1、1,第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,2,基本知識(shí) 定解問題的確立及分析 定解問題求解之行波法 定解問題求解之分離變量法 定解問題求解之green函數(shù)法 定解問題求解之積分變換法,3,數(shù)理方程基本知識(shí),數(shù)學(xué)物理方程主要是指數(shù)學(xué)物理所涉及的偏微分方程，有時(shí)也包括相關(guān)的積分方程、微分積分方程，或者說物理規(guī)律用數(shù)學(xué)語言描述出來的偏微分方程就是數(shù)學(xué)物理方程。 數(shù)學(xué)物理方程研究一些物理量在某些特定條件下按照物理規(guī)律變化的情況。這些物理量所滿足的物理規(guī)律具有共性,它反映的是同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。物理量受某些特定條件約束，所產(chǎn)生的物理問題又各具有自身的特殊性，即個(gè)性。,4,具有共性的物理規(guī)律可以用偏微分方程的形式描

2、述，這些方程在不附加個(gè)性條件的情況下稱為泛定方程。 約束物理量的特定條件可以使符合共性物理規(guī)律的物理量確定，或者說，也能夠使?jié)M足泛定方程的解確定下來，這些特定條件都可以稱為定解條件。我們研究數(shù)理方程的目的就是為了確定方程的解，進(jìn)而研究特定條件下物理量確定值或變化情況。,數(shù)理方程基本知識(shí),5,數(shù)理方程基本知識(shí),我們研究的這些定解條件或者約束物理量的特定條件大體可以分為兩大類，一類關(guān)乎于環(huán)境對(duì)物理量發(fā)展過程的約束，這類約束主要體現(xiàn)于物理環(huán)境周圍邊界的物理狀況，即邊界條件。另一類關(guān)乎于物理量發(fā)展的歷史狀況，或者說這個(gè)物理量之前是什么樣的，這類約束主要體現(xiàn)于時(shí)間上我們?nèi)藶槎x從何時(shí)開始針對(duì)于物理量的研

3、究，或者說這個(gè)物理量研究初始時(shí)的狀況，即初始條件。 數(shù)學(xué)上邊界條件和初始條件也統(tǒng)稱為定解條件。,6,數(shù)理方程基本知識(shí),由泛定方程、定解條件構(gòu)成的研究數(shù)學(xué)物理方程的問題稱為數(shù)學(xué)物理定解問題，準(zhǔn)確地說就是在給定定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程。 偏微分方程的基本概念 偏微分方程的階數(shù) 最高的求導(dǎo)次數(shù) 偏微分方程的齊次與非齊次 不含有研究函數(shù)的非零項(xiàng) 偏微分方程的線性與非線性,7,數(shù)理方程基本知識(shí),劈形算符符合矢量運(yùn)算,laplace算符,8,數(shù)理方程基本知識(shí),場(chǎng)的概念 物理量在空間或一部分空間上的分布就稱為場(chǎng) 數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 如果描寫場(chǎng)的量是數(shù)量函數(shù)，也就是沒有方向性，只有大小之分，這個(gè)場(chǎng)就是數(shù)量場(chǎng)，如

4、溫度場(chǎng)，壓力場(chǎng)；如果描寫場(chǎng)的量是矢量函數(shù)就稱這個(gè)場(chǎng)為矢量場(chǎng)，如速度場(chǎng)、電磁場(chǎng)、引力場(chǎng),9,數(shù)理方程基本知識(shí),場(chǎng)的表示 除用點(diǎn)的函數(shù)來描寫場(chǎng)的物理、力學(xué)性質(zhì)外，常在場(chǎng)中按一定規(guī)則繪出曲面或曲線來表示場(chǎng)中物理量分布； 數(shù)量場(chǎng) 矢量場(chǎng) 其中a中各個(gè)分量代表了場(chǎng)矢量在x,y,z三個(gè)方向的分量,10,數(shù)理方程基本知識(shí),方向?qū)?shù) 數(shù)量場(chǎng)函數(shù) 沿射線 的差商的極限存在，則稱此極限為數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn) 沿方向 方向?qū)?shù)，記作 如同一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)反應(yīng)的是函數(shù)變化率一樣，方向?qū)?shù)反應(yīng)的是數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn) 出沿方向e對(duì)距離的變化率。,11,數(shù)理方程基本知識(shí),梯度 gradu稱為數(shù)量場(chǎng)u的梯度，它的方向與u在m點(diǎn)上升的最快的方向同向

5、,12,數(shù)理方程基本知識(shí),發(fā)散量 對(duì)于一般的矢量場(chǎng) 和封閉曲面 ，我們稱 向著 的外法矢量 方向流過 的流量為發(fā)散量 散度 單位體積的發(fā)散量在點(diǎn)m0處的極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)m0的散度，用于描述場(chǎng)發(fā)散或匯聚的快慢，記作,13,數(shù)理方程基本知識(shí),gauss定理 對(duì)于一般的矢量場(chǎng),14,基本知識(shí) 定解問題的確立及分析 定解問題求解之行波法 定解問題求解之分離變量法 定解問題求解之green函數(shù)法 定解問題求解之積分變換法,15,泛定方程的建立,如何獲得給出問題的泛定方程？ 將各類不均勻的非線性的物理問題以微分轉(zhuǎn)化為均勻的線性的符合已知物理規(guī)律的問題； 例如：線的振蕩問題通過分析線元受力獲得； 桿的縱振

6、動(dòng)通過分析桿微元受力獲得； 濃度擴(kuò)散通過分析微小均勻體積內(nèi)的擴(kuò)散獲得； 溫度擴(kuò)散通過分析微小均勻體積內(nèi)溫度獲得,16,泛定方程的建立,17,泛定方程的建立,如何獲得給出問題的泛定方程？ 擴(kuò)散方程結(jié)合高斯定律 熱傳導(dǎo)定律結(jié)合高斯定律,18,泛定方程的建立,從物理角度看三大類泛定方程 波動(dòng)方程(描述波的傳播、桿振動(dòng)、電路中電流傳播等物理現(xiàn)象的泛定方程) 其中齊次情況下f(m,t)=0 輸運(yùn)方程(描述溫度傳播、濃度擴(kuò)散的泛定方程) 其中齊次情況下f(m,t)=0 穩(wěn)態(tài)方程(描述靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布的泛定方程) 其中齊次情況為拉普拉斯方程,19,泛定方程的建立,從數(shù)學(xué)角度看三大類泛定方程 波動(dòng)方程 屬

7、于雙曲型 輸運(yùn)方程 屬于拋物型 穩(wěn)態(tài)方程 屬于橢圓型,雙曲型,拋物型,橢圓型,判定依據(jù),20,定解條件的確定,初始條件 t=0時(shí)刻物理量的狀況，數(shù)學(xué)上可以是物理量本身的值 也可以是對(duì)時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù) 或者兩者皆有(視偏微分方程中對(duì)時(shí)間變量求導(dǎo)的階數(shù)而定) 注：1.初始條件描述物理量的狀態(tài)為整個(gè)系統(tǒng)并非單個(gè)點(diǎn); 2.穩(wěn)定場(chǎng)問題沒有初始狀態(tài)；,21,定解條件的確定,邊界條件 邊界上物理量的狀況，數(shù)學(xué)上可以是物理量本身的值也可以是物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的值，或上述兩種情況的線性組合，具體分為三種邊界條件： 第一類 狄里希利問題 第二類 諾依曼問題 第三類 注：邊界問題同樣需要與階數(shù)相同的條件

8、個(gè)數(shù)來確定解,22,定解問題的形成及分析,泛定方程的齊次與非齊次；邊界條件的類型；是否有初始條件； 可用的方法：行波法(達(dá)朗貝爾公式)，分離變量法+傅里葉級(jí)數(shù)法+沖量定理法+疊加原理，green函數(shù)(+沖量定理)，積分變換法；,23,基本知識(shí) 定解問題的確立及分析 定解問題求解之行波法 定解問題求解之分離變量法 定解問題求解之green函數(shù)法 定解問題求解之積分變換法,24,定解問題求解之一行波法,無界一維波動(dòng)問題 的特殊求解達(dá)朗貝爾公式,25,基本知識(shí) 定解問題的確立及分析 定解問題求解之行波法 定解問題求解之分離變量法 定解問題求解之green函數(shù)法 定解問題求解之積分變換法,26,定解問

9、題求解之二分離變量法,齊次泛定方程及邊界條件定解問題 求解思路(具有變量分離形式的試探解 ) 回代入方程探討關(guān)于x的特征值及特征函數(shù) 根據(jù)邊界條件確定特征值及特征函數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)確定含時(shí)間函數(shù)級(jí)數(shù)形式的系數(shù),27,定解問題求解之二分離變量法,非齊次泛定方程，齊次邊界條件定解問題(方案一) 結(jié)合分離變量法與傅里葉級(jí)數(shù)法 確定泛定方程解的傅里葉級(jí)數(shù)形式(通過齊次方程分離變量推導(dǎo))，保證基函數(shù)不變，系數(shù)改變， 通過分離變量確定 回代非齊次方程利用待定系數(shù)法求解關(guān)于 的級(jí)數(shù)解,28,定解問題求解之二分離變量法,非齊次泛定方程，齊次邊界條件定解問題(方案二) 通過疊加原理分解問題，再通過分離變量法與沖量

10、定理法求解(page164頁),29,定解問題求解之二分離變量法,齊次泛定方程，非齊次邊界條件定解問題 構(gòu)建函數(shù)取 ，利用構(gòu)建的函數(shù) 使 在邊界上變?yōu)辇R次條件(page173),30,定解問題求解之二分離變量法,球坐標(biāo)拉普拉斯方程的分離變量過程 自然邊界條件的概念及一般應(yīng)用 勒讓德方程的形式 貝塞爾方程的形式 歐拉型方程的形式及求解方法,31,定解問題求解之二分離變量法,線性二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法 常點(diǎn)和奇點(diǎn)的定義及判別,32,基本知識(shí) 定解問題的確立及分析 定解問題求解之行波法 定解問題求解之分離變量法 定解問題求解之green函數(shù)法 定解問題求解之積分變換法,33,定解問題求解之三green函數(shù)法,定解問題轉(zhuǎn)化為格林函數(shù)的定解形式 泊松方程的基本積分公式 各類邊值條件下格林函數(shù)解的形式 第一類邊值問題的積分表示式 第三類邊值問題的積分表示 格林函數(shù)的基本解,34,基本知識(shí) 定解問題的確立及分