1、第三章 行波法與積分變換法,一 行波法,適用范圍： 無界域內(nèi)波動方程，等,1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。,關(guān)鍵步驟： 通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。,一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式,行波法,結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x 軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。,a. 只有初始位移時(shí)， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波,4 解的物理意義,b. 只有初始速度時(shí)： 假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ，而在此區(qū)間外恒等于0,解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式,5 達(dá)朗貝爾

2、公式的應(yīng)用,特征線,特征變換,行波法又叫特征線法,6 相關(guān)概念,7 非齊次問題的處理(齊次化原理),利用疊加原理將問題進(jìn)行分解：,利用齊次化原理，若 滿足：,則：,令：,從而原問題的解為,特征方程,例1 解定解問題,解,例2 求解,解：特征方程為,令：,例3 求解Goursat問題,解：令,思考題：求解如下定解問題,二 積分變換法,1 傅立葉變換法,傅立葉變換的性質(zhì),微分性,位移性,積分性,相似性,傅立葉變換的定義,偏微分方程變常微分方程,例1 解定解問題,解：利用傅立葉變換的性質(zhì),例2 解定解問題,解：利用傅立葉變換的性質(zhì),2 拉普拉斯變換法,拉普拉斯變換的性質(zhì),微分性,相似性,拉普拉斯變換

3、的定義,偏微分方程變常微分方程,例3 解定解問題,解：對t求拉氏變換,例4 解定解問題,解：對x求傅氏變換,對t求拉氏變換,例5 解定解問題,解：對t求拉氏變換,對x求傅氏變換,例6 求方程,解法一：,解法二：對y求拉氏變換,例7 解定解問題,解：對t取拉氏變換,x取傅立葉變換,其中,3 積分變換法求解問題的步驟,對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?對定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件,對常微分方程，求原定解條件解的變換式,對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解,4 積分變換法求解問題的注意事項(xiàng),如何選取適當(dāng)?shù)姆e分變換,定解條件中那些需要積分變換，那些不需

4、取,如何取逆變換,思考,利用積分變換方法求解問題的好處是什么？,三. 三維波動方程的柯西問題,球?qū)ΨQ情形,所謂球?qū)ΨQ是指,與,無關(guān)，則波動方程可化簡為,半無界問題,這是關(guān)于 v = r u 的一維半無界波動方程.,一般情形,我們利用球平均法。,從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學(xué)上看，總希望把高維化為一維情形來處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。,所謂球平均法，即對空間任一點(diǎn)（x，y，z），考慮 u 在以（x，y，z）為球心，r 為半徑的球面上的平均值,其中,為球的半徑,的方向余弦，,如把 x, y, z 看作參變量，則,是 r，t的函數(shù)，若能,求出 ，再令,則,為此把波動方程的兩邊在以x，y，z為

5、中心，r為半徑的球體 內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得,（*1）,同時(shí)有,由（*1）(*2)可得,（*2）,關(guān)于r 微分，得,（*3）,利用球面平均值的定義，（*3）可寫成,（*4）,（*4）又可改寫為,通解為,令 r 0，有,代入上式，得,（*5）,關(guān)于 r 微分，,再令 r 0，有,（*6）,接下來，求滿足初值的解。對（*5）關(guān)于 t 微分，,（*7）,（*6）和（*7）相加即得,即,把,代入上式，得,從而有,Poisson公式,四. 二維波動方程,如果我們把上述問題中的初值視為,重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過程，將會,發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個(gè)變量。,降維法：由高維波動方程的柯西問題的解來求解低維波動方程柯西問題的方法。 由Hadamard最早提出的。,計(jì)算上述曲面積分。由于