1、成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 不等式和絕對(duì)值不等式不等式和絕對(duì)值不等式 課型新授課 1 理解用兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)來(lái)規(guī)定兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的意義，建立不等式 研究的基礎(chǔ)。 2 掌握不等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會(huì)用不等式的基本性質(zhì)判 斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡(jiǎn)單的不等式。 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)：重點(diǎn)：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：靈活應(yīng)用不

2、等式的基本性質(zhì)。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、新課引入一、新課引入： 生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a 克糖水中含有 b 克糖 (ab0)，若再加 m(m0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為 證 批 注 bb m ，加入 m 克糖 后的糖水濃度為，只要 aa m b mb 即可。怎么證呢? a ma 二、不等式的基本性質(zhì)二、不等式的基本性質(zhì)： 1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系： 數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù) 軸上的表示可知： a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要

3、考察它們的差的符號(hào)即可。 2、不等式的基本性質(zhì)： 、如果 ab，那么 ba，如果 bb。(對(duì)稱性) 、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。 、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。 推論：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d 、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么 acb 0，那么a b 、如果 ab 0，那么na 三、典型例題三、典型例題： 例 1、比較(x 3)(x 7)和(x 4)(x 6)的大小。 分析：通過(guò)考察它們的差與0 的大小關(guān)系，得出這兩個(gè)多項(xiàng)式的大小關(guān)系。 例 2、已知a b,c

4、d，求證：a c bd 例 3、已知 ab0，cd0，求證： 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)： 1：已知x 3，比較x 11x與6x 6的大小。 2：已知 ab0，cd1) b (nN，且 n1)。 a d b c 。 ba 。 a cb d 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 知識(shí) 與 技能 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 基本不等式基本不等式 課型新授課 1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式定理； 2.能夠簡(jiǎn)單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)

5、程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重點(diǎn)：重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：等號(hào)成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、知識(shí)學(xué)習(xí)：一、知識(shí)學(xué)習(xí)： 定理定理 1 1：如果a、bR，那么ab2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)） 證明：ab2ab（ab） 當(dāng)ab時(shí)， （ab） 0，當(dāng)ab時(shí)， （ab） 0 所以， （ab） 0即ab2ab 由上面的結(jié)論，我們又可得到 定理定理 2 2（基本不等式）（基本不等式） ：如果a，b是正數(shù)，那么 2 2 2 22 2 22 22 批 注 ab 2 ab（當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)取“”號(hào)） 證明：（a） （b） 2ab ab2ab，即 22 ab 2

6、2 ab ab顯然，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)， 說(shuō)明：1）我們稱 ab ab 2 為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a，b的幾何平均 數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均 數(shù). 2）ab2ab和 2 2 ab 2 ab成立的條件是不同的：前者只要求a，b 都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù). 3） “當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件. 4）幾何意義. 二、例題講解：二、例題講解： 例 1 已知x，y都是正數(shù)，求證： （1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值 2P； 1 2 （2）如果和xy是定值S，那么當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值S 4 證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以 （

7、1）積xy為定值P時(shí)，有 xy 2 xy xy 2 Pxy2P 上式當(dāng)xy時(shí)，取“”號(hào)，因此，當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值 2P . S1 2 （2）和xy為定值S時(shí)，有xyxyS 24 1 2 上式當(dāng)x=y時(shí)取“”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S. 4 說(shuō)明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件： ）函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); )函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)； ）等號(hào)成立條件必須存在。 例 2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證： （abcd） （acbd）4abcd 分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正 確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等

8、式定理的條件的認(rèn)識(shí). 證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得 abcd 2 abcd0，acbd 2 acbd0， （abcd）（acbd） abcd 4 即（abcd） （acbd）4abcd 例 3某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為 4800m ，深為 3m， 如果池底每 1m 的造價(jià)為 150 元，池壁每 1m 的造價(jià)為 120 元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池 22 3 能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然 后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得 l240000

9、720（x1600）2400007202 x x1600 x 240000720240297600 1600 當(dāng)x，即x40 時(shí)，l有最小值 297600 x 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為 40m 的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低 總造價(jià)是 297600 元. 評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函 數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適 用條件. 三、課堂練習(xí)：三、課堂練習(xí)：課本 P91練習(xí) 1，2，3，4. 四、課堂小結(jié)：四、課堂小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平 均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不

10、等式及求函數(shù)的最值， ，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng) 注意定理的適用條件。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè) 課本 P10習(xí)題 1.1 第 5，6，7 題 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)- -幾何平均不等式幾何平均不等式 課型新授課 1能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式， 解決最值問(wèn)題； 2了解基本不等式的推廣形式。 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)：重

11、點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式 難點(diǎn)：難點(diǎn)：利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式， 解決最值問(wèn)題 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、知識(shí)學(xué)習(xí)：一、知識(shí)學(xué)習(xí)： 批 注 a b c 3 定理定理 3 3：如果：如果a,b,cR，那么，那么 abc。當(dāng)且僅當(dāng) 。當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)，時(shí)， 3 等號(hào)成立。等號(hào)成立。 推廣： a 1 a 2 a n n a 1a2 a n 。當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an時(shí)，等 n 號(hào)成立。 語(yǔ)言表述：n 個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 思考： 類比基本不等式， 是否存在： 如果a,b,cR， 那么a b c 3abc （當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)，等號(hào)

12、成立）呢？試證明。 二、例題分析：二、例題分析： 例 1：求函數(shù)y 2x 2 333 2 3 (x 0)的最小值。 x 解一： y 2x 3121 2 2x2 332x2 334y min 334 xxxx x 33123 2 3 2 解二：y 2x 2 2x 2 6x當(dāng)2x 即x 時(shí) xx2x 2 3 ymin 2 6 12 2 3312 26324 2 上述兩種做法哪種是錯(cuò)的？錯(cuò)誤的原因是什么？ 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 1 若a,b R 且a b,求a 1 的最小值。 (a b)b 由此題，由此題， 你覺(jué)得在利用不等式解決這類題目時(shí)關(guān)鍵是要你覺(jué)得在利用不等式解決這類題目時(shí)關(guān)鍵是要_ 例 2

13、：如下圖，把一塊邊長(zhǎng)是 a 的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形， 再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個(gè)無(wú)蓋方底的盒子，問(wèn)切去的正方形邊長(zhǎng)是多 少時(shí)，才能使盒子的容積最大？ 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 2已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值，試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高 各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值 由例題，我們應(yīng)該更牢記由例題，我們應(yīng)該更牢記 一一 _ _ 二二 _ _ 三三 _ _，三者缺一不可。另，三者缺一不可。另 外，由不等號(hào)的方向也可以知道：積定外，由不等號(hào)的方向也可以知道：積定_，和定，和定_._. 三、鞏固練習(xí)三、鞏固練習(xí) 1.函數(shù)y 3x 12 (x 0)的最小值是 ( ) 2x A.

14、6B.6 6C.9D.12 2.函數(shù)y 4x 2 16 的最小值是_ (x21)2 2)的最大值是（ ） 42 3函數(shù)y x (2 x )(0 x A.0B.1C. 1632 D. 2727 xyz2 4.(2009 浙江自選)已知正數(shù)x, y,z滿足x y z 1，求4 4 4的最小 值。 5（2008，江蘇，21）設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，求證： 四、課堂小結(jié)：四、課堂小結(jié)： 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平 均數(shù)的定理，并會(huì)應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值， ，但是在應(yīng)用時(shí)，應(yīng) 注意定理的適用條件。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè) P10習(xí)題 1.1 第 11，1

15、2，13 題 教 學(xué) 反 思 111 abc 2 3 a3b3c3 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 了解絕對(duì)值三角不等式的含義，理解絕對(duì)值三角不等式公式及推導(dǎo)方法， 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會(huì)轉(zhuǎn)化和數(shù)形 結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對(duì)值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 絕對(duì)值三角不等式絕對(duì)值三角不等式 課型新授課 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)：重點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的含義，絕對(duì)值三角不等式的理解

16、和運(yùn)用。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)、取等條件。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、復(fù)習(xí)引入：一、復(fù)習(xí)引入： 關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一 類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問(wèn)題。 1請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。 批 注 x，如果x 0 x 0，如果x 0 。 x，如果x 0 幾何意義：在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì) 值。 2證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì) 之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)： （1）a a，當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)等號(hào)成立，a a.當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)等號(hào) 成立。

17、（2）a a ，（3）a b ab，（4） 2 a b a (b 0) b 那么a b a b ? a b a b ? 二、講解新課：二、講解新課： 結(jié)論：a a b b a a b b（當(dāng)且僅當(dāng)abab0 0時(shí)，等號(hào)成立.） 已知a a, ,b b是實(shí)數(shù)，試證明：a a b b a a b b（當(dāng)且僅當(dāng)abab0 0時(shí)，等號(hào)成立.） 方法一：證明:1 .當(dāng)ab0 時(shí), 2. 當(dāng)aba，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍。 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)：解下列不等式： 1、 22x1 1. 2、413x 1 03、 32x x4. 4、 x1 2 x. 5、x2 2x 4 16、x21 x

18、2. 7、 x x2 4 8、 x1 x3 6. 9、 x x1 2 10、x x 4 2. 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè)：課本課本 2020 第第 6 6、7 7、8 8、9 9 題。題。 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法 課型新授課 1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的三種基本方法：比較法、 分析法和綜合法。 2、了解分析法和綜合法的思考過(guò)程。 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)

19、造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)：重點(diǎn)：會(huì)用綜合法證明問(wèn)題；了解綜合法的思考過(guò)程。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、引入一、引入： 1、要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可，即利用不等式 的性質(zhì)： 批 注 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 2、所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式， 逐步推導(dǎo)出要證的不等式。 3、分析法，則是由結(jié)果開(kāi)始，倒過(guò)來(lái)尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已 知中。前一種是“由因及果” ，后一種是“執(zhí)果索因”

20、。打一個(gè)比方：張三在山 里迷了路，救援人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法” ；而 張三自己找路，直至回到駐地，這是“分析法” 。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、設(shè)a,b都是正數(shù)，且a b，求證：a b a b ab。 3322 例 2、若實(shí)數(shù)x 1，求證：3(1 x x ) (1 x x ) . 證明：采用差值比較法： 2422 3(1 x2 x4) (1 x x2)2 =33x 3x 1 x x 2x 2x 2x =2(x x x 1) =2(x 1) (x x 1) =2(x 1) (x ) . 2 22 242423 43 1 2 2 3 4 13 x 1,從而(x

21、 1)2 0,且(x )2 0, 24 2(x 1) (x ) 0, 3(1 x x ) (1 x x ) . 討論：若題設(shè)中去掉x 1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？ abba 例 3、已知a,b R ,求證a b a b . 2422 2 1 2 2 3 4 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關(guān)于a,b對(duì)稱，不妨設(shè)a b 0. a b 0 a b a b a b (a abbabbabbab) 0 ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設(shè)a b 0, aabbaa 1,a b 0, ba ( )ab1.故原不等式得證。 ba b

22、b 例 4、已知a,b,c 0，且不全相等。求證： a(b c ) b(c a ) c(a b ) 6abc 222222 分析：用綜合法。 例 5、設(shè)a 0,b 0，求證a b a b ab . 證法一分析法 要證a b a b ab成立. 只需證(a b)(a ab b ) ab(a b)成立，又因a b 0， 只需證a ab b ab成立，又需證a 2ab b 0成立， 即需證(a b) 0成立.而(a b) 0顯然成立. 由此命題得證。 證法二綜合法 22 22 3322 3322 2222 (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab 注意到a 0,b 0，即a

23、b 0， 3322 由上式即得(a b)(a ab b ) ab(a b)，從而a b a b ab 22 成立。 議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點(diǎn)嗎？ 例 6、 已知 a， b， m 都是正數(shù)， 并且a b.求證： a ma （1） . b mb 證法一要證（1） ，只需證b(a m) a(b m)（2） 要證（2） ，只需證bm am（3） 要證（3） ，只需證b a（4） 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。 證法二因?yàn)閎 a,m是正數(shù)，所以bm am 兩邊同時(shí)加上ab得b(a m) a(b m)兩邊同時(shí)除以正數(shù) b(

24、b m)得（1） 。 變式訓(xùn)練、證明：a b c ab bc ca。 證法一： 因?yàn)?a b 2ab （2） 22 222 b c 2bc （3） c a 2ca （4） 所 以 三 式 相 加 得 2(a b c ) 2(ab bc ca) （5） 兩邊同時(shí)除以 2 即得（1） 。 證法二： 222 22 22 a2b2 c2(ab bc ca) 所以（1）成立。 111 (a b)2(b c)2(c a)2 0, 222 例 6、證明：(a b )(c d ) (ac bd) .（1） 證明（1）(a b )(c d ) (ac bd) 0（2） 22222 22222 a2c2b2c2

25、a2d2b2d2(a2c2 2abcd b2d2) 0（3） b2c2 a2d2 2abcd 0 （4） (bc ad)2 0 （5） （5）顯然成立。因此（1）成立。 例 7、已知a,b,c都是正數(shù)，求證a b c 3abc.并指出等號(hào)在什么 時(shí)候成立？ 分析：本題可以考慮利用因式分解公式 a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca) 著 手。 證明： a b c 3abc =(a b c)(a b c ab bc ca) = 由 222 333222 333 333 1 (a b c)(a b)2 (b c)2 (c a)2. 2 a,b,c 都是正數(shù)，所以于a b

26、c 0.而 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0， 可知a b c 3abc 0 即a b c 3abc（等號(hào)在a b c時(shí)成立） 333 探究探究：如果將不等式a b c 3abc中的a ,b ,c分別用a,b,c來(lái)代 333 333 333 替，并在兩邊同除以 3，會(huì)得到怎樣的不等式？并利用得到的結(jié)果證明不等式： (1 a b)(1b c)(1 c a) 27，其中a,b,c是互不相等的正數(shù)， 且abc 1. 三、課堂小結(jié)三、課堂小結(jié)： 解不等式時(shí)，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時(shí)加上 （或減去）一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，移項(xiàng)，在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè) 正數(shù)或一個(gè)

27、正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來(lái)的不等式等價(jià)。這些方法，也 是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧。 四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)： 1、已知x 0,求證：x 1 2. x 114 . xyx y a b. 2、已知x 0, y 0,x y,求證 3、已知a b 0,求證 a b 4、 已知a,b,c都是互不相等的正數(shù)， 求證(a b c)(ab bc ca) 9abc. 五、課后作業(yè)：五、課后作業(yè)： 課本課本 2525 頁(yè)第頁(yè)第 1 1、2 2、3 3、4 4 題。題。 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 反證法反證法 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 過(guò)程 與 方法

28、 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 課型新授課 通過(guò)實(shí)例，體會(huì)反證法的含義、過(guò)程與方法，了解反證法的基本步 驟，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。 會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)：重點(diǎn)：體會(huì)反證法證明命題的思路方法，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、引入一、引入： 前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說(shuō)，直接從題設(shè)出 發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對(duì)于一些較復(fù)雜的不等式， 有時(shí)很難直接入手求證，這時(shí)可考慮采用間接證明的方法。所

29、謂間接證明即是 指不直接從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它 的等價(jià)命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方 法。 反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾。具體 地說(shuō)，反證法不直接證明命題“若 p 則 q” ，而是先肯定命題的條件 p，并否定 命題的結(jié)論 q，然后通過(guò)合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來(lái)的結(jié)論是 正確的。 利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟： 第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步作出與所證不等式相反的假定； 批 注 第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步斷定產(chǎn)生

30、矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原 證不等式成立。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、已知a b 0，求證：na 33 nb（nN且n 1） 例 1、設(shè)a b 2，求證a b 2. 證明：假設(shè)a b 2，則有a 2b，從而 a3 812b6b2b3, a b 6b 12b8 6(b 1) 2. 2 3322 3333 因?yàn)?(b 1) 2 2，所以a b 2，這與題設(shè)條件a b 2 矛盾，所以，原不等式a b 2成立。 例 2、設(shè)二次函數(shù)f (x) x px q，求證：f (1), f (2), f (3)中至少 有一個(gè)不小于 2 1 . 2 1 ，則 2 證明：假設(shè)f (1)

31、, f (2), f (3)都小于 f (1) 2 f (2) f (3) 2. （1） 另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有 f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2p q) (93p q) 2 （2） （1） 、 （2）兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來(lái)的結(jié)論正確。 注意注意：諸如本例中的問(wèn)題，當(dāng)要證明幾個(gè)代數(shù)式中，至少有一個(gè)滿足某個(gè) 不等式時(shí)，通常采用反證法進(jìn)行。 議一議議一議：一般來(lái)說(shuō)，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通 常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及 與臨時(shí)假定矛盾等各

32、種情況。試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有 什么特點(diǎn)？ 例 3、設(shè) 0 a, b, c ,(1 c)a , 444 1 則三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 1(1a) a 又0 a, b, c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 證：設(shè) a 0,bc 0,則 b + c = a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛 盾，必有 a 0 同理可證：b 0,c 0 三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)： 1、 利用反證法證明： 若已知 a， b， m 都是正數(shù)， 并且a b， 則 a ma . b mb 2、設(shè) 0

33、a, b, c 0，且 x + y 2，則 1 y1 x 和中至少有一個(gè)小于2。 yx 提示：反設(shè) 矛盾。 1 x1 y 2，2x, y 0，可得 x + y 2與 x + y 2 yx 四、課時(shí)小結(jié)：四、課時(shí)小結(jié)：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個(gè)步驟： 第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論； 第二步作出與所證不等式相反的假定； 第三步從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果； 第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所作的假定不正確，于是原 證不等式成立。 五、課后作業(yè)：五、課后作業(yè)： 課本課本 2929 頁(yè)第頁(yè)第 1 1、4 4 題。題。 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂

34、教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 知識(shí) 與 技能 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 不等式的證明方法之四：放縮法 課型新授課 1感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。 2探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。 能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 1掌握證明不等式的兩種放縮技巧。 2體會(huì)用放縮法證明不等式時(shí)放大或縮小的“度”。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì)批 注 一、引入一、引入： 所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當(dāng)?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。?，使之得出明 顯的不等量關(guān)系后，再應(yīng)用不等

35、量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的 方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)用處 更為廣泛。 下面我們通過(guò)一些簡(jiǎn)單例證體會(huì)這種方法的基本思想。 二、典型例題二、典型例題： 例 1、若n是自然數(shù)，求證 證明： 1111 2. 2222123n 1111 ,k 2,3,4, ,n. k2k(k 1)k 1k 11111111 222211223(n 1)n123n = ( ) () ( 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 11 ) n 1n 1 2. n 1111 注意注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明 2 2 2 2 2的過(guò)程中，已經(jīng)得 123n 11111 到一個(gè)更強(qiáng)的

36、結(jié)論 2 2 2 2 2 ，這恰恰在一定程度上體現(xiàn) n123n =2 了放縮法的基本思想。 1111 3. 112123123 n 111 證明：由 k1 ,（k是大于 2 的自然數(shù)） 123 k122 22 1111 得1 112123123 n 1 1 n 1111 2 3 1 3.11 2 3 n1 1 1 22222n1 1 2 例 2、求證：1 例3、若a,b,c,dR+，求證： 1 abcd 2 a b db c ac d bd a c 證：記 m = abcd a, b, c, dR+ a b db c ac d bd a c m abcd 1 a b c da b c ac d

37、 a bd a b c abcd m 2 1 m 2 時(shí)，求證：log n (n 1)log n (n 1) 1 證：n 2log n (n 1) 0, log n (n 1) 0 log n (n21) log n (n 1) log n (n 1) log n (n 1)log n (n 1) 22 log n n2 1 2 n 2 時(shí), log n (n 1)log n (n 1) 1 三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)： 2 2 2 11111 . n 1n 2n 32n2 1352n 11 2、設(shè)n為自然數(shù)，求證(2 )(2)(2) (2) . nnnnn! 1、設(shè)n為大于 1 的自然數(shù)，求證

38、 四、課時(shí)小結(jié)：四、課時(shí)小結(jié)： 常用的兩種放縮技巧：對(duì)于分子分母均取正值的分式， （）如果分子不變，分母縮小（分母仍為正數(shù)），則分式的值放大； （）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。 五、課后作業(yè)五、課后作業(yè)：課本課本 2929 頁(yè)第頁(yè)第 2 2、3 3 題。題。 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 知識(shí) 與 技能 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 柯西不等式與排序不等式柯西不等式與排序不等式 課型新授課 認(rèn)識(shí)二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會(huì)證明二維 柯西不等式及向量形式. 會(huì)利用二維柯西不等式及三角不等式解決問(wèn)題， 體會(huì)運(yùn)用

39、經(jīng)典不等式的一 般方法發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系， 經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形， 依據(jù) 經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系. 發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 識(shí)。 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 重點(diǎn)重點(diǎn)：利用二維柯西不等式解決問(wèn)題. 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何變形，套用已知不等式的形式. 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、先學(xué)自研一、先學(xué)自研： 批 注 ab 1. 提問(wèn)：二元均值不等式有哪幾種形式？ 答案： ab (a 0,b 0) 2 及幾種變式. 2. 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證(a2b2)(c2 d2) (acbd)2 證法： （比較法）(a2b2)(c2 d2)(ac bd)2

40、=.=(ad bc)2 0 二、講授新課：二、講授新課： 1.1. 柯西不等式：柯西不等式： 提出定理 1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2 d2) (ac bd)2. 即二維形式的柯西不等式 什么時(shí)候取等號(hào)？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二： （綜合法）(a2b2)(c2 d2) a2c2 a2d2b2c2b2d2 (ac bd)2(ad bc)2 (acbd)2.（要點(diǎn)：展開(kāi)配方） u rru r 證法三： （向量法）設(shè)向量m (a,b)，n (c,d)，則|m|a2b2， r |n|c2d2. u r ru r ru r ru r ru r ru r r

41、mn ac bd，且mn |m|n|cos m,n ，則|mn|m|n|. . 證法四： （函數(shù)法）設(shè)f (x) (a2b2)x22(ac bd)x c2 d2，則 f (x) (ax c)2(bx d)20 恒成立. 2(ac bd)24(a2b2)(c2 d2)0，即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式：a2b2g c2d2|acbd |或a2b2g c2d2|ac|bd | 或a2b2c2 d2 ac bd. u r u ru r u ru r u r 提出定理 2：設(shè),是兩個(gè)向量，則|. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） u ru r u r 討論：上面時(shí)候等號(hào)成立

42、？（是零向量，或者,共線） 練習(xí)： 已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)， 求證a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 證法： （分析法）平方 應(yīng)用柯西不等式 討論：其幾何意義？（構(gòu) 造三角形） 2.2. 教學(xué)三角不等式：教學(xué)三角不等式： 出示定理 3：設(shè)x 1,y1,x2 ,y 2 R，則 x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2(x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2. 分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式：若x 1, y1,x2 , y 2 ,x 3 ,y 3 R，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三 角不等式？ 3、柯西不等式的應(yīng)用 三、應(yīng)用舉例：三、應(yīng)用舉例： 例例 1 1：已知：

43、已知 a,ba,b 為實(shí)數(shù)，求證為實(shí)數(shù)，求證(a b )(a b ) (a b ) 4422332 說(shuō)明：在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以 簡(jiǎn)化運(yùn)算。所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具。 例題例題 2 2：求函數(shù)：求函數(shù)y 5 x 1 10 2x的最大值。 分析：利用不等式解決最值問(wèn)題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個(gè)常數(shù)，并 尋找不等式取等號(hào)的條件。這個(gè)函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。 （| acbd | 解：函數(shù)的定義域?yàn)椤?，5】 ，且 y0 a2b2c2 d2） y 5x 12 5 x 52 ( 2)2( x 1

44、)2 ( 5 x)2 274 6 3 當(dāng)且僅當(dāng) 2 值6 3 x 1 55 x時(shí)，等號(hào)成立，即x 127 時(shí)，函數(shù)取最大 27 課堂練習(xí)：1. 證明: (x +y )(a +b )(a x+by ) 2.求函數(shù)y 3 x5 4 6 x的最大值. 例例 3.3.設(shè)設(shè) a,ba,b 是正實(shí)數(shù)，是正實(shí)數(shù)，a+b=1a+b=1，求證，求證 分析： 注意到 2442222 11 4 ab 111111 有了(ab)()就可以用柯西不等式了。 (a b)()， ababab 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 1：求函數(shù)y 3 x 1 102x的最大值？ 分析：如何變形？ 構(gòu)造柯西不等式的形式 板演 變式：y 3x 1 1

45、0 2x 推廣：y a bx c de fx,(a,b,c,d,e, f R) 鞏固練習(xí) 2：已知3x 2y 1，求x2 y2的最小值. 解答要點(diǎn)： （湊配法）x2 y2 1 2 11 (x y2)(3222)(3x2y)2 . 131313 討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法） 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 3 3：若x, yR，x y 2，求證： 11 2. xy 分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對(duì)比 構(gòu)造） 要點(diǎn)： 1 1 1 (x y)(1 1 ) 1 ( x)2(y)2( 1 )2( 1 )2 xy2xy2xy 討論：其它證法（利用基本不等式） 鞏固練習(xí) 4：已知a、bR ，求證：(ab)(1

46、 1) 4 . ab 四、課后練習(xí)：四、課后練習(xí)： 已知x, y,a,bR，且 ab 1，則x y的最小值. xy ab 要點(diǎn)：x y ()(x y) . 其它證法 xy 若x,y,zR ，且x y z 1，求x2 y2 z2的最小值.（要點(diǎn)：利用三 維柯西不等式） 變式：若x,y,zR ，且x y z 1，求x 五、課堂小結(jié)：五、課堂小結(jié)： 二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、 三點(diǎn)） 六、布置作業(yè)：六、布置作業(yè)：P37P37 頁(yè)，頁(yè)，4 4，5 5， 7 7，8 8，9 9 教 學(xué) 反 思 y z的最大值. 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目

47、標(biāo) 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí) 計(jì)劃 知識(shí) 與 技能 過(guò)程 與 方法 情感態(tài) 度與價(jià) 值觀 認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義； 通過(guò)運(yùn)用這種不等式分析解決一些問(wèn)題， 體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式 課型新授課 通過(guò)運(yùn)用這種不等式分析解決一些問(wèn)題 重點(diǎn)重點(diǎn)：一般形式柯西不等式的證明思路，運(yùn)用這個(gè)不等式證明不等式。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：應(yīng)用一般形式柯西不等式證明不等式。 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入： 定理定理 1 1： （柯西不等式的代數(shù)形式）設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，則 批 注 (a2b2)(c2 d2) (ac bd)2，其中等號(hào)當(dāng)

48、且僅當(dāng)ad bc時(shí)成立。 定理定理 2 2： （柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則 |，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反（即兩個(gè)向量 共線）時(shí)成立。 定理定理 3 3： （三角形不等式）（三角形不等式）設(shè)x1, y1,x2, y 2 ,x 3 , y 3 為任意實(shí)數(shù)，則： (x 1 x 2 )2(y 1 y 2 )2(x 2 x 3 )2(y 2 y 3 )2(x 1 x 3 )2(y 1 y 3 )2 二、講授新課：二、講授新課： 類似的，從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|.| | .將空間向 量的坐標(biāo)代入，可得到 (a(a 1 1 a a 2 2 a

49、 a 3 3 )(b)(b 1 1 b b 2 2 b b 3 3 ) )(a(a 1 1 b b 1 1 a a 2 2 b b 2 2 a a 3 3 b b 3 3 ) )2 2當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)， 共線時(shí)，共線時(shí)， 即即 0 0 ，或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得a使得a i i kb b i i( (i i 1,2,3)時(shí)，等號(hào) 1,2,3)時(shí)，等號(hào)成立.成立. 2 22 22 22 22 22 2 這就是三維形式的柯西不等式. 對(duì)比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等 式嗎？ 定理定理 4 4： （一般形式的柯西不等式）（一般形式的柯西不等式） ：設(shè)n

50、為大于 1 的自然數(shù)，ai,bi（i 1， 2，n）為任意實(shí)數(shù)，則： (a 1 2 a 2 2L a n 2)(b 1 2b 2 2L b n 2) (a 1b1 a 2b2 L a nbn ) 即ai i1 n 2 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) b i (a ibi )2， 2 i1i1 nnbb 1 b 2 n 時(shí)成立 （當(dāng) a 1 a 2 a n a i 0時(shí)，約定b i 0，i 1，2，n） 。 222 證明：構(gòu)造二次函數(shù)：f (x) (a1x b1) (a2x b2) (anx bn) 即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)： f (x) (a i 2)x2 2(a ibi )x b i 2 i1i1i1 nnn

51、 由于對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f (x) 0恒成立，則其 0， 即： 4(a ibi ) 4(a i )(b i 2) 0， 2 2 i1i1 n nnn i1 即：(a ibi )2 (a i 2)(b i 2)， i1i1i1 nn 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1x b 1 a 2 x b 2 a n x b n 0， 即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) b 1 b 2 b n時(shí)成立 （當(dāng)ai 0時(shí)， 約定b i 0， 2， ， i 1， a 1 a 2 a n n） 。 如果ai（1 i n）全為 0，結(jié)論顯然成立。 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例： 1 例例 3 3已知已知 a a1 1,a,a2 2, ,a,an n都是實(shí)數(shù)，都是實(shí)

52、數(shù)， 求證：求證：(a 1 a 2 a n )2 a 1 2a 2 2 a n 2 n 分析：用 n 乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。 例例 4 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的實(shí)數(shù)，證明：a + b + c + d ab + bc + cd + da 分析：上式兩邊都是由a,b,c,d 這四個(gè)數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的 字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。 2222 例5、已知例5、已知x 2 2y 3 3z 1,1,求求x2 2 y2 2 z2 2的最小值.的最小值. 分析：由x 2 2y 3 3z 1 1以及 x2 2 y2 2 z2 2的的

53、形式，聯(lián)系柯西不等式，可以 通過(guò)構(gòu)造（1 +2 +3 ）作為一個(gè)因式而解決問(wèn)題。 四、鞏固練習(xí)：四、鞏固練習(xí)： 練習(xí)練習(xí)：1已知a，b，c 為正實(shí)數(shù)，且a +2b +3c =6，求a+b+c 的最小值。 （08 廣 一模） 2已知a，b，c 為正實(shí)數(shù)，且a+2b+c=1，求 莞二模） 3已知 x+y+z=2 5，則 m=x +2y +z 的最小值是_.(08 惠州 222 222 222 111 （08 東的最小值。 abc 調(diào)研) 六、布置作業(yè)六、布置作業(yè)：P41 習(xí)題 3.2 2，3，4，5 教 學(xué) 反 思 成都市華陽(yáng)中學(xué)課堂教學(xué)單元設(shè)計(jì) 單元名稱 三 維 目 標(biāo) 重 難 點(diǎn) 單元 課時(shí)

54、計(jì)劃 教 學(xué) 過(guò) 程 設(shè) 計(jì) 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 閱讀教材：P41P44， 1. 提問(wèn)： 前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式） 2. 舉例：說(shuō)說(shuō)兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實(shí)例. 二、講授新課：二、講授新課： 1.1. 教學(xué)排序不等式：教學(xué)排序不等式： . 如 如圖， 設(shè)AOB，自點(diǎn)O沿OA邊依次取n個(gè)點(diǎn)A 1, A2 ,L , A n ， OB邊依次取取n個(gè)點(diǎn)B 1,B2 ,L ,B n ，在OA邊取某個(gè)點(diǎn)Ai與OB邊 某個(gè)點(diǎn)B j 連接，得到AOB ij ，這樣一一搭配，一共可得到 n個(gè)三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的AOB ij 不同，問(wèn)：OA邊上的點(diǎn)與OB邊上的點(diǎn)

55、如何搭配，才能使n個(gè)三角形的 面積和最大（或最?。?？ 知識(shí) 與 技能 排序不等式排序不等式 課型新授課 了解排序不等式的基本形式，會(huì)運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 過(guò)程 體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般思想方法 與 方法 情感態(tài)發(fā)展學(xué)生的思維能力，通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意 度與價(jià)識(shí)。 值觀 重點(diǎn)：重點(diǎn)：應(yīng)用排序不等式證明不等式 難點(diǎn)：難點(diǎn)：排序不等式的證明思路 批 注 設(shè)OA i a i ,OB j b j (i, j 1,2,L ,n)，由已知條件，得 a 1 a 2 a 3 L a n ,b 1 b 2 b 3 L b n 因?yàn)锳OB ij 的面積是，而是常數(shù)，于是，上面的

56、幾何問(wèn)題就 可以歸結(jié)為 代數(shù)問(wèn)題：代數(shù)問(wèn)題：設(shè)c 1,c2,L ,cn是數(shù)組b1,b2,L ,bn的任何一個(gè)排列 , 則則 S a 1c1 a 2c2 L a ncn 何時(shí)取最大（或最?。┲?？ 我們把S a1c 1 a 2c2 L a ncn 叫做數(shù)組(a 1,a2 ,L ,a n )與(b 1,b2,L ,bn) 的 亂序和亂序和. . 其中, S 1 a 1bn a 2bn1 a 3bn2 L a nb1稱為 序和序和. . S 2 a 1b1 a 2b2 a 3b3 L a nbn 稱為序和序和. .這樣的三個(gè)和大小關(guān)這樣的三個(gè)和大小關(guān) 系如何系如何? ? 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:a 1 a

57、 2 a n ;b 1 b 2 b n ，c 1,c2 , c n 是 b 1,b2 ， ,b n 的任一排列,則有 +a nbn (同序和) a 1c1 a 2c2 + +a ncn (亂序a 1b1 a 2b2 和) a 1bn a 2bn1 + +a nb1 (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)a 1 a 2 =a n 或b 1 b 2 =b n 時(shí)，反序和等于同序和. （要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式） 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例： 例 1：設(shè)a 1,a2 ,a n 是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證： 1 a . aa 3 111 a 1 2 2 n 223n23n2 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運(yùn)用套用排序不等式？ 證明過(guò)程： 設(shè)b 1,b2 ,b n 是a 1,a2 ,a n 的一個(gè)排列， 且b 1 b 2 b n ，則b 1 1,b 2 2,b n n. 又1 1 2 1 2 1 2 ，由排序不等式，得 23n a 3 ab bb 3a 1 a 2 2 nb 1 2 2 n 222223n23n 小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有