1、6.2等差數(shù)列考綱解讀考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求五年高考統(tǒng)計(jì)常考題型預(yù)測(cè)熱度201320142015201620171.等差數(shù)列的定義及運(yùn)算1.等差數(shù)列的證明2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式3.等差數(shù)列求和C20題16分8題5分填空題解答題2.等差數(shù)列的性質(zhì)利用等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)解題C 填空題解答題分析解讀等差數(shù)列是高考的熱點(diǎn).中檔題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算,壓軸題?？嫉炔顢?shù)列中的推理證明,對(duì)能力要求比較高.五年高考考點(diǎn)一等差數(shù)列的定義及運(yùn)算1.(2016江蘇,8,5分)已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+=-3,S5=10,則a9的值是.答案202.(2016浙江改編,8,5分)如圖,點(diǎn)列An,Bn分

2、別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)Sn為AnBnBn+1的面積,則Sn是數(shù)列.(填“等差”或“等比”)答案等差3.(2014福建改編,3,5分)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于.答案124.(2013課標(biāo)全國理改編,7,5分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=.答案55.(2017課標(biāo)全國文,17,12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通項(xiàng)

3、公式;(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.解析(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)可得解得q=-2,a1=-2.故an的通項(xiàng)公式為an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.6.(2014江蘇,20,16分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱an是“H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n(nN*),證明:an是“H數(shù)列”;(2)設(shè)an是等差數(shù)列,其首項(xiàng)a1=1,公差d0.若an是“H數(shù)列”,求d的值;(3)證明:對(duì)任

4、意的等差數(shù)列an,總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.解析(1)證明:由已知,得當(dāng)n1時(shí),an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H數(shù)列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因?yàn)閍n是“H數(shù)列”,所以存在正整數(shù)m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因?yàn)閐0,所以m-20,故m=1.從而d=-1.當(dāng)d=-1時(shí),an=2-n,Sn=是小于2的整數(shù),nN*.于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以an

5、是“H數(shù)列”.因此d的值為-1.(3)證明:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),則an=bn+cn(nN*),下證bn是“H數(shù)列”.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=a1(nN*).于是對(duì)任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=,使得Tn=bm.所以bn是“H數(shù)列”.同理可證cn也是“H數(shù)列”.所以,對(duì)任意的等差數(shù)列an,總存在兩個(gè)“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).教師用書專用(710)7.(2016課標(biāo)全國,17,12分)已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2

6、=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求bn的前n項(xiàng)和.解析(1)當(dāng)n=1時(shí),a1b2+b2=b1,因?yàn)閎1=1,b2=,所以a1=2,(3分)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,(7分)因此bn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.(9分)記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=-.(12分)8.(2016課標(biāo)全國,17,12分)等差數(shù)列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=an,求數(shù)列bn的前10項(xiàng)和,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.

7、9=0,2.6=2.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以an的通項(xiàng)公式為an=.(5分)(2)由(1)知,bn=.(6分)當(dāng)n=1,2,3時(shí),12,bn=1;當(dāng)n=4,5時(shí),23,bn=2;當(dāng)n=6,7,8時(shí),34,bn=3;當(dāng)n=9,10時(shí),40,a7+a100,則當(dāng)n=時(shí),an的前n項(xiàng)和最大.答案84.(2016天津理,18,13分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對(duì)任意的nN*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng).(1)設(shè)cn=-,nN*,求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列;(2)設(shè)a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求

8、證:.證明(1)由題意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差數(shù)列.(2)Tn=(-+)+(-+)+(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=.教師用書專用(5)5.(2014四川,19,12分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(nN*).(1)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn;(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項(xiàng)和

9、Tn.解析(1)由已知,得b7=,b8=4b7,有=4=.解得d=a8-a7=2.所以,Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函數(shù)f(x)=2x在(a2,b2)處的切線方程為y-=(ln 2)(x-a2),它在x軸上的截距為a2-.由題意,得a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.從而an=n,bn=2n.所以Tn=+,2Tn=+.因此,2Tn-Tn=1+-=2-=.所以,Tn=.三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一等差數(shù)列的定義及運(yùn)算1.(2018江蘇姜堰中學(xué)期中)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,數(shù)列an+an+1是公差為2的等差

10、數(shù)列,則S9=.答案452.(蘇教必5,二,2,變式)設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1=2a8-3a4,則=.答案3.(2017江蘇南京高淳質(zhì)檢)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S9=-36,S13=-104,則a5與a7的等比中項(xiàng)為.答案44.(2017江蘇泰州姜堰摸底,8)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,且滿足2n=,則數(shù)列an的公差d=.答案85.(2017江蘇蘇州期末,8)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a2=7,S7=-7,則a7的值為.答案-136.(2017江蘇淮陰中學(xué)期中,6)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且S11=35+S6,則S17的值為.答案119

11、7.(2016江蘇鎮(zhèn)江一模,10)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若=,則=.答案8.(2016江蘇揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢,20)已知數(shù)列an滿足a1=x,a2=3x,Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n2,nN*),Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若數(shù)列an為等差數(shù)列.(i)求數(shù)列的通項(xiàng)an;(ii)若數(shù)列bn滿足bn=,數(shù)列cn滿足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,試比較數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Bn與cn的前n項(xiàng)和Cn的大小;(2)若對(duì)任意nN*,an0,其前n項(xiàng)和Bn0,又cn=t2bn+2-tbn+1-bn=(16t2-4t-1)bn,所以其前n項(xiàng)和Cn=(16t2-4t-1)Bn,所以Cn-B

12、n=2(8t2-2t-1)Bn,當(dāng)t時(shí),CnBn;當(dāng)t=-或t=時(shí),Cn=Bn;當(dāng)-t時(shí),CnBn.(2)由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n2,nN*)知Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2(nN*),兩式作差,得an+2+an+1+an=6n+3(n2,nN*),所以an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3(nN*),再作差得an+3-an=6(n2,nN*),易知,a4+a3+a2=15,a4=1+6x.所以當(dāng)n=3k-1,kN*時(shí),an=a3k-1=a2+(k-1)6=3x+6k-6=2n+3x-4;當(dāng)n=3k,kN*時(shí),an=a3k=a3+(k-1)6=14-9x

13、+6k-6=2n-9x+8;當(dāng)n=3k+1,kN*時(shí),an=a3k+1=a4+(k-1)6=1+6x+6k-6=2n+6x-7.因?yàn)閷?duì)任意的nN*,anan+1恒成立,所以a1a2,且a3k-1a3ka3k+1a3k+2,所以解得x,故實(shí)數(shù)x的取值范圍為.考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)9.(2018江蘇鹽城高三(上)期中)在等差數(shù)列an中,若a2+a5=,則數(shù)列an的前6項(xiàng)的和S6=.答案210.(2018江蘇金陵中學(xué)高三月考)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且0.由a2a3=15,S4=16,得解得或(舍去),所以an=2n-1.(2)因?yàn)閎1=a1,bn+1-bn=,所以b1=a1=1,bn+1-bn=,所

14、以b2-b1=,b3-b2=,bn-bn-1=(n2),bn-b1=,所以bn=,n2.b1=1也符合上式,故bn=,nN*.假設(shè)存在正整數(shù)m,n(mn),使得b2,bm,bn成等差數(shù)列,則b2+bn=2bm.又b2=,bn=-,bm=-,所以+=2,化簡得2m=7-,當(dāng)n+1=3,即n=2時(shí),m=2,此時(shí)m=n,不符合題意;當(dāng)n+1=9,即n=8時(shí),m=3,符合題意.所以存在正整數(shù)m=3,n=8,使得b2,bm,bn成等差數(shù)列.7.(2017江蘇鹽城期中,20)若數(shù)列an中的項(xiàng)都滿足a2n-1=a2na2n+1(nN*),則稱an為“階梯數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列bn是“階梯數(shù)列”,且b1=1,b

15、2n+1=9b2n-1(nN*),求b2 016;(2)設(shè)數(shù)列cn是“階梯數(shù)列”,其前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列,但不存在連續(xù)四項(xiàng)成等差數(shù)列;(3)設(shè)數(shù)列dn是“階梯數(shù)列”,且d1=1,d2n+1=d2n-1+2(nN*),記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn.是否存在實(shí)數(shù)t,使得(t-Tn)0對(duì)任意的nN*恒成立?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.解析(1)b2n+1=9b2n-1,b1=1,b2n-1是以b1=1為首項(xiàng),9為公比的等比數(shù)列,b2n-1=b19n-1=32n-2,b2 015=32 014,數(shù)列bn是“階梯數(shù)列”,b2 016=b2 015=32

16、014.(2)證明:由數(shù)列cn是“階梯數(shù)列”得c2n-1=c2n,故S2n-1-S2n-2=S2n-S2n-1,Sn中存在連續(xù)三項(xiàng)S2n-2,S2n-1,S2n(n2)成等差數(shù)列.(注:給出具體三項(xiàng)也可以)假設(shè)Sn中存在連續(xù)四項(xiàng)Sk,Sk+1,Sk+2,Sk+3成等差數(shù)列,則Sk+1-Sk=Sk+2-Sk+1=Sk+3-Sk+2,即ck+1=ck+2=ck+3,當(dāng)k=2m-1,mN*時(shí),c2m=c2m+1=c2m+2,當(dāng)k=2m,mN*時(shí),c2m+1=c2m+2=c2m+3,由數(shù)列cn是“階梯數(shù)列”得c2mc2m+1=c2m+2c2m+3,與都矛盾,故假設(shè)不成立,即Sn中不存在連續(xù)四項(xiàng)成等差數(shù)

17、列.(3)d2n+1=d2n-1+2,d1=1,d2n-1是以d1=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,d2n-1=d1+(n-1)2=2n-1,又?jǐn)?shù)列dn是“階梯數(shù)列”,故d2n-1=d2n=2n-1,=(nN*),當(dāng)n=2k(kN*)時(shí),Tn=T2k=+=2=2=1-,-,又(t-Tn)0恒成立,-tTn恒成立,-1t.當(dāng)n=2k-1(kN*)時(shí),Tn=T2k-1=T2k-=T2k-=T2k-=1-,-3,-1),又(t-Tn)0恒成立,-tTn恒成立,-1t.綜上,存在滿足條件的實(shí)數(shù)t,其取值范圍是.8.(2017江蘇南京鹽城一模,20)若存在常數(shù)k(kN*,k2)、q、d,使得無窮數(shù)列an滿

18、足an+1= 則稱數(shù)列an為“段比差數(shù)列”,其中常數(shù)k、q、d分別叫做段長、段比、段差.設(shè)數(shù)列bn為“段比差數(shù)列”.(1)若bn的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、q、3.當(dāng)q=0時(shí),求b2 016;當(dāng)q=1時(shí),設(shè)bn的前3n項(xiàng)和為S3n,若不等式S3n3n-1對(duì)nN*恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若bn為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為b,試寫出所有滿足條件的bn,并說明理由.解析(1)解法一:bn的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、0、3,b2 014=0b2 013=0,b2 015=b2 014+3=3,b2 016=b2 015+3=6.解法二:bn的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、0、

19、3,b1=1,b2=b1+3=4,b3=b2+3=7,b4=0b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0b6=0,當(dāng)n4時(shí),bn是周期為3的周期數(shù)列.b2 016=b6=6.解法一:bn的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、1、3,b3n+2-b3n-1=(b3n+1+d)-b3n-1=(qb3n+d)-b3n-1=q(b3n-1+d)+d-b3n-1=2d=6,b3n-1是以b2=4為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列.又b3n-2+b3n-1+b3n=(b3n-1-d)+b3n-1+(b3n-1+d)=3b3n-1,S3n=(b1+b2+b3)+(b4+b5+b6)+(b3n-2+b

20、3n-1+b3n)=3(b2+b5+b3n-1)=3=9n2+3n,S3n3n-1,設(shè)cn=,則(cn)max,又cn+1-cn=-=,當(dāng)n=1時(shí),3n2-2n-20,c10,cn+1cn,(cn)max=c2=14,14,即14,+).解法二:bn的首項(xiàng)、段長、段比、段差分別為1、3、1、3,b3n+1=b3n,b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6,b3n是首項(xiàng)為b3=7,公差為6的等差數(shù)列,b3+b6+b3n=7n+6=3n2+4n,易知bn中刪掉b3n的項(xiàng)后按原來的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,b1+b2+b4+b5+b3n-2+b3n-1=2n1+3=6n2

21、-n,S3n=(3n2+4n)+(6n2-n)=9n2+3n,以下同解法一.(2)解法一:由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式有bn=bqn-1(q既是bn的公比,又是bn的段比),當(dāng)mN*時(shí),bkm+2-bkm+1=d,即bqkm+1-bqkm=bqkm(q-1)=d恒成立,若q=1,則d=0,bn=b;若q1,則qkm=,qkm為常數(shù),q=-1,k為偶數(shù),d=-2b,bn=(-1)n-1b,此時(shí)k=2;經(jīng)檢驗(yàn),滿足條件的bn的通項(xiàng)公式為bn=b或bn=(-1)n-1b.解法二:若k=2,則b1=b,b2=b+d,b3=(b+d)q,b4=(b+d)q+d,由b1b3=,得b+d=bq;由b2b4=,得(b

22、+d)q2=(b+d)q+d,聯(lián)立兩式,得b(q+1)(q-1)2=0,q=1,則或則bn=b或bn=(-1)n-1b,經(jīng)檢驗(yàn),均符合題意.若k3,則b1=b,b2=b+d,b3=b+2d,由b1b3=,得(b+d)2=b(b+2d),得d=0,則bn=b,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.綜上,滿足條件的bn的通項(xiàng)公式為bn=b或bn=(-1)n-1b.9.(2017江蘇南京、鹽城二模,20)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn,cn滿足(n+1)bn=an+1-,(n+2)cn=-,其中nN*.(1)若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;(2)若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)一切nN*,有bncn,求

23、證:數(shù)列an是等差數(shù)列.解析(1)因?yàn)閍n是公差為2的等差數(shù)列,所以an=a1+2(n-1),=a1+n-1,從而(n+2)cn=-(a1+n-1)=n+2,即cn=1.(2)證明:由(n+1)bn=an+1-,得n(n+1)bn=nan+1-Sn,所以(n+1)(n+2)bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,兩式相減,并化簡得an+2-an+1=(n+2)bn+1-nbn.從而(n+2)cn=-=-an+1-(n+1)bn=+(n+1)bn=+(n+1)bn=(n+2)(bn+bn+1).因此cn=(bn+bn+1).因?yàn)閷?duì)一切nN*,有bncn,所以cn=(bn+bn+1),故bn=,cn=.所以(n+1)=an+1-,(n+2)=(an+1+an+2)-,得(an+2-an+1)=,即an+2-an+1=2.故an+1-an=2(n2).又2=a2-=a2-a1,則an+1-an=2(n1).所以數(shù)列an是等差數(shù)列.C組20162018年模擬方法題組方法1利用等差數(shù)列的基本量a1,d