y 3 x 1 102x的最大值？ 分析：如何變形？ 構造柯西不等式的形式 板演 變式：y 3x 1 1

45、0 2x 推廣：y a bx c de fx,(a,b,c,d,e, f R) 鞏固練習 2：已知3x 2y 1，求x2 y2的最小值. 解答要點： （湊配法）x2 y2 1 2 11 (x y2)(3222)(3x2y)2 . 131313 討論：其它方法 （數形結合法） 鞏固練習鞏固練習 3 3：若x, yR，x y 2，求證： 11 2. xy 分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對比 構造） 要點： 1 1 1 (x y)(1 1 ) 1 ( x)2(y)2( 1 )2( 1 )2 xy2xy2xy 討論：其它證法（利用基本不等式） 鞏固練習 4：已知a、bR ，求證：(ab)(1

46、 1) 4 . ab 四、課后練習：四、課后練習： 已知x, y,a,bR，且 ab 1，則x y的最小值. xy ab 要點：x y ()(x y) . 其它證法 xy 若x,y,zR ，且x y z 1，求x2 y2 z2的最小值.（要點：利用三 維柯西不等式） 變式：若x,y,zR ，且x y z 1，求x 五、課堂小結：五、課堂小結： 二維柯西不等式的代數形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、 三點） 六、布置作業(yè)：六、布置作業(yè)：P37P37 頁，頁，4 4，5 5， 7 7，8 8，9 9 教 學 反 思 y z的最大值. 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目

47、標 重 難 點 單元 課時 計劃 知識 與 技能 過程 與 方法 情感態(tài) 度與價 值觀 認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義； 通過運用這種不等式分析解決一些問題， 體會運用經典不等式的一般方法 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 課型新授課 通過運用這種不等式分析解決一些問題 重點重點：一般形式柯西不等式的證明思路，運用這個不等式證明不等式。 難點：難點：應用一般形式柯西不等式證明不等式。 教 學 過 程 設 計 一、復習引入一、復習引入： 定理定理 1 1： （柯西不等式的代數形式）設a,b,c,d均為實數，則 批 注 (a2b2)(c2 d2) (ac bd)2，其中等號當

48、且僅當ad bc時成立。 定理定理 2 2： （柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）設，為平面上的兩個向量，則 |，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反（即兩個向量 共線）時成立。 定理定理 3 3： （三角形不等式）（三角形不等式）設x1, y1,x2, y 2 ,x 3 , y 3 為任意實數，則： (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2(x 2 x 3 )2(y 2 y 3 )2(x 1 x 3 )2(y 1 y 3 )2 二、講授新課：二、講授新課： 類似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|.| | .將空間向 量的坐標代入，可得到 (a(a 1 1 a a 2 2 a

49、 a 3 3 )(b)(b 1 1 b b 2 2 b b 3 3 ) )(a(a 1 1 b b 1 1 a a 2 2 b b 2 2 a a 3 3 b b 3 3 ) )2 2當且僅當當且僅當， 共線時，共線時， 即即 0 0 ，或存在一個實數k，或存在一個實數k，使得a使得a i i kb b i i( (i i 1,2,3)時，等號 1,2,3)時，等號成立.成立. 2 22 22 22 22 22 2 這就是三維形式的柯西不等式. 對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等 式嗎？ 定理定理 4 4： （一般形式的柯西不等式）（一般形式的柯西不等式） ：設n

50、為大于 1 的自然數，ai,bi（i 1， 2，n）為任意實數，則： (a 1 2 a 2 2L a n 2)(b 1 2b 2 2L b n 2) (a 1b1 a 2b2 L a nbn ) 即ai i1 n 2 其中等號當且僅當 b i (a ibi )2， 2 i1i1 nnbb 1 b 2 n 時成立 （當 a 1 a 2 a n a i 0時，約定b i 0，i 1，2，n） 。 222 證明：構造二次函數：f (x) (a1x b1) (a2x b2) (anx bn) 即構造了一個二次函數： f (x) (a i 2)x2 2(a ibi )x b i 2 i1i1i1 nnn

51、 由于對任意實數x，f (x) 0恒成立，則其 0， 即： 4(a ibi ) 4(a i )(b i 2) 0， 2 2 i1i1 n nnn i1 即：(a ibi )2 (a i 2)(b i 2)， i1i1i1 nn 等號當且僅當a1x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0， 即等號當且僅當 b 1 b 2 b n時成立 （當ai 0時， 約定b i 0， 2， ， i 1， a 1 a 2 a n n） 。 如果ai（1 i n）全為 0，結論顯然成立。 三、應用舉例三、應用舉例： 1 例例 3 3已知已知 a a1 1,a,a2 2, ,a,an n都是實數，都是實

52、數， 求證：求證：(a 1 a 2 a n )2 a 1 2a 2 2 a n 2 n 分析：用 n 乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。 例例 4 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的實數，證明：a + b + c + d ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d 這四個數組成的式子，特別是右邊式子的 字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進行證明。 2222 例5、已知例5、已知x 2 2y 3 3z 1,1,求求x2 2 y2 2 z2 2的最小值.的最小值. 分析：由x 2 2y 3 3z 1 1以及 x2 2 y2 2 z2 2的的

53、形式，聯系柯西不等式，可以 通過構造（1 +2 +3 ）作為一個因式而解決問題。 四、鞏固練習：四、鞏固練習： 練習練習：1已知a，b，c 為正實數，且a +2b +3c =6，求a+b+c 的最小值。 （08 廣 一模） 2已知a，b，c 為正實數，且a+2b+c=1，求 莞二模） 3已知 x+y+z=2 5，則 m=x +2y +z 的最小值是_.(08 惠州 222 222 222 111 （08 東的最小值。 abc 調研) 六、布置作業(yè)六、布置作業(yè)：P41 習題 3.2 2，3，4，5 教 學 反 思 成都市華陽中學課堂教學單元設計 單元名稱 三 維 目 標 重 難 點 單元 課時

54、計劃 教 學 過 程 設 計 一、復習準備一、復習準備： 閱讀教材：P41P44， 1. 提問： 前面所學習的一些經典不等式？（柯西不等式、三角不等式） 2. 舉例：說說兩類經典不等式的應用實例. 二、講授新課：二、講授新課： 1.1. 教學排序不等式：教學排序不等式： . 如 如圖， 設AOB，自點O沿OA邊依次取n個點A 1, A2 ,L , A n ， OB邊依次取取n個點B 1,B2 ,L ,B n ，在OA邊取某個點Ai與OB邊 某個點B j 連接，得到AOB ij ，這樣一一搭配，一共可得到 n個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的AOB ij 不同，問：OA邊上的點與OB邊上的點

55、如何搭配，才能使n個三角形的 面積和最大（或最?。?？ 知識 與 技能 排序不等式排序不等式 課型新授課 了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題 過程 體會運用經典不等式的一般思想方法 與 方法 情感態(tài)發(fā)展學生的思維能力，通過觀察、探索、發(fā)現的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 度與價識。 值觀 重點：重點：應用排序不等式證明不等式 難點：難點：排序不等式的證明思路 批 注 設OA i a i ,OB j b j (i, j 1,2,L ,n)，由已知條件，得 a 1 a 2 a 3 L a n ,b 1 b 2 b 3 L b n 因為AOB ij 的面積是，而是常數，于是，上面的

56、幾何問題就 可以歸結為 代數問題：代數問題：設c 1,c2,L ,cn是數組b1,b2,L ,bn的任何一個排列 , 則則 S a 1c1 a 2c2 L a ncn 何時取最大（或最?。┲?？ 我們把S a1c 1 a 2c2 L a ncn 叫做數組(a 1,a2 ,L ,a n )與(b 1,b2,L ,bn) 的 亂序和亂序和. . 其中, S 1 a 1bn a 2bn1 a 3bn2 L a nb1稱為 序和序和. . S 2 a 1b1 a 2b2 a 3b3 L a nbn 稱為序和序和. .這樣的三個和大小關這樣的三個和大小關 系如何系如何? ? 設有兩個有序實數組:a 1 a

57、 2 a n ;b 1 b 2 b n ，c 1,c2 , c n 是 b 1,b2 ， ,b n 的任一排列,則有 +a nbn (同序和) a 1c1 a 2c2 + +a ncn (亂序a 1b1 a 2b2 和) a 1bn a 2bn1 + +a nb1 (反序和) 當且僅當a 1 a 2 =a n 或b 1 b 2 =b n 時，反序和等于同序和. （要點：理解其思想，記住其形式） 三、應用舉例三、應用舉例： 例 1：設a 1,a2 ,a n 是n個互不相同的正整數，求證： 1 a . aa 3 111 a 1 2 2 n 223n23n2 分析：如何構造有序排列？ 如何運用套用排序不等式？ 證明過程： 設b 1,b2 ,b n 是a 1,a2 ,a n 的一個排列， 且b 1 b 2 b n ，則b 1 1,b 2 2,b n n. 又1 1 2 1 2 1 2 ，由排序不等式，得 23n a 3 ab bb 3a 1 a 2 2 nb 1 2 2 n 222223n23n 小結：分析目標，構造有