1、7.1不等關(guān)系與不等式,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),課時(shí)作業(yè),題型分類深度剖析,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法 (1)作差法 (a，br)； (2)作商法 (ar，b0).,知識梳理,2.不等式的基本性質(zhì),ba,ac,acbc,acbc,acbc,acbd,acbd,anbn,3.不等式的一些常用性質(zhì) (1)倒數(shù)的性質(zhì) ab，ab0 . ab0,0cd . 0axb或axb0 .,(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若ab0，m0，則,判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊? (1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有ab，ab，a1，則ab.() (3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，

2、不等號方向不變.() (4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小.() (5)ab0，cd0 .() (6)若ab0，則ab .(),考點(diǎn)自測,1.(教材改編)已知ab0，b0，那么a，b，a，b的大小關(guān)系是_.,答案,解析,abba,ab0，bb0，ab0ba， 即abba.,2.(教材改編)若a，b都是實(shí)數(shù)，則“ 0”是“a2b20”的_條件.,充分不必要,答案,解析,aba2b2，,但由a2b20 0.,3.(2016南京模擬)若a，br，且a|b|0; a3b30； a2b20; ab0.,答案,解析,由a|b|b|， 當(dāng)b0時(shí)，ab0成立， 當(dāng)b0時(shí)，ab0成立， ab0.,4.如果ar

3、，且a2a0，則a，a2，a，a2的大小關(guān)系是_.,答案,解析,aa2a2a,由a2a1， aa2a2a.,5.(教材改編)若0ab，且ab1，則將a，b， ，2ab，a2b2從小到大 排列為_.,答案,解析,0ab且ab1，,a1且2a1，,a2ba2a(1a)2a22a,即a2ab ，,又a2b2(ab)22ab12ab1 ，,即a2b2 ，,a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，,又2b10，b10，a2b2b0，a2b2b，,綜上，a2ab a2b2b.,題型分類深度剖析,題型一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小 例1(1)若a ，b ，c ，則a，b，c的大小關(guān)系為_.,答案,解析,cb

4、a,方法一易知a，b，c都是正數(shù)，,所以ab；,所以bc.即cba.,方法二對于函數(shù)yf(x) ，y ，,易知當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 因?yàn)閑f(4)f(5)， 即cba.,(2)已知a0，試比較a與 的大小.,解答,因?yàn)閍0，所以當(dāng)a1時(shí)，,當(dāng)a1時(shí)， 0，有a ；,當(dāng)0a1時(shí)， 0，有a .,綜上，當(dāng)a1時(shí)，a ；,當(dāng)a1時(shí)，a ；,當(dāng)0a1時(shí)，a .,比較大小的常用方法 (1)作差法： 一般步驟：作差；變形；定號；結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差. (2)作商法： 一般步驟：作商；變

5、形；判斷商與1的大??；結(jié)論. (3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)a，b0，)，a ，b ，則a，b的大小關(guān)系是_.,答案,解析,a0，b0， a2b2a b(ab) 0， ab.,ab,答案,解析,(2)若a1816，b1618，則a與b的大小關(guān)系為_.,ab,18160,16180， 18161618，即ab.,題型二不等式的性質(zhì) 例2(1)已知a，b，c滿足cac; c(ba)0.,答案,解析,由c0. 由bc得abac一定成立.,(2)若 |b|；ab；abb2中，正確的不等式有_.,答案,解析,因?yàn)?/p>

6、 0， 所以abab，|a|b|，在ba兩邊同時(shí)乘以b， 因?yàn)閎0，所以abb2. 因此正確的是.,解決此類問題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練2若a0ba，cbc； bd；a(dc)b(dc)中成立的個(gè)數(shù)是_.,答案,解析,方法一a0b，c0ba，ab0， a(c)(b)(d)，acbdd， acbd，故正確. ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正確. 方法二取特殊值.,ad0，,adbc，故錯(cuò)誤.,cd0，,ab，a(c)b(d)，,3,題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用 命題

7、點(diǎn)1應(yīng)用性質(zhì)判斷不等式是否成立 例3已知ab0，給出下列四個(gè)不等式： a2b2；2a2b1； ；a3b32a2b. 其中一定成立的不等式為_.,答案,解析,方法一由ab0可得a2b2，成立； 由ab0可得ab1，而函數(shù)f(x)2x在r上是增函數(shù)， f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；,若a3，b2，則a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1， 均成立，而a3b32a2b不成立.,ab0，,命題點(diǎn)2求代數(shù)式的取值范圍 例4已知1x4,2y3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_.,答案,解析,(4,2),(1,18),1x4,2y3， 3y2， 4xy2. 由1x4,2y

8、3，得33x12,42y6， 13x2y18.,引申探究 1.將已知條件改為1xy3，求xy的取值范圍.,解答,1x3，1y3， 3y1， 4xy4. 又xy， xy0， 4xy0， 故xy的取值范圍為(4,0).,2.若將本例條件改為1xy4,2xy3，求3x2y的取值范圍.,解答,設(shè)3x2ym(xy)n(xy)，,即3x2y (xy) (xy)，,又1xy4,2xy3，,即 3x2y ，,3x2y的取值范圍為( ).,(1)判斷不等式是否成立的方法 判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì). 在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí)，先把要判斷的命題和

9、不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等. (2)求代數(shù)式的取值范圍 利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí)，多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此類問題，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍，是避免錯(cuò)誤的有效途徑.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3(1)若abn.,答案,解析,(特值法)取a2，b1，逐個(gè)檢驗(yàn)，可知，均不正確；,中， |b|(|a|1)|a|(|b|1),|a|b|b|a|b|a|b|a|， ab0，|b|a|成立.,(2)設(shè)ab1，cloga(bc). 其

10、中所有正確結(jié)論的序號是_.,答案,解析,由不等式性質(zhì)及ab1知 ，,又c0， ，正確；,構(gòu)造函數(shù)yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正確.,典例設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_.,利用不等式變形求范圍,現(xiàn)場糾錯(cuò)系列6,現(xiàn)場糾錯(cuò),糾錯(cuò)心得,在求式子的范圍時(shí)，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號不能同時(shí)取到，會導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.,錯(cuò)解展示,解析由已知得,得32a6，64a12， 又由可得2ab1， 得02b3，32b0， 又f(2)4a2b，34a2b12， f(2)的取值范圍是3,12. 答案3,1

11、2,返回,解析方法一由,f(2)4a2b3f(1)f(1). 又1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,方法二由,確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，,當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)a( )時(shí)，,取得最小值4 2 5，,當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)b(3,1)時(shí)， 取得最大值432110， 5f(2)10.,答案5,10,返回,課時(shí)作業(yè),1.(教材改編)當(dāng)x1時(shí)，x3與x2x1的大小關(guān)系為_.,答案,解析,x3x2x1,x3(x2x1) x3x2x1x2(x1)(x1) (x1)(x21). 又x1， 故(x1)(x21)0， x3(x2x1)0， 即x3x2x1.,1,2,

12、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016鎮(zhèn)江模擬)若6a10， b2a，cab，那么c的取值范圍是_.,答案,解析,(9,30),cab3a且cab ，,9 ab3a30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.已知xyz，xyz0，則下列不等式成立的是_. xyyz; xzyz； xyxz; x|y|z|y|.,答案,解析,xyz且xyz0， x0，zz，xyxz.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.設(shè)a，br，則“(ab)a20”是“ab”的_條件.,答案,解析,充分不必要,由(ab)a20

13、a0且ab， 充分性成立； 由abab0， 當(dāng)0ab時(shí)(ab)a20，必要性不成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,5.設(shè)(0， )，0， ，那么2 的取值范圍是_.,由題設(shè)得02，0 ，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.已知a，b，cr，那么下列命題中正確的是_. 若ab，則ac2bc2；若 ，則ab； 若a3b3且abb2且ab0，則 .,答案,解析,當(dāng)c0時(shí)，可知不正確； 當(dāng)cb3且ab0且b0，,所以 成立，正確；,當(dāng)a0且b0時(shí)，可知不正確.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

14、3,14,7.若ab0，則下列不等式中一定成立的是_.,答案,解析,取a2，b1，排除與；,另外，函數(shù)f(x)x 是(0，)上的增函數(shù)， 但函數(shù)g(x)x 在(0,1上遞減， 在1，)上遞增，所以，當(dāng)ab0時(shí)，f(a)f(b)必定成立，,但g(a)g(b)未必成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.若ab0，則下列不等式一定不成立的是_. ； log2alog2b； a2b22a2b2; ,答案,解析,(a1)2(b1)20(由ab0，a，b不能同時(shí)為1)， a2b22a2b20， a2b22a2b2， 一定不成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

15、0,11,12,13,14,9.若不等式(2)na3n1(2)n0對任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的 取值范圍是_.,答案,解析,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n(1a)3n1， 恒成立，,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n(a1)3n1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題 若ab0，bcad0，則 0； 若ab0， 0，則bcad0； 若bcad0， 0，則ab0. 其中正確的命題是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,ab0，bcad0，,bcad0，正確；,ab0，正確. 故都正確.,1,2,3,

16、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.(教材改編)一輛汽車原來每天行駛x km，如果該汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內(nèi)它的行程將超過2 200 km，用不等式表示為_.,答案,解析,8(x19)2 200,因?yàn)樵撈嚸刻煨旭偟穆烦瘫仍瓉矶?9 km，所以汽車每天行駛的路程為(x19) km，則在8天內(nèi)它的行程為8(x19) km，因此，不等關(guān)系“在8天內(nèi)它的行程將超過2 200 km”可以用不等式8(x19)2 200來表示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.已知12x11，則 1的取值范圍是_.,答案,解析,(1，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.已知1xy4，且2xy3，則z2x3y的取值范圍是_(用區(qū)間表示).,答案,解析,3,8,z (xy) (xy)，,3 (xy) (xy)8，,z的取值范圍