1、1.2 直角三角形 (2課時(shí)),粉紅色的回憶 利用拼圖來(lái)驗(yàn)證勾股定理：,美國(guó)第十七任總統(tǒng)的證法, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面積可以表示為 ； 也可以表示為,(a+b)2,c2 +4ab/2, c2= 4ab/2 +(b-a)2,c2 =2ab+b2-2ab+a2,c2 =a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面積可以表示為 ； 也可以表示為,c2,4ab/2+(b- a)2,四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.,

2、你了解嗎?,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1,定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。,定理:如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形。,判斷下列命題的真假,并說(shuō)明理由:,兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;,斜邊及一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;,兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;,一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.,設(shè)矩形的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O， 那么BO是直角ABC中一條怎樣的特殊線段？ 它與AC有什么大小關(guān)系？,定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,ABC=90

3、，OA=OC AC=2BO 或 OA=OB=OC,學(xué)習(xí)目標(biāo) 2,特殊的直角三角形的性質(zhì):,1.在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。,2.在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.,學(xué)習(xí)目標(biāo) 3,互逆命題,逆命題 互逆定理,逆定理,如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等。 如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角。,直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方, 那么這個(gè)三角形是直角三角形。,勾股定理：,勾股定理逆定理：,學(xué)習(xí)目標(biāo) 4,300,特殊圖形:,D,E,3,2,你能求出AD

4、和AB嗎?,D,E,探索1:BC、CD、AB之間的關(guān)系？,探索2：CD與AD關(guān)系？,學(xué)習(xí)目標(biāo) 5,從前有一天，一個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺。另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了。 你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎？ 請(qǐng)根據(jù)這一問題列出方程。（只列不解）,問 題 探 討,三角形全等的判定,公理:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）. 公理:兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）. 公理:兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）. 推論:兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.,想一想: 兩邊及其中

5、一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等?,兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.,如果其中一邊的所對(duì)的角是直角呢?,如果其中一邊的所對(duì)的角是直角,那么這兩個(gè)三角形全等.,請(qǐng)證明你的結(jié)論.,命題的證明,命題:兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.,老師提示:舉反例證明假命題千萬(wàn)不可忘記噢!,證明:這是一個(gè)假命題,只要舉一個(gè)反例即可.如圖:,由圖(1)和圖(2)可知,這兩個(gè)三角形全等; 由圖(1)和圖(3)可知,這兩個(gè)三角形不全等; 因此,兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.,命題的證明,駛向勝利的彼岸,兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.但

6、如果其中一邊的所對(duì)的角是直角,那么這兩個(gè)三角形全等.,老師期望:你能寫出它的證明過程嗎? 你能用根據(jù)上面的證明用文字寫出一個(gè)結(jié)論嗎?,已知:如圖,在ABC和ABC中, AC=AC , AB=AB, C=C=900. 求證:ABCABC.,分析: 要證明ABCABC ,只要能滿足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推論(AAS)中的一個(gè)即可.由已知和根據(jù)勾股定理易知,第三條邊也對(duì)應(yīng)相等.,駛向勝利的彼岸,直角三角形全等的判定定理及其三種語(yǔ)言,定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).,如圖,在ABC和ABC中, C=C=900 , AC=AC , AB=AB(

7、已知), RtABCRtABC(HL).,用三角尺作角平分線,再過點(diǎn)M作OA的垂線,如圖:在已知AOB的兩邊OA,OB上分別取點(diǎn)M,N,使 OM=ON;,過點(diǎn)N作OB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)P,那么射線OP就是AOB的平分線.,請(qǐng)你證明OP平分AOB.,P,已知:如圖,OM=ON,PMOM,PNON. 求證:AOP=BOP.,先把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題:,問 題 探 討,如圖,已知ACB=BDA=900 , 要使ABCBDA, 還需要什么條件?把它們分別寫出來(lái).,增加AC=BD;,增加BC=AD;,增加ABC=BAD ;,增加CAB=DBA ;,你能分別寫出它們的證明過程嗎?,若AD,BC相交于點(diǎn)

8、O,圖中還有全等的三角形嗎?,O,你能寫出圖中所有相等的線段,相等的角嗎?,你能分別寫出它們的證明過程嗎?,問 題 探 討,.已知:如圖,D是ABC的BC邊上的中點(diǎn),DEAC,DFAB,垂足分別為E,F,且DE=DF. 求證: ABC是等腰三角形.,.已知:如圖,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分別為E,F,DE=BF. 求證:(1)AE=AF; (2)ABCD.,四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積為20，每個(gè)小直角三角形兩條直角邊的和是6，求中間小正方形的面積。,拓展:若有

9、一個(gè)矩形長(zhǎng)為5,寬為4,請(qǐng)你把它 分割成6塊,使得這6塊拼成一個(gè)正方形.,2,1,4,4,定理1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余。 定理2 在直角三角形中，兩條直角 邊的平方和等于斜邊的平方。 。(逆命題) 定理3 在直角三角形中，如果 一個(gè) 銳角等于30，那么它所對(duì) 的直角邊等于斜邊的一半。 。 (逆命題) 定理4 直角三角形斜邊上的中線等 于斜邊的一半 特殊圖形,直角三角形的性質(zhì),課 后 小 結(jié),已知：ABC，AC2+BC2=AB2 求證：C=90,分析；構(gòu)造一個(gè)直角三角形,計(jì)算,一天,小華隨老師和同學(xué)去爬山.回到家,媽媽問:“你們爬的山大約有多高？”小華說(shuō)：“我也不知道，只是老師帶領(lǐng)我們測(cè)得小

10、山的坡度約為30，從山下到山頂沿直線大約要走1000米?！蹦隳軒托∪A算出山的高度嗎？,大家一起練一練,如圖，在高為米，坡角為30的樓梯表面鋪毯，地毯長(zhǎng)度約為多米？,30,米,反過來(lái)怎么樣逆向思維,命題:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300. 是真命題嗎? 如果是,請(qǐng)你證明它.,已知:如圖,在ABC,ACB=900,BC=AB/2. 求證:A=300.,ACB=900,CD=BC(已知) AB=AD(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等) 又BC=AB/2(已知), BC=BD/2(作圖), AB=BD(等量代換). AB=BD=AD(等式性質(zhì)）. AB

11、D是等邊三角形(等邊三角形意義) B=600(等邊三角形意義). A=300(直角三角形兩銳角互余).,證明: 延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.,幾何的三種語(yǔ)言,這是一個(gè)通過線段之間的關(guān)系來(lái)判定一個(gè)角的具體度數(shù)(300)的根據(jù)之一.,定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.,在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300).,成功者的搖籃,1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),沿著過點(diǎn)D的折痕將A角翻折,使得A落在E

12、F上(如圖(2), 折痕交AE于點(diǎn)G,那么ADG等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?,成功者的搖籃,答:ADG等于150.,證明:DF=DC/2(中點(diǎn)意義),A1D=AD=CD(正方形各邊都相等),DF=A1D/2(等量代換).,DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300).,又ADEF,A1DA=DA1F=300 (兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).,ADG=A1DA/2=150(角平分線意義).,300,再 來(lái),矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它對(duì)折,折痕為EF展開后再折成如圖所示,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A處,求第二次折痕BG的長(zhǎng).,3,6,回

13、味無(wú)窮,直角三角形全等的判定定理: 定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL). 公理:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）. 公理:兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）. 公理:兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）. 推論:兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）. 綜上所述,直角三角形全等的判定條件可歸納為: 一邊及一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等; 兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等; 切記!命題:兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 即(SSA)是一個(gè)假冒產(chǎn)品!,知識(shí)的升華,P9習(xí)題1.5 1,2題. 祝你成功！,習(xí)題1.5,1.已知:如圖,D是ABC的BC邊上的中點(diǎn),DEAC,DFAB,垂足分別為E,F,且DE=DF. 求證: ABC是等腰三角形.,分析:要證明ABC是等腰三角形,就需要證明AB=AC;,進(jìn)而需要證明BC所在的BDFCDE;,而BDFCDE的條件:,從而需要證明B=C;,BD=CD,DF=DE均為已知.因此, ABC是等腰三角形可證.,老師期望: 請(qǐng)將證明過程規(guī)范