1、2020/7/24,2020/7/24,難點(diǎn): 求線性映射的值域、核的基與維數(shù),2020/7/24,首先, 我們回憶一下線性代數(shù)中的向量.,向量的運(yùn)算及性質(zhì),2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2

2、020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2

3、020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2

4、020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2

5、020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,2020/7/24,矩陣（或線性變換）的特征值與特征向量 定義 設(shè) 是數(shù)域 上的線性空間 的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 中任一元素 ， 中都存在一個(gè)非零向量 ，使得 那么稱 為 的一個(gè)特征值，而 稱為 的屬于特征值 的一個(gè)特征向量。 現(xiàn)在設(shè) 是數(shù)域 上的 維線性空間， 中取定一個(gè)基 ，設(shè)線性變換 在這組基下的矩陣是 ，向量 在這組基下的坐標(biāo)是 ， 。那么我們有,由此可得定理： 是 的特征值 是 的特

6、征值 是 的屬于 的特征向量 是 的屬于 的特征向量 因此，只要將 的全部特征值求出來(lái)，它們就是線性變換 的全部特征值；只要將矩陣 的屬于 的全部特征向量求出來(lái)，分別以它們?yōu)樽鴺?biāo)的向量就是 的屬于 的全部特征向量。,例 1 設(shè) 是數(shù)域 上的3維線性空間， 是 上的一個(gè)線性變換， 在 的一個(gè)基 下的矩陣是 求 的全部特征值與特征向量。 解： 的特征多項(xiàng)式為,所以 的特征值是 （二重）與 。 對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：,從而 的屬于 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是 于是 的屬于 的全部特征向量是 這里 為數(shù)域 中不全為零的數(shù)對(duì)。 對(duì)于特征值 ，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系

7、：,從而 的屬于 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是 于是 的屬于 的全部特征向量 這里 為數(shù)域 中任意非零數(shù)。 矩陣的相似與相似對(duì)角化 相似矩陣的性質(zhì)： 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征,值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的跡，有相同的譜。 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)： （1） 階矩陣 的屬于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以組成 的一個(gè)子空間，稱之為矩陣 的屬于特征值 的特征子空間，記為 ，不難看出 正是特征方程組 的解空間。 （2） 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。,（3） 設(shè) 是 的 個(gè)互不同的特征值， 的幾何重?cái)?shù)為 ， 是對(duì)應(yīng)于 的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則的所有

8、這些特征向量 仍然是線性無(wú)關(guān)的。 （4） 任意一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不大于它的代數(shù)重?cái)?shù)。,（5）一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值。 矩陣（線性變換）的相似對(duì)角化 定義 數(shù)域 上的 維線性空間 的一個(gè)線性變換 稱為可以對(duì)角化的，如果 中存在一個(gè)基底，使得 在這個(gè)基底下的矩陣為對(duì)角矩陣。 我們?cè)?中取定一個(gè)基底 ，設(shè)線性變換 在這個(gè)基下的矩陣為 ，那么可以得到下面的定理 定理： 可以對(duì)角化 可以對(duì)角化。 定理： 階矩陣 可以對(duì)角化的充分必要條件是,有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 定理： 階矩陣 可以對(duì)角化的充分必要條件是 每一個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于其幾何重?cái)?shù)。 例 1 判斷矩陣 是否可以對(duì)角化？ 解： 先求出 的特征值,于是的特征值為 （二重） 由于 是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮,于是 從而不可以相